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2018年杭州市初中毕业升学文化考试数学试题二
考生须知：
1. 本试卷满分120分，考试时间100分钟．
2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明．
4. 如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
参考公式：
二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点坐标公式：(－，)．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，是无理数的是( )
A. －20 B. 0 C. sin60° D. 3－1
2. 《浙江文丛》被誉为浙江人文历史的第一部百科全书，总字数约12500万字，将数字12500万用科学记数法可表示为( )
A. 0.125×109 B. 1.25×108 C. 1.25×107 D. 12.5×107
3. 在△ABC中，AB＝6，BC＝4，点D在AB上，DE∥BC交AC于E，若BD＝2，则DE的长为( )
A. B. 2 C. D. 1
4. 下列计算正确的是( )
A. 3a2＋2a＝5a2 B. a2·a3＝a6
C. a2－2a－3＝(a－1)2－2 D. 3a(－2a＋a2)＝－6a2＋3a3
5. 如图所示的几何体是由五个小正方块搭成的，若拿掉其中一个小正方块，其左视图不变，则拿掉的小正方块是( )
第5题图
A. ④ B. ③ C. ② D. ①
6. 已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有( )
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 4个
7. 如图是某市从2011年至2016年生产总值(GDP)增长率的折线统计图，由统计图可知以下说法：①2011年至2016年该市生产总值逐年增加；②2013年该市生产总值总量最低；③
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生产总值增长率的中位数是9.5%；④已知2014年该市生产总值总量为9200亿元，则2015年该市生产总值总量为10028亿元．其中正确的说法有 ( )
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
第7题图 第8题图 第10题图
8. 如图，已知⊙O的圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是( )
A. －1≤x≤1 B. －≤x≤ C. 0≤x≤ D. x＞
9. 在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，连接AP，将射线AP所在直线绕点P顺时针旋转90°，与边CD相交于E，则下列说法正确的是( )
A. AP＝PE B. tan∠PEC＝1 C. CE＝2DE D. BP＋DE＝AB
10. 如图，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1的顶点为D，与y轴交于点C，与x轴的右交点为A，若在△ACD中，∠ADC＝90°，则m的值为( )
A. －1 B. －2 C. 1或0 D. 1
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区20户家庭的月用水量，数据见下表：
月用水量/m3
8
9
10
11
12
户数/户
3
4
6
4
3
这20户家庭平均月用水量是________m3.
12. 若·(ka－)(k为实数)化简后是一个整式，则k的值为________．
13. 如图，已知直线AB∥CD，GH⊥CD于N，交AB于M，直线EF过点N交直线AB于P，若∠EPB的度数为128°，则∠HNF＝________.
第13题图
第14题图
14. 如图所示，图①和图②中所有的正方形都全等，将图①中的正方形放在图②中的
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①②③④的某一位置，所组成的图形恰好是正方体展开图的概率是________．
15. 在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点上，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，OB＝4，∠BOC＝45°，对角线AO与BC相交于D，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为________．
16. 已知在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上运动，连接BE，将△BDE沿DE折叠得到△FDE，若△FDE与△ADE重叠部分的面积等于S△ABE，则CE＝________．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分6分)
已知A＋2(x－1)＝2x(x－3)＋(x＋2)(2－x)，试求代数式A.
18. (本小题满分8分)
从△ABC(CB＜CA)中裁出一个以AB为底边的等腰△ABD，并使得△ABD的面积尽可能大．
(1)用直尺和圆规作出△ABD.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若AB＝2，∠CAB＝30°，求裁出的△ABD的面积．
第18题图
19. (本小题满分8分)
2017年3月17日，首届“杭州工匠”认定工作由杭州市总工会、市组织部等11家单位主办，旨在全面贯彻党的十八大、弘扬“工匠精神”．我市某校团委就全校学生对“工匠精神”的了解程度进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知调查中“比较了解”的人数占调查人数的30%.
(1)计算“比较了解”的人数，并补全条形统计图；
(2)经过校团委的大力宣传，再次调查全校学生，发现“非常了解”和“比较了解”的人数恰好是“了解”和“不了解”人数的9倍，且“非常了解”的人数与“比较了解”的人数比为3∶2，若该校有学生3000名，求“非常了解”的人数．
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第19题图
20. (本小题满分10分)
如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，延长FE与DC的延长线相交于点H.
(1)求证：BF＝CH；
(2)求DE的长．
第20题图
21. (本小题满分10分)
已知A、B两地之间的笔直公路上有一处加油站C(靠近B地)，一辆客车和一辆货车分别从A、B两地出发，朝另一地前进，两车同时出发，匀速行驶．如图所示是客车、货车离加油站C的距离y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．
(1)图中点E代表的实际意义是什么，求点E的横坐标；
(2)当客车到达B地时，货车离A地的距离还有多远．
第21题图
22. (本小题满分12分)
已知二次函数y1＝ax2＋2ax＋1和一次函数y2＝2ax＋2a.
(1)若y1与y2的图象只有一个交点，求a的值；
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(2)若y1与x轴只有一个交点，y2与y1的交点记为A，B，与y轴的交点记为C，求证：AC＝BC.
23. (本小题满分12分)
如图，已知△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于D，延长AC到E，使得CE＝BD，连接DE交BC于F.
(1)求证：CE＝2CF；
(2)当∠A＝60°，AB＝6，将△CEF绕点C逆时针旋转角α(0°≤α≤360°)，得到△CE′F′，当点F′恰好落在直线AC上，连接BE′，求此时BE′的长．
第23题图
答案
一、选择题
1－5 CBADB 6－ 10 aCCaD
二、填空题
11. 10 12. 1 13. 38° 14. 15. 2＋2 16. 或
三、解答题
17. (本小题满分6分)
解：a＝2x(x－3)＋(x＋2)(2－x)－2(x－1)
＝2x2－6x＋4－x2－2x＋2
＝x2－8x＋6.(6分)
18. (本小题满分8分)
解：(1)如解图所示：△abD即为所求作的三角形；
第18题解图
(4分)
(2)∵mn垂直平分ab，ab＝2，∠Cab＝30°，
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∴aE＝1，
在Rt△aDE中，tan30°＝＝＝，
解得：DE＝.
故裁出的△abD的面积为：×2×＝.(8分)
19. (本小题满分8分)
解：(1)设调查的“比较了解”的学生有x名，根据题意得
×100%＝30%，(2分)
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意，
∴抽查的学生中“比较了解”的有6名，
补全条形统计图如解图：
第19题解图
(4分)
(2)设“非常了解”的人数为3y名，则“比较了解”的人数为2y名，
根据题意得3y＋2y＝×3000，
解得y＝540，
∴“非常了解”的人数有3y＝3×540＝1620(名)．(8分)
20. (本小题满分10分)
(1)证明：∵四边形abCD是平行四边形，
∴ab∥CD，
∵EF⊥ab，∴EF⊥CD，∴∠bFE＝∠CHE＝90°，
∵E是bC的中点，
∴bE＝CE，
在△bEF和△CEH中，
，
∴△bEF≌△CEH(aaS)，
∴bF＝CH；(5分)
(2)解：∵EF⊥ab，∠abC＝60°，bE＝bC＝aD＝2，
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∴bF＝1，EF＝.
∵△bEF≌△CEH，
∴bF＝CH＝1，EF＝EH＝，∴DH＝4，
∵∠CHE＝90°，
∴在Rt△DEH中，
DE2＝EH2＋HD2，即DE2＝()2＋42，
∴DE＝.(10分)
21. (本小题满分10分)
解：(1)如解图，点E表示两车在此处相遇；
∵加油站C靠近b地，
第21题解图
∴前2小时行驶60千米，可知货车的行驶速度是60÷2＝30(千米/小时)，
由360÷30＝12(小时)，
可知点D的坐标为(2，0)，点P的坐标为(14，360)，
易得直线DP的表达式为y＝30x－60;
直线EF经过点(0，360)，(6，0)，
∴EF的表达式为y＝－60x＋360，
联立，
解得，
∴点E的横坐标为；(5分)
(2)根据图象可知，a、b两地相距360＋60＝420(千米)，
货车的行驶速度为30千米/小时，客车的行驶速度为60千米/小时，
∴客车行驶到终点b地共用时420÷60＝7(小时)，
货车在7小时内行驶的路程为30×7＝210(千米)，
∴货车离a地的距离还有420－210＝210(千米). (10分)
22. (本小题满分12分)
【思维教练】(1)根据两个函数图象只有一个交点，转化为一元二次方程有两个相等的实数根，进而根据方程特点列出关于a的方程，求解即可；(2)根据y1与x轴只有一个交点得出判别式等于0，得关于a的方程，解得a的值，从而得到抛物线和直线表达式，再联立方程求点a、b、C的坐标，利用a、b、C坐标关系得出结论.
(1)解：∵y1与y2的图象只有一个交点，
∴方程ax2＋2ax＋1＝2ax＋2a有两个相等的实数根，
即方程ax2＝2a－1有两个相等的实数根，
即x＝0，∴2a－1＝0，
解得a＝；(5分)
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(2)证明：∵y1与x轴只有一个交点，
∴方程ax2＋2ax＋1＝0的根的判别式等于0，
∴(2a)2－4a×1＝0，
解得a1＝1，a2＝0(舍)，
∴抛物线表达式为y1＝x2＋2x＋1，一次函数表达式为y2＝2x＋2，
令y1＝y2得x2＋2x＋1＝2x＋2，
解得x1＝－1，x2＝1，
设点b在点a的右侧，则点a的坐标为(－1，0)，点b的坐标为(1，4)，
∵点C是一次函数与y轴的交点，
∴点C的坐标为(0，2)，
∴点C是线段ab的中点，
即aC＝bC.(12分)
23. (本小题满分12分)
【思维教练】(1)要证明CE＝2CF，需要将CF扩大2倍后与CE比较，由已知CD平分∠aCb，可考虑过D作bC的平行线，利用角平分线性质可得到等腰三角形，再结合线段关系会出现三角形中位线，从而利用中位线性质可得证明；(2)要求bE′的长需先明确旋转后△CE′F′的位置，分点F′在线段aC上和点F′在线段aC的延长线上两种情况讨论求出 bE′.
(1)证明：如解图①，过D作DG∥bC交aC于G，
∵CD平分∠aCb，∴∠aCD＝∠bCD，
∵DG∥bC，∴∠GDC＝∠bCD，
∴∠GDC＝∠GCD，
第23题解图①
∴DG＝GC.
∵ab＝aC，∴∠b＝∠aCb，
∵DG∥bC，
∴∠aDG＝∠b，∠aGD＝∠aCb，
∴∠aDG＝∠aGD，
∴aD＝aG，∴bD＝CG，∵CE＝bD，∴CG＝CE，
∵DG∥bC，∴CF是△EDG的中位线，
∴DG＝2CF，
∴CE＝CG＝DG＝2CF；(5分)
(2)解：①当点F旋转到线段aC上点F′处时，如解图②所示，
∵∠F′CE′＝∠FCE＝120°，∠aCD＝30°，
∴∠DCE′＝90°＝∠CDb，
∴ab∥CE′，
∵bD＝CE＝CE′，∴四边形bDCE′是矩形，
∴bE′＝CD＝ab＝×6＝3；(9分)
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图② 图③
第23题解图
②当点F旋转到线段aC的延长线上的点F′处时，如解图③，
连接aE′，易得四边形aDCE′是矩形，
∴aE′＝DC＝3，∠E′aC＝30°，∠baE′＝90°，
在Rt△abE′中，由勾股定理得bE′＝＝＝3. (12分)
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