2016-2017学年长沙市芙蓉区九年级下第三次段测数学试卷含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年湖南省长沙市芙蓉区九年级（下）第三次段测数学试卷 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．|﹣2|=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．下面计算正确的是（　　）‎ A．x3÷x3=0 B．x3﹣x2=x C．x2•x3=x6 D．x3÷x2=x ‎3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1‎ ‎4．一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（　　）‎ A．2.5 B．3 C．3.5 D．5‎ ‎5．在图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎7．下列一元二次方程中无实数解的方程是（　　）‎ A．x2+2x+1=0 B．x2+1=0 C．x2=2x﹣1 D．x2﹣4x﹣5=0‎ ‎8．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（　　）‎ A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3‎ ‎9．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎10．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　）‎ A．12 B．20 C．24 D．32‎ ‎11．已知x﹣=3，则4﹣x2+x的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．分解因式：﹣m3+2m2﹣m=　 　．‎ ‎14．方程=的解为　 　．‎ ‎15．不等式组的解集为　 　．‎ ‎16．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于　 　度．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是　 　．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎19．计算：（﹣1）2016+﹣（）﹣2+sin45°．‎ ‎20．计算，其中．‎ ‎21．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其它类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）七年级（1）班学生总人数为　 　人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为　 　度，请补全条形统计图；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．‎ ‎22．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：DE=AB．‎ ‎（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．‎ ‎23．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元 ‎（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？‎ ‎（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？‎ ‎24．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF=2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．‎ ‎（1）求∠AEB的度数；‎ ‎（2）求证：△CBG∽△ABE；‎ ‎（3）若∠F=60°，GF=2，求⊙O的半径长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎25．定义：自变量为x的某个函数记为f（x），当自变量x取某个实数x时的函数值记f（x），自变量x的取值范围为函数的定义域，定义域内的自变量x对应的所有的函数值的集合为函数的值域．已知：二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数且a≠0）满足f（0）=f（4）且方程f（x）=4x有两个相等的实数根．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若当﹣1≤x≤t时，﹣5≤f（x）≤4，求实数t的取值范围；‎ ‎（3）是否存在实数m、n（其中m＜n），使二次函数f（x）定义域为m≤x≤n时，相应的值域为8m≤f（x）≤8n？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．‎ ‎（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？‎ ‎（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年湖南省长沙市芙蓉区九年级（下）第三次段测数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．|﹣2|=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．下面计算正确的是（　　）‎ A．x3÷x3=0 B．x3﹣x2=x C．x2•x3=x6 D．x3÷x2=x ‎【解答】解：A、x3÷x3=1，故此选项错误；‎ B、x3﹣x2无法计算，故此选项错误；‎ C、x2•x3=x5，故此选项错误；‎ D、x3÷x2=x，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1‎ ‎【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，‎ 解得：x≥1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（　　）‎ A．2.5 B．3 C．3.5 D．5‎ ‎【解答】解：将这组数据从小到大排列为：0，1，2，3，3，5，5，10，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 最中间两个数的平均数是：（3+3）÷2=3，‎ 则中位数是3；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．在图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；‎ C、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【解答】解：将6700000用科学记数法表示为6.7×106，‎ 故n=6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．下列一元二次方程中无实数解的方程是（　　）‎ A．x2+2x+1=0 B．x2+1=0 C．x2=2x﹣1 D．x2﹣4x﹣5=0‎ ‎【解答】解：A、这里a=1，b=2，c=1，‎ ‎∵△=4﹣4=0，‎ ‎∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；‎ B、这里a=1，b=0，c=1，‎ ‎∵△=﹣4＜0，‎ ‎∴方程没有实数根，本选项符合题意；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C、这里a=1，b=﹣2，c=1，‎ ‎∵△=4﹣4=0，‎ ‎∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；‎ D、这里a=1，b=﹣4，c=﹣5，‎ ‎∵△=16+20=36＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，‎ 故选B ‎　‎ ‎8．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（　　）‎ A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3‎ ‎【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），‎ ‎∴该抛物线的对称轴是：x=．‎ 又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），‎ ‎∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），‎ ‎∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　）‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ ‎【解答】解：连接OD，OC，‎ ‎∵∠ABC=50°，‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC=100°，‎ ‎∴AC弧=100°，‎ ‎∵D是弧AC的中点，‎ ‎∴AD弧=50°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BD弧=130°，‎ ‎∴∠DOB=130°，‎ ‎∴∠DAB=∠DOB=65°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　）‎ A．12 B．20 C．24 D．32‎ ‎【解答】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∵点C的坐标为（3，4），‎ ‎∴OD=3，CD=4，‎ ‎∴OC===5，‎ ‎∴OC=BC=5，‎ ‎∴点B坐标为（8，4），‎ ‎∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，‎ ‎∴k=32，‎ 故选：D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎11．已知x﹣=3，则4﹣x2+x的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵x﹣=3，‎ ‎∴x2﹣1=3x ‎∴x2﹣3x=1，‎ ‎∴原式=4﹣（x2﹣3x）=4﹣=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，‎ ‎∵DP=PA，‎ ‎∴PA+PC=PD+PC=CD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵B（3，），‎ ‎∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，‎ 由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，‎ ‎∴AM=，‎ ‎∴AD=2×=3，‎ ‎∵∠AMB=90°，∠B=60°，‎ ‎∴∠BAM=30°，‎ ‎∵∠BAO=90°，‎ ‎∴∠OAM=60°，‎ ‎∵DN⊥OA，‎ ‎∴∠NDA=30°，‎ ‎∴AN=，AD=3，由勾股定理得：DN=，‎ ‎∵C（，0），‎ ‎∴CN=3﹣﹣=1，‎ 在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，‎ 即PA+PC的最小值是．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．分解因式：﹣m3+2m2﹣m=　﹣m（m﹣1）2　．‎ ‎【解答】解：原式=﹣m（m2﹣2m+1）=﹣m（m﹣1）2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：﹣m（m﹣1）2‎ ‎　‎ ‎14．方程=的解为　x=2　．‎ ‎【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（2x+1）得，‎ ‎2x+1=5（x﹣1），‎ 解得x=2，‎ 检验：当x=2时，（x﹣1）（2x+1）=（2﹣1）×（2×2+1）=5≠0，‎ 所以，原方程的解是x=2．‎ 故答案为：x=2．‎ ‎　‎ ‎15．不等式组的解集为　﹣＜x＜0　．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞﹣，‎ 由②得：x＜0，‎ 不等式组的解集为：﹣＜x＜0；‎ 故答案为：﹣＜x＜0．‎ ‎　‎ ‎16．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于　120　度．‎ ‎【解答】解：根据扇形的面积公式，得 n===120°．‎ 故答案为：120．‎ ‎　‎ ‎17．若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是　﹣8≤a＜﹣5　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：，‎ ‎∵解不等式①得：x＜3，‎ 解不等式②得：x＞，‎ ‎∴不等式组的解集是＜x＜3，‎ ‎∵关于x的不等式组仅有3个整数解，‎ ‎∴﹣1≤＜0，‎ 解得：﹣8≤a＜﹣5，‎ 故答案为：﹣8≤a＜﹣5．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为　（2，4﹣2）　．‎ ‎【解答】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，‎ ‎∴OA=OC=2，OB=2，‎ ‎∵QO=OC，‎ ‎∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，‎ ‎∵正方形OABC的边AB∥OC，‎ ‎∴△BPQ∽△OCQ，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得BP=2﹣2，‎ ‎∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，‎ ‎∴点P的坐标为（2，4﹣2）．‎ 故答案为：（2，4﹣2）．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎19．计算：（﹣1）2016+﹣（）﹣2+sin45°．‎ ‎【解答】解：（﹣1）2016+﹣（）﹣2+sin45°‎ ‎=1+2﹣9+×‎ ‎=﹣6+1‎ ‎=﹣5‎ ‎　‎ ‎20．计算，其中．‎ ‎【解答】解：原式=÷‎ ‎=×‎ ‎=，‎ 当x=2+时，原式==．‎ ‎　‎ ‎21．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其它类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）七年级（1）班学生总人数为　48　人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为　105　度，请补全条形统计图；‎ ‎（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．‎ ‎【解答】解：（1）∵七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），‎ ‎∴扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360°×=105°；‎ 故答案为：48，105；‎ C类人数：48﹣4﹣12﹣14=18（人），如图：‎ ‎（2）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，‎ 画树状图得：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，‎ ‎∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：DE=AB．‎ ‎（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，AB=DC，BC=AD，AD∥BC，‎ ‎∴∠EAD=∠AFB，‎ ‎∵DE⊥AF，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ 在△ADE和△FAB中，，‎ ‎∴△ADE≌△FAB（AAS），‎ ‎∴DE=AB；‎ ‎（2）解：连接DF，如图所示：‎ 在△DCF和△ABF中，，‎ ‎∴△DCF≌△ABF（SAS），‎ ‎∴DF=AF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AF=AD，‎ ‎∴DF=AF=AD，‎ ‎∴△ADF是等边三角形，‎ ‎∴∠DAE=60°，‎ ‎∵DE⊥AF，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∵△ADE≌△FAB，‎ ‎∴AE=BF=1，‎ ‎∴DE=AE=，‎ ‎∴的长==．‎ ‎　‎ ‎23．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元 ‎（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？‎ ‎（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？‎ ‎【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，‎ 依题意得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，‎ 依题意得：，‎ 解得：25≤m≤27．‎ 故这次学校购买足球有三种方案：‎ 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；‎ 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；‎ 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．‎ ‎　‎ ‎24．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF=2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．‎ ‎（1）求∠AEB的度数；‎ ‎（2）求证：△CBG∽△ABE；‎ ‎（3）若∠F=60°，GF=2，求⊙O的半径长．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°．‎ ‎（2）如图1，‎ ‎∵BF与⊙O相切，‎ ‎∴∠ABF=90°．‎ ‎∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．‎ ‎∵∠BAF=2∠CBF．‎ ‎∴∠BAF=2∠BAE．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠BAE=∠CAE．‎ ‎∴∠CBF=∠CAE．‎ ‎∵CG⊥BF，AE⊥BC，‎ ‎∴∠CGB=∠AEC=90°．‎ ‎∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，‎ ‎∴△BCG∽△ACE．‎ ‎（3）连接BD，如图2所示．‎ ‎∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，‎ ‎∴∠DBE=∠CBF．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°．‎ ‎∴BD⊥AF．‎ ‎∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，‎ ‎∴CD=CG．‎ ‎∵∠F=60°，GF=2，∠CGF=90°，‎ ‎∴tan∠F==CG=tan60°=，‎ ‎∵CG=2，‎ ‎∴CD=CG=2．‎ ‎∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，‎ ‎∴∠BAF=30°．‎ ‎∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，‎ ‎∴AB=2BD．‎ ‎∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，‎ ‎∴∠ABE=∠ACE．‎ ‎∴AB=AC．‎ 设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．‎ ‎∵∠ADB=90°，‎ ‎∴AD=r．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DC=AC﹣AD=2r﹣r=（2﹣）r=2．‎ ‎∴r=4+6．‎ ‎∴⊙O的半径长为4+6．‎ ‎　‎ ‎25．定义：自变量为x的某个函数记为f（x），当自变量x取某个实数x时的函数值记f（x），自变量x的取值范围为函数的定义域，定义域内的自变量x对应的所有的函数值的集合为函数的值域．已知：二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数且a≠0）满足f（0）=f（4）且方程f（x）=4x有两个相等的实数根．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若当﹣1≤x≤t时，﹣5≤f（x）≤4，求实数t的取值范围；‎ ‎（3）是否存在实数m、n（其中m＜n），使二次函数f（x）定义域为m≤x≤n时，相应的值域为8m≤f（x）≤8n？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得：，‎ 解得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故函数f（x）的解析式为：f（x）=﹣x2+4x；‎ ‎（2）由（1）知，函数f（x）的解析式为：f（x）=﹣x2+4x．其函数的大致图象如图所示，‎ 当﹣1≤x≤t时，﹣5≤f（x）≤4，‎ 故﹣x2+4x=4，‎ 解得x=2，‎ 即t=2；‎ ‎（3）由以上可得，f（x）=﹣x2+4x，它的对称轴为x=2，函数的最大值为14． ‎ 由于函数f（x）在定义域为m≤x≤n，值域为8m≤f（x）≤8n，‎ ‎∴8n≤4．即n≤2． ‎ ‎∴函数f（x）在定义域为[m，n]上是增函数，‎ ‎∴f（m）=8m，f（n）=8n，即，‎ 解得．‎ ‎　‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．‎ ‎（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（8，0），B（0，6），‎ ‎∴OA=8，OB=6，‎ ‎∴AB===10，‎ ‎∴cos∠BAO==，sin∠BAO==．‎ ‎∵AC为⊙P的直径，‎ ‎∴△ACD为直角三角形．‎ ‎∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．‎ 当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，‎ 即：t+t=8，‎ 解得：t=．‎ ‎∴t=（秒）时，点Q与点D重合．‎ ‎（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．‎ ‎①当0＜t≤时，‎ DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t．‎ ‎∴S=DQ•CD=（8﹣t）•t=﹣t2+t．‎ ‎∵﹣=，0＜＜，‎ ‎∴当t=时，S有最大值为；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②当＜t≤5时，‎ DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8．‎ ‎∴S=DQ•CD=（t﹣8）•t=t2﹣t．‎ ‎∵﹣=，＜，所以S随t的增大而增大，‎ ‎∴当t=5时，S有最大值为15＞．‎ 综上所述，S的最大值为15．‎ ‎（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，‎ ‎∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，‎ ‎∴△ACQ∽△AOB，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得t=．‎ 所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤或＜t≤5．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费