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2017-2018学年山东省临沂市蒙阴县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
2．（3分）京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x4+x4=x8 B．x6÷x2=x3 C．x•x4=x5 D．（x2）3=x8
5．（3分）下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）
A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9
6．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）
C．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2 D．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
7．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
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A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
9．（3分）化简结果正确的是（ ）
A．ab B．﹣ab C．a2﹣b2 D．b2﹣a2
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
11．（3分）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（ ）
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（3分）对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
二．填空题：你能填得又对又快吗？（把答案填在答题卡上，每小题3分，共21分）
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13．（3分）计算：（﹣3a2b3）2= ．
14．（3分）计算： += ．
15．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
16．（3分）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
17．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF= ．
18．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 ．（只需写出符合条件一种情况）
19．（3分）观察给定的分式；，猜想并探索规律，第n个分式是 ．
三．解答题：一定要细心，你能行！（共63分）
20．（10分）计算：
（1）（a+6）（a﹣2）﹣a（a+3）；
（2）．
21．（10分）因式分解：
（1）x2y﹣y；
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（2）a3b﹣2a2b2+ab3．
22．（10分）解方程与化简
（1）解方程：；
（2）当x=﹣2，求分式：的值．
23．（10分）某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求有几种方案？
24．（11分）如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE．
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．
25．（12分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是：（2，3）．
故选：A．
2．（3分）京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图可得，第1，3，4个图形是轴对称图形，共3个．
故选C．
3．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
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A．x4+x4=x8 B．x6÷x2=x3 C．x•x4=x5 D．（x2）3=x8
【解答】解：A、合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；
D、幂的乘方，底数不变指数相乘，
故选：C．
5．（3分）下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）
A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9
【解答】解：A、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
B，3+4＞5，3+5＞4，5+4＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
C、5+6＞10，5+10＞6，6+10＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；
故选D．
6．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）
C．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2 D．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
【解答】解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），故本选项错误；
B、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本选项正确；
C、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；
D、应为x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故本选项错误．
故选B．
7．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
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其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
9．（3分）化简结果正确的是（ ）
A．ab B．﹣ab C．a2﹣b2 D．b2﹣a2
【解答】解： ==﹣ab．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（ ）
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A．30° B．36° C．40° D．45°
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选：B．
11．（3分）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（ ）
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个 B．3个 C．2个 D． 1个
【解答】解：（1）PA平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR=∠PAS，
∴PA平分∠BAC；
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（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；
（3）∵AQ=PR，
∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∴∠PQS=∠BAC，
∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠CSP，
∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选B．
12．（3分）对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）=﹣=1，
去分母得：2﹣（2x﹣1）=4x﹣2，
去括号得：2﹣2x+1=4x﹣2，
移项合并得：6x=5，
解得：x=，
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经检验是分式方程的解．
故选A．
二．填空题：你能填得又对又快吗？（把答案填在答题卡上，每小题3分，共21分）
13．（3分）计算：（﹣3a2b3）2= 9a4b6 ．
【解答】解：（﹣3a2b3）2=（﹣3）2（a2）2（b3）2=9a4b6，
故答案为：9a4b6．
14．（3分）计算： += ．
【解答】解：原式=+==．
故答案为：．
15．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是 3 ．
【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2．
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3．
故答案为3．
16．（3分）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 70 ．
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【解答】解：∵a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
故答案为：70．
17．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF= 48° ．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣60°﹣48°=72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，
故答案为：48°．
18．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA ．（只需写出符合条件一种情况）
【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C=∠D=90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
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19．（3分）观察给定的分式；，猜想并探索规律，第n个分式是 ．
【解答】解：∵， =， =， =， =，
∴第n个分式是：．
故答案为：．
三．解答题：一定要细心，你能行！（共63分）
20．（10分）计算：
（1）（a+6）（a﹣2）﹣a（a+3）；
（2）．
【解答】解：（1）原式=a2+4a﹣12﹣a2﹣3a=a﹣12；
（2）原式=•=．
21．（10分）因式分解：
（1）x2y﹣y；
（2）a3b﹣2a2b2+ab3．
【解答】解：（1）x2y﹣y
=y（x2﹣1）
=y（x+1）（x﹣1）；
（2）a3b﹣2a2b2+ab3
=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2．
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22．（10分）解方程与化简
（1）解方程：；
（2）当x=﹣2，求分式：的值．
【解答】解：（1）2x=x﹣2+1
x=﹣1，
经检验x=﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x=﹣1．
（2）原式=•
=
=﹣
当x=﹣2时，原式=．
23．（10分）某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求有几种方案？
【解答】解：（1）设乙进货价是每个x元，则甲进货价为每个（x+10）元．
由题意得： =，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的根．
则x+10=25，
答：甲进货价为25元，乙进货价15元；
（2）设进甲种文具a件，则乙种文具（100﹣a）件．
由题意得：，
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解得55＜a＜58，
所以整数a=56，57，
则100﹣a=44，43．
有两种方案：进甲种文具56件，则乙种文具44件；或进甲种文具57件，则乙种文具43件．
24．（11分）如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE．
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ADC与△AEB中，
，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD=AE；
（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：
如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴OD=OE，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
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∴AO平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
25．（12分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【解答】解：（1）∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
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（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°
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