2017-2018学年武汉市汉阳区八年级上期中数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）‎ A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，6‎ ‎4．（3分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（　　）‎ A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ‎5．（3分）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）‎ A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS ‎6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）‎ A．11 B．16 C．17 D．16或17‎ ‎7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．40° B．45° C．60° D．70°‎ ‎8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎9．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（　　）‎ A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），则点P的坐标是　 　．‎ ‎12．（3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3的度数是　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，∠BAC=120°，AE=3，则BC的长是　 　．‎ ‎14．（3分）如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的底角的度数　 　．‎ ‎15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　．‎ ‎16．（3分）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：　 　．‎ 三、解答题（共8道小题，共72分）‎ ‎17．（8分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？‎ ‎18．（8分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．‎ 求证：AB∥DE．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．‎ ‎（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度数；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．‎ ‎20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．‎ ‎（1）在图中作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称的图形△A1B1C1；‎ ‎（2）线段BC上有一点P（﹣，），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标；‎ ‎（3）线段BC上有一点M（a，b），直接写出点M关于直线m对称的点的坐标．‎ ‎21．（8分）如图△ABC是等边三角形．‎ ‎（1）请按要求完成图形，分别作∠ABC，∠ACB的平分线，交点为O；再分别作OB，OC的垂直平分线分别交BC于点D，E；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断△ODE的形状，并证明你的结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．‎ ‎（1）教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图1，证明该结论；‎ ‎（2）若将图2分割成三个全等的三角形，请你画出图形，并简单描述辅助线的作法．‎ ‎23．（10分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且AD=BD=BC，求∠A的大小；‎ ‎（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三等分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；‎ ‎（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，请直接写出∠C所有可能的值．‎ ‎24．（12分）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．‎ ‎①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是　 　；‎ ‎②在图2中，求证AD=CD；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】解：A不属于轴对称图形，故错误；‎ B不属于轴对称图形，故错误；‎ C不属于轴对称图形，故错误；‎ D属于轴对称图形，故正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）‎ A． B．C．D．‎ ‎【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）‎ A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，6‎ ‎【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B、1+＜3，不能组成三角形，故本选项错误；‎ C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误；‎ D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（　　）‎ A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ‎【解答】解：‎ A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；‎ B、根据∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ C、根据AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）‎ A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS ‎【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）‎ A．11 B．16 C．17 D．16或17‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，‎ 能组成三角形，‎ 周长=6+6+5=17；‎ ‎②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，‎ 能组成三角形，‎ 周长=6+5+5=16．‎ 综上所述，三角形的周长为16或17．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）‎ A．40° B．45° C．60° D．70°‎ ‎【解答】解：∵AE∥BD，‎ ‎∴∠CBD=∠E=35°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠CBA=70°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠C=∠CBA=70°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AE=BE；‎ ‎∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，‎ ‎∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，‎ ‎∴AB=40﹣24=16．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（　　）‎ A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC ‎【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP．‎ 根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，‎ 根据对顶角相等知∠APB=∠EPD，‎ 所以∠APB=∠DPC．‎ 故选D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 当AB=AC时，符合条件的点有3个；‎ 当BA=BC时，符合条件的点有3个；‎ 当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．‎ 故符合条件的点C共有7个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），则点P的坐标是　（2，﹣1）　．‎ ‎【解答】解：点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），则点P的坐标是（2，﹣1），‎ 故答案为：（2，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3的度数是　20°　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：由题意得：∠4=∠2=40°；‎ 由三角形外角的性质得：∠4=∠1+∠3，‎ ‎∴∠3=∠4﹣∠1=40°﹣20°=20°，‎ 故答案为：20°．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于点E，∠BAC=120°，AE=3，则BC的长是　9　．‎ ‎【解答】解：过点A作AF⊥BC交BC于F，‎ ‎∵AB=AC，∠BAC=120°，‎ ‎∴∠B=∠C=30°，BC=2BF，‎ 在Rt△BAE中，‎ AB=AE•cot30°=3×=3，‎ 在Rt△AFB中，‎ BF=AB•cos30°=3×=，‎ ‎∴BC=2BF=2×=9，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的底角的度数　15°或75°　．‎ ‎【解答】解：解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，‎ BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB，‎ 根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；‎ ‎（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，‎ BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB，‎ 根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，‎ 底角为15°．‎ 故答案为：15°或75°．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是　1cm＜AD＜3cm　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，‎ ‎∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴BD=CD，‎ 在△ADC与△EDB中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADC≌△EDB，‎ ‎∴EB=AC，‎ 根据三角形的三边关系定理：4cm﹣2cm＜AE＜4cm+2cm，‎ ‎∴1cm＜AD＜3cm，‎ 故答案为：1cm＜AD＜3cm．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：　等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于该等边三角形的高　．‎ ‎【解答】解：由图可知，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8道小题，共72分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．（8分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？‎ ‎【解答】解：设这个多边形的边数为n，‎ ‎∴（n﹣2）•180°=2×360°，‎ 解得：n=6．‎ 故这个多边形是六边形．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．‎ 求证：AB∥DE．‎ ‎【解答】证明：∵BE=CF，‎ ‎∴BC=EF，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SSS），‎ ‎∴∠B=∠DEF，‎ ‎∴AB∥DE．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．‎ ‎（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度数；‎ ‎（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣40°﹣60°=80°，‎ ‎∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，‎ ‎∴∠BFD=∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB=20°+40°=60°．‎ ‎（2）∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，‎ ‎∴∠BFD=∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．‎ ‎（1）在图中作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称的图形△A1B1C1；‎ ‎（2）线段BC上有一点P（﹣，），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标；‎ ‎（3）线段BC上有一点M（a，b），直接写出点M关于直线m对称的点的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）如图所示，‎ ‎（2）线段BC上有一点P（﹣，），点P关于直线m对称的点的坐标是（﹣，），‎ ‎（3）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m对称的点的坐标是（﹣4﹣a，b）．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图△ABC是等边三角形．‎ ‎（1）请按要求完成图形，分别作∠ABC，∠ACB的平分线，交点为O；再分别作OB，OC的垂直平分线分别交BC于点D，E；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断△ODE的形状，并证明你的结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎（2）△ODE为等边三角形．‎ 理由如下：‎ ‎∵△ABC是等边三角形．‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°，‎ ‎∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，‎ ‎∴∠OBC=∠ABC=30°，∠OCB=∠ACB=30°，‎ ‎∵OB，OC的垂直平分线分别交BC于点D，E，‎ ‎∴DB=DO，EC=EO，‎ ‎∴∠ODB=∠DBO=30°，∠EOC=∠ECO=30°，‎ ‎∴∠ODE=∠ODB+∠DBO=60°，∠OED=∠EOC+∠ECO=60°，‎ ‎∴△ODE为等边三角形．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．‎ ‎（1）教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图1，证明该结论；‎ ‎（2）若将图2分割成三个全等的三角形，请你画出图形，并简单描述辅助线的作法．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴AB=BD，‎ ‎∴BC=CD=AB，即BC=AB．‎ 证法二：如答图所示，取AB的中点D，‎ 连接DC，有CD=AB=AD=DB，‎ ‎∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．‎ ‎∴△DBC为等边三角形，‎ ‎∴BC=DB=AB，即BC=AB．‎ 证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴△BDC为等边三角形，‎ ‎∴∠DCB=60°，∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣60°=30°=∠A．‎ ‎∴DC=DA，即有BC=BD=DA=AB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BC=AB．‎ 证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，‎ 连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，‎ ‎∴△DBC为等边三角形，‎ ‎∴BC=DB=DA=AB，即BC=AB．‎ ‎（2）如图2，作∠ACB平分线交AC于点D，作DE⊥AB于点E，‎ 则△ADE≌△BDE≌△BDC 由作图知∠DBC=∠DBE=∠A=30°，∠AED=∠BED=∠C=90°，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴AE=BE=AB，‎ 又∵BC=AB，‎ ‎∴AE=BE=BC，‎ 在△ADE、△BDE、△BDC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADE≌△BDE≌△BDC．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且AD=BD=BC，求∠A的大小；‎ ‎（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三等分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；‎ ‎（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，请直接写出∠C所有可能的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∵BD=BC=AD，‎ ‎∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，‎ 设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=，‎ 可得2x=，‎ 解得：x=36°，‎ 则∠A=36°；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎（3）如图所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①当AD=AE时，‎ ‎∵2x+x=30°+30°，‎ ‎∴x=20°；‎ ‎②当AD=DE时，‎ ‎∵30°+30°+2x+x=180°，‎ ‎∴x=40°；‎ 综上所述，∠C为20°或40°的角．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．‎ ‎①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是　角平分线上的点到角的两边距离相等　；‎ ‎②在图2中，求证AD=CD；‎ ‎（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．‎ ‎【解答】解：（1）①根据角平分线的性质定理可知AD=CD．‎ 所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．‎ 故答案为角平分线上的点到角的两边距离相等．‎ ‎②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，‎ ‎∴DE=DF，‎ ‎∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，‎ ‎∴∠EAD=∠C，∵∠E=∠DFC=90°，‎ ‎∴△DEA≌△DFC，‎ ‎∴DA=DC．‎ ‎（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．‎ ‎∵AB=AC，∠A=100°，‎ ‎∴∠ABC=∠C=40°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBK=∠ABC=20°，‎ ‎∵BD=BK，‎ ‎∴∠BKD=∠BDK=80°，‎ ‎∵∠BKD=∠C+∠KDC，‎ ‎∴∠KDC=∠C=40°，‎ ‎∴DK=CK，‎ ‎∵BD=BD，BA=BT，∠DBA=∠DBT，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△DBA≌△DBT，‎ ‎∴AD=DT，∠A=∠BTD=100°，‎ ‎∴∠DTK=∠DKT=80°，‎ ‎∴DT=DK=CK，‎ ‎∴BD+AD=BK+CK=BC．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费