2017年广东省广州市白云区中考数学一模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣的相反数是（　　）‎ A． B．2 C．﹣0.5 D．﹣2‎ ‎2．（3分）下列各种图形中，可以比较大小的是（　　）‎ A．两条射线 B．两条直线 C．直线与射线 D．两条线段 ‎3．（3分）下列代数式中，是4次单项式的为（　　）‎ A．4abc B．﹣2πx2y C．xyz2 D．x4+y4+z4‎ ‎4．（3分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（　　）‎ A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，4‎ ‎5．（3分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）‎ A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+4=0 D．﹣x2+3=0‎ ‎6．（3分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（　　）‎ A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都不对 ‎7．（3分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是93分，其中数学97分，化学89分，那么物理成绩是（　　）‎ A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 ‎8．（3分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（　　）‎ A．26° B．64°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C．54° D．以上答案都不对 ‎9．（3分）在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．m＜0 C．m＞ D．m＜‎ ‎10．（3分）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（　　）‎ A． B． C．tanα D．1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=　 　°．‎ ‎12．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是　 　三角形．‎ ‎13．（3分）若a3•am=a9，则m=　 　．‎ ‎14．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB=　 　．‎ ‎15．（3分）化简： =　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB=　 　°．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（9分）解方程组：．‎ ‎18．（9分）AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=DF．‎ 求证：△ACE≌△ACF．‎ ‎19．（10分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．‎ ‎（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；‎ ‎（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率．‎ ‎20．（10分）如图，一条直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于C点，OA=OB=2．‎ ‎（1）m=　 　；‎ ‎（2）求直线所对应的一次函数的解析式；‎ ‎（3）根据（1）所填m的值，直接写出分解因式a2+ma+7的结果．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．（12分）如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．‎ ‎（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？‎ ‎（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．‎ ‎22．（12分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约11025千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的1.6倍，水路所用天数是铁路所用天数的3倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的2倍少49千米．分别求出列车及轮船的平均日速．‎ ‎23．（12分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，‎ OA=4．‎ ‎（1）∠COD=　 　°；‎ ‎（2）求弦AD的长；‎ ‎（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．‎ ‎（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）‎ ‎24．（14分）二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=﹣和直线y=x+m的交点．‎ ‎（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；‎ ‎（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 m总有两个不同的交点；‎ ‎（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．‎ ‎25．（14分）已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．‎ ‎（1）若∠CBD=18°，则∠BCD=　 　°；‎ ‎（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；‎ ‎（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣的相反数是（　　）‎ A． B．2 C．﹣0.5 D．﹣2‎ ‎【解答】解：﹣的相反数是，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列各种图形中，可以比较大小的是（　　）‎ A．两条射线 B．两条直线 C．直线与射线 D．两条线段 ‎【解答】解：A、射线没有长度，无法比较，故此选项错误；‎ B、直线没有长度，无法比较，故此选项错误；‎ C、直线与射线没有长度，无法比较，故此选项错误；‎ D、两条线段可以比较大小．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列代数式中，是4次单项式的为（　　）‎ A．4abc B．﹣2πx2y C．xyz2 D．x4+y4+z4‎ ‎【解答】解：xyz2是4次单项式，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（　　）‎ A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，4‎ ‎【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2、4、5、6、7、7、8，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则众数为：7，‎ 中位数为：6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）‎ A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+4=0 D．﹣x2+3=0‎ ‎【解答】解：A、方程x2﹣1=0的解为x=±1；‎ B、方程x2=0的解为x=0；‎ C、由方程x2+4=0可得x2=﹣4，方程无解；‎ D、方程﹣x2+3=0的解为x=±，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（　　）‎ A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都不对 ‎【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，‎ ‎∴a∥b，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是93分，其中数学97分，化学89分，那么物理成绩是（　　）‎ A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 ‎【解答】解：物理成绩是：93×3﹣97﹣89=93（分）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．26° B．64°‎ C．54° D．以上答案都不对 ‎【解答】解：∵∠1=26°，∠DOF与∠1是对顶角，‎ ‎∴∠DOF=∠1=26°，‎ 又∵∠DOF与∠2互余，‎ ‎∴∠2=90°﹣∠DOF ‎=90°﹣26°=64°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．m＜0 C．m＞ D．m＜‎ ‎【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，‎ ‎∴反比例函数图象在第一，三象限，‎ ‎∴1﹣3m＞0，‎ 解得：m＜．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C．tanα D．1‎ ‎【解答】解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，‎ ‎∴∠AEB=∠AFD=90°，‎ ‎∵AD∥CB，AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵纸条宽度都为1，‎ ‎∴AE=AF=1，‎ ‎∵平行四边形的面积=BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎∴BC=AB，‎ ‎∵=sinα，‎ ‎∴BC=AB==，‎ ‎∴重叠部分（图中阴影部分）的面积=BC×AE=×1=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=　80　°．‎ ‎【解答】解：在△ABD与△EBD中，‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△ABD≌△EBD，‎ ‎∴∠BED=∠A=80°．‎ 故答案为80．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是　直角　三角形．‎ ‎【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得 ‎∠A+∠B=90°，‎ 故答案为：直角．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）若a3•am=a9，则m=　6　．‎ ‎【解答】解：由题意可知：3+m=9，‎ ‎∴m=6，‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB=　8　．‎ ‎【解答】解：∵如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，‎ ‎∴∠ACB=90°．‎ ‎∵AD=DB，‎ ‎∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，‎ ‎∴AB=2CD=8．‎ 故答案是：8．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）化简： =　x+y+2　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：原式=‎ ‎=，‎ ‎=x+y+2．‎ 故答案为：x+y+2．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB=　135　°．‎ ‎【解答】解：∵△PDB∽△ACP，‎ ‎∴∠A=∠BPD，‎ ‎∵CD是等腰直角△PCD的底边，‎ ‎∴∠PCD=45°，∠CPD=90°，‎ 由三角形的外角的性质得∠A+∠APC=∠PCD=45°，‎ ‎∴∠APB=∠APC+∠PCD+∠BPD=∠APC+∠PCD+∠A=45°+90°=135°．‎ 故答案为：135．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（9分）解方程组：．‎ ‎【解答】解：‎ ‎①﹣②，得（x+2y）﹣（x﹣4y）=﹣5﹣7，‎ 即6y=﹣12，‎ 解得y=﹣2，‎ 把y=﹣2代入②，可得：x﹣4×（﹣2）=7，‎ 得x=﹣1，‎ ‎∴原方程组的解为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎18．（9分）AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=DF．‎ 求证：△ACE≌△ACF．‎ ‎【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠FAC=∠EAC，‎ 在△ACE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△ACF（SAS）．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．‎ ‎（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；‎ ‎（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率．‎ ‎【解答】解：（1）树状图如下：‎ 点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），‎ ‎（2，1），（2，3），（2，4），‎ ‎（3，1），（3，2），（3，4），‎ ‎（4，1），（4，2），（4，3）共12种；‎ ‎（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4图象上的点有2个，即（1，3），（3，1），‎ ‎∴点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率为：P（点在图象上）==．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，一条直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于C点，OA=OB=2．‎ ‎（1）m=　﹣8　；‎ ‎（2）求直线所对应的一次函数的解析式；‎ ‎（3）根据（1）所填m的值，直接写出分解因式a2+ma+7的结果．‎ ‎【解答】解：（1）m=﹣2×4=﹣8；‎ ‎（2）∵OA=OB=2，‎ ‎∴A、B点的坐标分别为A（2，0）、B（0，2），‎ 设直线所对应的一次函数的解析为y=kx+b，‎ 分别把A、B的坐标代入其中，得，‎ 解得．‎ ‎∴一次函数的解析为y=﹣x+2；‎ ‎（3）由（1）m=﹣8，‎ 则a2+ma+7‎ ‎=a2﹣8m+7‎ ‎=（a﹣1）（a﹣7）．‎ 故答案为：﹣8．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？‎ ‎（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．‎ ‎【解答】解：（1）如图，射线CF即为所求；‎ ‎（2）EF∥BC．‎ ‎∵∠CAD=∠CDA，‎ ‎∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；‎ 又CF是顶角∠ACD的平分线，‎ ‎∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴EF∥BD，从而EF∥BC；‎ ‎（3）由（2）知EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABD，‎ ‎∴，‎ 又∵AE=AB，‎ ‎∴得=，‎ 把S四边形BDFE=9代入其中，解得S△AEF=3，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=3+9=12，‎ 即△ABD的面积为12．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约11025千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的1.6倍，水路所用天数是铁路所用天数的3倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的2倍少49千米．分别求出列车及轮船的平均日速．‎ ‎【解答】解：设轮船的日速为x千米/日，‎ 由题意，得×3=，‎ 解此分式方程，得x=392，‎ 经检验，x=392是原分式方程的解，‎ ‎2x﹣49=735．‎ 答：列车的速度为735千米/日；轮船的速度为392千米/日．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，‎ OA=4．‎ ‎（1）∠COD=　30　°；‎ ‎（2）求弦AD的长；‎ ‎（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．‎ ‎（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）‎ ‎【解答】解：（1）∵OA⊥OC，‎ ‎∴∠AOC=90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵=2，‎ ‎∴∠AOD=2∠COD，‎ ‎∴∠COD=∠AOC=30°，‎ 故答案为：30；‎ ‎（2）连结OD、AD，如图1所示：‎ 由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴△AOD为等边三角形，‎ ‎∴AD=OA=4；‎ ‎（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，‎ 延长AO交⊙O于点B，连结BE，如图2所示：‎ ‎∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，‎ OC是DE的垂直平分线，‎ 即PD=PE，‎ ‎∴AP+PD最小值=AP+PE=AE，‎ ‎∵∠AED=∠AOD=30°，‎ 又∵OA⊥OC，DE⊥OC，‎ ‎∴OA∥DE，‎ ‎∴∠OAE=∠AED=30°，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴△ABE为直角三角形，由=cos∠BAE，AE=AB•cos30°=2×4×=，‎ 即AP+PD=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎24．（14分）二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=﹣和直线y=x+m的交点．‎ ‎（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；‎ ‎（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；‎ ‎（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．‎ ‎【解答】解：（1）把D（0，﹣3）坐标代入直线y=x+m中，‎ 得m=﹣3，从而得直线y=x﹣3，‎ 由M为直线y=﹣与直线y=x﹣3的交点，‎ 得，‎ 解得，，‎ ‎∴得M点坐标为M（2，﹣1），‎ ‎∵M为二次函数y=x2+px+q的顶点，‎ ‎∴其对称轴为x=2，‎ 由对称轴公式：x=﹣，得﹣=2，‎ ‎∴p=﹣4；‎ 由=﹣1，‎ ‎=﹣1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得，q=3．‎ ‎∴二次函数y=x2+px+q的解析式为：y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）∵M是直线y=﹣和y=x+m的交点，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴M点坐标为M（﹣，），‎ ‎∴﹣=﹣、=，‎ 解得，p=，q=+，‎ 由，得x2+（p﹣1）x+q﹣m=0，‎ ‎△=（p﹣1）2﹣4（q﹣m）‎ ‎=（﹣1）2﹣4（+﹣m）=1＞0，‎ ‎∴二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；‎ ‎（3）由（1）知，二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3，‎ 当x=0时，y=3．‎ ‎∴点C的坐标为C（0，3），‎ 令y=0，即x2﹣4x+3=0，‎ 解得x1=1，x2=3，‎ ‎∴点A的坐标为A（3，0），‎ 由勾股定理，得AC=3．‎ ‎∵M点的坐标为M（2，﹣1），‎ 过M点作x轴的垂线，垂足的坐标应为（2，0），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由勾股定理得，AM=，‎ 过M点作y轴的垂线，垂足的坐标应为（0，﹣1），‎ 由勾股定理，得CM===2．‎ ‎∵AC2+AM2=20=CM2，‎ ‎∴△CMA是直角三角形，‎ CM为斜边，∠CAM=90°．‎ 直线y=﹣与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，‎ 则∠CPM=90°．即△CPM为Rt△，‎ 设P点的横坐标为x，则P（x，﹣）．过点P作x轴垂线，‎ 过点M作y轴垂线，两条垂线交于点E，则E（x，﹣1）．‎ 过P作PF⊥y轴于点F，则F（0，﹣）．‎ 在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2‎ ‎=（﹣+1）2+（2﹣x）2=﹣5x+5．‎ 在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2=x2+（3+）2‎ ‎=+3x+9．‎ 在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2，‎ 得+3x+9+﹣5x+5=20，‎ 化简整理得5x2﹣4x﹣12=0，‎ 解得x1=2，x2=﹣．‎ 当x=2时，y=﹣1，即为M点的横、纵坐标．‎ ‎∴P点的横坐标为﹣，纵坐标为，‎ ‎∴P（﹣，）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎25．（14分）已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．‎ ‎（1）若∠CBD=18°，则∠BCD=　42　°；‎ ‎（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；‎ ‎（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．‎ ‎【解答】解：（1）在△BCD中，∠BDC=120°，∠CBD=18°，‎ 根据三角形的内角和得，∠BCD=180°﹣∠BDC﹣∠CBD=42°，‎ 故答案为42，‎ ‎（2）画图如图1所示，‎ 由旋转知∠DAD'=90°，‎ ‎∵∠CAD=20°，‎ ‎∴∠CAD'=∠DAD'﹣∠CAD=90°﹣20°=70°；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）画图如图2，‎ 将△BDC绕点B按逆时针方向旋转60°，‎ 到△BEF的位置．‎ 连结DE，CF，‎ 由旋转可知，△BDE和△BCF均为等边三角形，‎ ‎∴DE=v，CF=a．‎ ‎∵∠ADB=120°，∠BDE=60°，‎ 即∠ADE=180°，‎ 则A、D、E三点共线（即该三点在同一条直线上）．‎ 同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°，‎ 即∠DEF=180°，则D、E、F三点共线，‎ ‎∴A、D、E、F四点均在一条直线上．‎ ‎∵EF=DC=w，‎ ‎∴线段AF=u+v+w．‎ 以线段AF为边在点B一侧作等边△AFG，‎ 则△AFG即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M．‎ 正三角形的边长为u+v+w已证，BA=c，BF=BC=a，‎ 下面再证BG=b．‎ ‎∵∠CFB=∠AFG=60°，‎ 即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ 在△AFC和△GFB中，‎ ‎∵FA=FG，∠1=∠2，FC=FB，‎ ‎∴△AFC≌△GFB（SAS），‎ ‎∴AC=GB，即BG=CA=b．‎ 从而点B（M）到等边△AFG三个顶点的距离分别为a、b、c，‎ 且其边长为u+v+w．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费