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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 人教版数学八年级(下)平行四边形单元试卷(含详解)‎ ‎ （题目较多，可自主择优使用）‎ 一、单选题（共11题；共21分）‎ ‎1.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2 ， 则S1+S2的值为（    ） ‎ A. 17                                         B. 18                                         C. 19                                         D. 20‎ ‎2.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（   ） ‎ A. 菱形                                 B. 矩形                                 C. 正方形                                 D. 等腰梯形 ‎3.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________． ‎ ‎4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（   ） ‎ A. 1                                        B.                                         C.                                         D. 4‎ ‎5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（   ） ‎ A. 5                                      B.                                       C.                                       D. ‎ ‎6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值 ﹣1．其中正确的说法有（   ）个． ‎ A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1‎ ‎7.（2017•绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（    ） ‎ A. 7°                                       B. 21°                                       C. 23°                                       D. 24°‎ ‎8.（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为   （       ） ‎ A. 3                                        B.                                         C.                                         D. 4‎ ‎9.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（   ） ‎ A. ∠ECD=112.5°                   B. DE平分∠FDC                   C. ∠DEC=30°                   D. AB= CD ‎10.（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（   ） ‎ A. 对角线互相平分      B. 对角线互相垂直      C. 对角线相等      D. 既是轴对称图形又是中心对称图形 ‎11.（2017•黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（   ） ‎ A. BD＜2                           B. BD=2                           C. BD＞2                           D. 以上情况均有可能 二、综合题（共12题；共134分）‎ ‎12.如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足为G，则：‎ ‎（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由； ‎ ‎（2）求∠EAF的度数； ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）若AG=4，△AEF的面积是6，求△CEF的面积． ‎ ‎13.在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 ‎ ‎（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系并说明理由； ‎ ‎（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 ‎ ‎14.ABCD中，E是CD边上一点， ‎ ‎（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是 ________，∠AFB=∠ ________.‎ ‎（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.‎ ‎（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2 ． ‎ ‎15.如图，在长方形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿 向点 运动，设点 的运动时间为 秒： ‎ ‎（1）________ .(用 的代数式表示)‎ ‎ ‎ ‎（2）当 为何值时， ‎ ‎（3）当点 从点 开始运动，同时，点 从点 出发，以 v的速度沿 向点 运动，是否存在这样的v 值，使得 全等？若存在，请求出 v的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎16.如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D． ‎ ‎（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似； ‎ ‎（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由； ‎ ‎（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长． ‎ ‎17.在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ. ‎ ‎（1）求证：△APQ≌△QCE； ‎ ‎（2）求∠QAE的度数； ‎ ‎（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积. ‎ ‎18.已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H 分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH=2． ‎ ‎（1）如图1，当DG=2，且点F在边BC上时. 求证：① △AHE≌△DGH； ② 菱形EFGH是正方形； ‎ ‎（2）如图2，当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ① 探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由； ② 设DG=x，△FCG的面积为S，是否存在x的值，使得S=1，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎19.在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点． ‎ ‎（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为________． ‎ ‎（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2， ①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为________； ②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；________ ③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．________ ‎ ‎20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． ‎ ‎（1）求证：△ADC≌△ECD； ‎ ‎（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由． ‎ ‎21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE． ‎ ‎（1）求证：OE=CD； ‎ ‎（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长． ‎ ‎22.（2017•玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF． ‎ ‎（1）求证：四边形EDFG是正方形； ‎ ‎（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值． ‎ ‎23.（2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． ‎ ‎（1）观察猜想 图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________； ‎ ‎（2）探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； ‎ ‎（3）拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值． ‎ 三、填空题（共3题；共3分）‎ ‎24.有一块边长为4的正方形ABCD，将一块足够大的直角三角板如图放置， CB延长线与直角边交于点E．则四边形AECF的面积是________．‎ ‎25.如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=4，则BE的最小值为________．‎ ‎26.如图，在菱形ABCD中，∠BAC=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①OG= AB； ②与△EGD全等的三角形共有5个； ③S四边形CDGF＞S△ABF； ④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 四、解答题（共4题；共45分）‎ ‎27.如图，已知菱形BEDF，内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长． ‎ ‎28.（2017·嘉兴）如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，连结 ． ‎ ‎（1）如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形； ‎ ‎（2）如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. ‎ ‎（3）如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 ． ①求 的度数； ②当 ， 时，求 的长． ‎ ‎29.（2017•湖州）已知正方形 的对角线 ， 相交于点 ． ‎ ‎（1）如图1， ， 分别是 ， 上的点， 与 的延长线相交于点 ．若 ，求证： ； ‎ ‎（2）如图2， 是 上的点，过点 作 ，交线段 于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．若 ， ①求证： ； ②当 时，求 的长． ‎ ‎30.（2017•绍兴）如图1，已知□ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3,4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上的一个动点.   ‎ ‎（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标. ‎ ‎（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标. ‎ ‎（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】B ‎ ‎【考点】正方形的性质，等腰直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】如图： 由题意可得，S2的边长为3，由AC= BC，BC=CE= CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2 ； 、 ，即可解得S1+S2=8+9=17． 故B符合题意. 故答案为：B 【分析】由题意可得出S2的值，再根据正方形的性质和直角三角形的性质可求出CE的长，继而可得S1的值，从而求出答案.‎ ‎2.【答案】A ‎ ‎【考点】菱形的判定，矩形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】已知：如图，四边形ABCD时矩形，E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点， 连接AC、BD， ∵四边形ABCD时矩形， ∴AC=BD， 又∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，， ∴EF=BD，GH=BD，FG=AC，EH=AC， ∴EF=GH=FG=EH， ∴四边形EFGH是菱形， 故答案为：A. 【分析】根据矩形的性质得出AC=BD，再根据中点由三角形中位线得出EF=GH=FG=EH，最后根据菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形即可得出答案.‎ ‎3.【答案】或10 ‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题） ‎ ‎【解析】【解答】①如图1，当点F在矩形内部时， ∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8， ∴AB=CD， 又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上， ∴AN=DM=4， 由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE， 在Rt△ANF中， ∴NF==3， ∴FM=5-3=2， 设DE=EF=x，则ME=4-x， 在Rt△ANF中， ∴ME2+MF2=EF2 ， 即（4-x）2+22=x2 ， ∴x=. 即DE=. ②如图2，当点F在矩形外部时， ∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8， ∴AB=CD， 又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上， ∴AN=DM=4， 由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE， 在Rt△ANF中， ∴NF==3， ∴FM=5+3=8， 设DE=EF=y，则ME=y-4， 在Rt△EMF中， ∴ME2+MF2=EF2 ， 即（y-4）2+82=y2 ， ∴y=10. 即DE=10. 故答案为：或10. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】根据题意分两种情况讨论：①点F在矩形内部，②点F在矩形外部，分别根据折叠的性质和勾股定理，列出方程求解即可得到DE的长.‎ ‎4.【答案】C ‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题） ‎ ‎【解析】【解答】设AE=x，则BE=3-x， ∵四边形AECF是菱形，AB=3， ∴∠FCO=∠ECO，AE=CE， 由折叠性质得∠ECB=∠ECO， ∴∠FCO=∠ECB=∠ECO=30°， ∴CE=2BE=2（3-x）， ∴x=2（3-x）， ∴x=2， 即AE=CE=2， ∴BE=1， ∴BC=， ∴S四AECF=AE.BC=2×=2. 故答案为：C. 【分析】设AE=x，则BE=3-x，由菱形性质得出∠FCO=∠ECO，AE=CE，再由折叠性质得∠ECB=∠ECO，从而得出∠ECB=30°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，从而求出x的值，从而求出菱形AECF的面积.‎ ‎5.【答案】B ‎ ‎【考点】勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x， ∵四边形ABCD矩形，AB=4， ∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°， ∴∠DEC+∠CDE=90°， 又∵F是AB的中点， ∴BF=2， 又∵EF⊥ED， ∴∠FED=90°， ∴∠FEB+∠DEC=90°， ∴∠FEB=∠CDE， ∴△BFE∽△CED， ∴=， ∴=， ∴（x-2）（x-4）=0， ∴x=2，或x=4， ①当x=2时， ∴EF=2，DE=4，DF=2， ∴AM=ME=， ∴AE===2, ②当x=4时， ∴EF=2，DE=2，DF=2， ∴AM=ME=， ∴AE==2, AE==4, ∴x=4不合题意，舍去 故答案为：B. 【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出 AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质 ‎ ‎【解析】解答】∵四边形ABCD为正方形，BF⊥AE， ∴∠AGB=90°， ∴G点在以AB为直径，AB中点O为圆心的圆弧上， ∴当点E移动到与C重合时，F点与D点重合，此时G为AC中点， ∴AG=GE， 故①错误. ∵当点E运动到C点时停止， ∴点G运动的轨迹为圆， 又∵正方形ABCD的边长为2， ∴圆弧的长为：×2××1=. 故③错误. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°， 又∵BF⊥AE， ∴∠AGB=90°， 即∠ABG+∠GBE=90°， ∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠GBE=∠BAG， 在△ABE和△BCF中， ∵， ∴△ABE≌△BCF， ∴AE=BF， 故②正确. 当O、G、C三点共线时，CG取得最小， ∵OB=1，BC=2， ∴OC==， ∴CG=OC-OG=-1， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故④正确. 故答案为：C. 【分析】①由题意得∠AGB=90°，G点在以AB为直径，AB中点O为圆心的圆弧上；故当E移动到与C重合时，F点与D点重合，此时G为AC中点，故①错误. ②由正方形的性质得出，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，再由同角的余角相等得出∠GBE=∠BAG，再利用ASA得出△ABE≌△BCF，根据全等三角形性质得出AE=BF，故②正确. ②当点E运动到C点时停止，此时点G运动的轨迹为圆，从而得出②错误. ④当O、G、C三点共线时，CG取得最小，根据勾股定理得出OC的长度，再由CG=OC-OG得出④正确.‎ ‎7.【答案】C ‎ ‎【考点】三角形的外角性质，矩形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°， 所以∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°， 因为∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∠AFC=∠FAE+∠FEA， 所以∠ACF=2∠FEA， 则∠ACD=∠ACF+∠ECD=3∠ECD=69°， 所以∠ECD=23° 故选C. 【分析】由矩形的性质不难得到∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°；根据三角形的外角性质及已知条件不难得出∠ACF=2∠FEA，即可得∠ACD被线CE三等分，则可解出∠ECD。‎ ‎8.【答案】C ‎ ‎【考点】勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下图）.  ∵四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4. ∴AE=DF=2,CF=BE=4. ∴△DGF∽△BGE ∴==. ∴GF=2,EF=4. 又∵M、N、K、H、都是中点， ∴MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2, ∴MK=OH=1.KH=MO=3 ∴NO=2. 在Rt△MON中， ∴MN= == . 故答案为C. 【分析】取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如上图）；由正方形ABCD是边长和BE的长可以得出AE=DF=2,CF=BE=4； 再由题得到△DGF∽△BGE，利用相似三角形的性质可以求出.GF=2,EF=4；再根据三角形中位线可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案.‎ ‎9.【答案】C ‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠CAB=45°， ∴∠B=∠ACB=67.5°． ∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴∠ACD=45°，AD=DC， ∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意； ∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴FE= AB，FE∥AB， ∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°． ∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC， ∴FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°， ∵AB=AC， ∴FE=FD， ∴∠FDE=∠FED= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣135°）=22.5°， ∴∠FDE= ∠FDC， ∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意； ∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°， ∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意； ∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC， ∴AC= CD， ∵AB=AC， ∴AB= CD，故D正确，不符合题意． 故选C． 【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确； 根据三角形的中位线定理得到FE= AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确； 由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误； 在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC= CD，又AB=AC，等量代换得到AB= CD，从而判断D正确．‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【考点】菱形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确； B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确； C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确； 故选：C． 【分析】根据菱形的性质解答即可得．‎ ‎11.【答案】A ‎ ‎【考点】等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】证明：∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB ∵∠ABC=2∠DBE， ∴∠ABE+∠CBD=∠DBE， ∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB， ∴∠AEB+∠CDB=∠DBE， ∴∠AED+∠CDE=180°， ∴AE//CD， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AE=CD， ∴四边形AEDC为平行四边形． ∴DE=AC=AB=BC． ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=CD=1， 在△BCD中，∵BD＜BC+CD， ∴BD＜2． 故选A． 【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE//CD，再根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得出△ABC是等边三角形．‎ 二、综合题 ‎12.【答案】（1）解：△ABF与△ AGF全等，理由如下：        在RtABF和RtAGF中，        ,        ∴△ABF△ AGF. （2）解：∵△ABF△ AGF，        ∴BAF=GAF，        同理易得：△AGE△ ADE，有GAE=DAE，        即EAF=EAD+FAG=BAD=45. （3）解：∵SAEF=EFAG，AG=4，        ∴6=EFAG，        ∴EF=3，        ∵BF=FG，EG=DE，AG=AB=BC=CD=4，设FC=x，EC=y，则BF=4-x，DE=4-y，        ∵BF+DE=FG+EG=EF=3，        ∴4-x+4-y=3，        ∴x+y=5    ①        在RtEFC中，∵EF2=EC2+FC2 ，        ∴x2+y2=32      ②        ①2-②得到，2xy=16，        ∴SCEF=xy=4. ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据HL可得出△ABF△ AGF；（2）只要证明BAF=GAF，GAE=DAE，即可求出EAF=45；（3）设FC=x，EC=y，则BF=4-x，DE=4-y，构建方程组，求出xy即可求出△CEF的面积．‎ ‎13.【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，O为BC的中点， ∴BO=CO=AO=BC， （2）解：△OMN是等腰直角三角形.理由如下： 连接OA，如图， ∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB=OC，OA平分∠BAC，∠B=45°， ∴∠NAO=∠B=45°， 在△NAO和△MBO 中，  AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO   ， ∴△NAO≌ △MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM， ∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC， 即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°， 即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形. ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得出答案. （2）△OMN是等腰直角三角形.理由如下：连接OA，由等腰直角三角形性质得出OA=OB=OC，AO⊥BC，OA平分∠BAC，∠NAO=∠B=45°，再由SAS得到△NAO≌ △MBO，由全等三角形的性质得出ON=OM，∠AON=∠BOM，再根据垂直的定义得出∠BOM+∠AOM=90°，由等量代换得∠NOM=90°，从而得证.‎ ‎14.【答案】（1）BF.；AED. （2）解：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2， 则∠D=∠ABE=90°， 即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°， ∴∠PAE=45°， ∴∠PAQ=∠PAE， 在△APE和△APQ中 ∵ ， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ， 而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3） 解：四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°， 如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK， 则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK， ∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK为直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2 ， ∴BM2+DN2=MN2. ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质 ‎ ‎【解析】【解答】（1）如图1，∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，∵DE=BF，∠AFB=∠AED． 故答案为：BF，AED. 【分析】（1）如图1，直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED． （2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°， 则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ. （3）根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证△AMN≌△AMK，得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2 ， 然后利用等量代换即可得到BM2+DN2=MN2.‎ ‎15.【答案】（1）（10-2t） （2）解：当t=2.5时，△ABP≌△DCP.理由如下： ∵t=2.5， ∴BP=2t=2×2.5=5， ∴PC=10-5-5， 在△ABP和△DCP中， ∵, ∴△ABP≌△DCP（SAS）. （3）解：①当BP=CQ，AB=CP时，△ABP≌△PCQ. ∵AB=6， BC= 10cm ， ∴PC=6， ∴BP=10-6=4， 依题可得：2t=4， ∴t=2， ∴CQ=BP=4， ∴2v=4， ∴v=2. ②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP. ∵PB=PC， BC= 10cm ， ∴PB=PC=BC=5， 依题可得：2t=5， ∴t=2.5， ∴CQ=BA=6， ∴2.5v=6， ∴v=2.4. 综上所述：当v等于2或2.4时△ABP与△PCQ全等. ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：（1）依题可得：BP=2t， 又∵BC= 10cm， ∴CP=10-2t， 故答案为：10-2t. 【分析】（1）依题可得BP=2t，再由已知条件得出PC=10-2t， （2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP.理由如下：当t=2.5时可以求出BP=PC=5，由SAS得出,△ABP≌△DCP. （3）分两种情况来讨论：①当BP=CQ，AB=CP时，△ABP≌△PCQ；由已知条件求出BP=2t=4，从而求出t=2；再根据CQ=BP=2v=4，从而求出v的值. ②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP.由已知条件求出PB=PC=BC=2t=5，从而求t=2.5；再根据CQ=BA=2.5v=6，从而求出v的值.‎ ‎16.【答案】（1）解：∵∠MCA=∠BDO=Rt∠， ∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点， ∴△AMC和△BOD相似时分两种情况： ①当△AMC∽△BOD时， =tan∠EOF=2， ∵MC=4， ∴ =2， 解得AC=8； ②当△AMC∽△OBD时， =tan∠EOF=2， ∵MC=4， ∴ =2， 解得AC=2． 故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似 （2）解：△ABO为直角三角形．理由如下： ∵MC∥BD， ∴△AMC∽△ABD， ∴ ，∠AMC=∠ABD， ∵M为AB中点， ∴C为AD中点，BD=2MC=8． ∵tan∠EOF=2， ∴OD=4， ∴CD=OC﹣OD=8， ∴AC=CD=8． 在△AMC与△BOD中， ， ∴△AMC≌△BOD（SAS）， ∴∠CAM=∠DBO， ∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△ABO为直角三角形 （3）解：连结BC， 设OD=a，则BD=2a． ∵S△AMC=S△BOC ， S△AMC= AC MC=2AC，S△BOC= OC BD=12a， ∴2AC=12a， ∴AC=6a． ∵△AMC∽△ABD， ∴ ，即 ， 解得a1=3，a2=﹣ （舍去）， ∴AC=6×3=18． ‎ ‎【考点】三角形的面积，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】（1）△AMC和△BOD相似时分两种情况：△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD，再由相似三角形的对应边成比例求出AC的长； （2）易证△AMC∽△ABD，根据相似三角形的性质和三角形的中位线性质可求出OD=4，CD=8，AC=CD=8，从而得出△AMC≌△BOD，则∠CAM=∠DBO，再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度数，进而得出△ABO的形状； （3）设OD=a，则BD=2a．利用三角形的面积可得AC=6a，再由△AMC∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例可求出a的值，进而得出AC的长.‎ ‎17.【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCM=90°， ∵ BP=BQ， ∴ △PBQ是等腰直角三角形，AP=QC， ∴ ∠BPQ=45°， ∴ ∠APQ=135° ∵ CE平分∠DCM， ∴ ∠DCE=∠ECM=45°， ∴ ∠QCE=135°， ∴ ∠APQ=∠QCE=135°， ∵ AQ⊥QE，即 ∠AQE=90°, ∴ ∠AQB+∠CQE=90°． ∵ ∠AQB+∠BAQ=90°． ∴ ∠BAQ=∠CQE． ∴ △APQ≌△QCE（ASA）． （2）解：由（1）知△APQ≌△QCE． ∴ QA=QE. ∵ ∠AQE=90°， ∴ △AQE是等腰直角三角形， ∴ ∠QAE=45° （3）解：连结AC，若QF∥CE，则∠FQC=∠ECM=45°. ∴ △QCF是等腰直角三角形，∴ CF=CQ=2-x, ∴ DF=BQ=x. ∵ AB=AD，∠B=∠D=90°， ∴ △ABQ≌△ADF（SAS）. ∴ AQ=AF，∠QAB=∠DAF=22.5°, ∴ AC垂直平分QF， ∴ ∠QAC=∠FAC=∠QAB=∠FAD=22.5°, FQ=2QN， ∴ FQ=2BQ=2x. 在Rt△QCF中，根据勾股定理，得(2-x)2+(2-x)2=(2x)2. 解这个方程，得 x1=-2+2 , x2=-2-2 (舍去). ∴ 当x=-2+2 时，QF∥CE. 此时，S△QCF=S△QEF ， ∴ S△QCF+ S△AQF=S△QEF+ S△AQF= S△AQE= AQ2 ， ∴ S△AQF= S△AQE- S△QCF= AQ2- CQ2= (AQ2-CQ2) = [(x2+22)-(2-x)2]= ·4x=2x=-4+4 . ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得出△PBQ是等腰直角三角形，从而求出AP=QC、∠APQ=∠QCE=135°，由余角的性质可得∠BAQ=∠CQE，利用ASA可证出； （2）利用全等三角形的性质可得QA=QE，从而得出△AQE是等腰直角三角形，可求出∠QAE的度数； （3）由题意可得 △QCF是等腰直角三角形，从而可得出 △ABQ≌△ADF，则 AQ=AF，进而可得FQ=2BQ.在Rt△QCF中，根据勾股定理可求出x的值，再求出△AGF的面积，即得△AQF的面积.‎ ‎18.【答案】（1）解：① 在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°， 在菱形EFGH中，EH=HG， 又∵ AH=DG=2， ∴ △AHE≌△DGH.  ② 由（1）知△AHE≌△DGH， ∴ ∠AHE=∠DGH． ∵ ∠DGH+∠DHG=90°， ∴ ∠DHG+∠AHE=90°， ∴ ∠GHE=90°， ∴ 菱形EFGH是正方形． （2）解：① 点F到直线CD的距离没有发生变化，理由如下： 作FM⊥DC于M，连结GE. 如图， ∵ AB∥CD, ∴∠AEG=∠MGE， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵ HE∥GF, ∴∠HEG=∠FGE， ∴ ∠AEH=∠MGF． 在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG， ∴ △AHE≌△MFG. ∴ FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2． ② 不存在. ∵ DG=x，∴ GC=6-x. ∴ S= S△FCG= ×2×(6-x)=6-x． 若S=S△FCG=1，∴ 由S△FCG=6-x，得x=5. 此时，在Rt△DGH中，HG= = ． 相应地，在Rt△AHE中，AE= ＞6，即点E已经不在边AB上． 故不可能有S=1 ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正方形的判定 ‎ ‎【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和菱形的性质易证出结论； ②由△AHE≌△DGH可得∠AHE=∠DGH，再由∠DGH+∠DHG=90°可得∠GHE=90°，再由正方形的判定定理可证出； （2）①作FM⊥DC于M，连结GE. 证△AHE≌△MFG，则FM=HA=2，从而得出结论； ②先根据△FCG的面积求出x的值，在Rt△DGH中，利用勾股定理可求出HG的长，在Rt△AHE中，求AE的长，比较可得结论.‎ ‎19.【答案】（1） （2）1；解：②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB， ∵∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠CAB=30°， ∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN， ∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，； ∴∠AMN=∠ANM=60°， ∴AM=AN， ∴AM=A′M=AN=A′N， ∴四边形AM A′N是菱形；；③在菱形ABCD中，AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD=60°， ∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB， ∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°， ∴∠NA′B=∠DMA′， ∴△DMA′∽△BA′N， ∴ = ， ∵MD= AD=1，A′M=2， ∴ = ‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，菱形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：（1）如图1， 过点N作NG⊥AB于G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OD=OB， ∴ = =1， ∴BN=DM= AD=1， ∵∠DAB=60°， ∴∠NBG=60° ∴BG= ，GN= ， ∴AN= = = ； 故答案为： ； （ 2 ）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线， ∵∠DAB=60°AM=2， ∴AN= AM=1， 故答案为：1； 【分析】（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，根据菱形的性质得出AD∥BC，OD=OB，∠NBG=60° ,根据平行线分线段成比例定理得出DM∶BN＝OD∶OB＝1，从而得出BN=DM=1 ，利用含30°的直角三角形的边的关系得出BG、GN的长，利用勾股定理解决问题； （2）①利用线段中垂线的性质得到MN⊥AA',利用含30°的直角三角形的边的关系得出AN的长； ②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形 ③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，从而判断出△DMA′∽△BA′N，利用相似三角形对应边成比例得到结果．‎ ‎20.【答案】（1）证明：∵四边形ABDE为平行四边形， ∴AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD， ∴∠AED=∠CDE， 又∵AB=AC， ∴∠ABD=∠ACD，AC=DE， ∴∠ACD=∠AED， ∴∠ACD=∠CDE， 在△ADC和△ECD中， ∵， ∴△ADC≌△ECD； （2）解：当点D在BC中点时，四边形ADCE是矩形；理由如下： ∵D为BC中点， ∴BD=CD， 又∵四边形ABDE为平行四边形， ∴AE∥BD，AE=BD，AB=DE， ∴AE∥CD，AE=CD， ∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵AB=AC， ∴AC=DE， ∴平行四边形ADCE为矩形. ‎ ‎【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定 ‎ ‎【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=DE，∠ABD=∠AED，AE∥BD，再由平行线的性质得出∠AED=∠CDE，又由等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ACD，根据等量代换得出AC=DE，∠ACD=∠AED=∠CDE，再由全等三角形的判定SAS得证. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）当点D在BC中点时，四边形ADCE是矩形；理由如下：由D为BC中点得出BD=CD；由平行四边形的性质得出AE∥BD，AE=BD，AB=DE；由等量代换得出AE∥CD，AE=CD，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE为平行四边形，再由对角线相等的平行四边形为矩形.‎ ‎21.【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC= AC，AD=CD， ∵DE∥AC且DE= AC， ∴DE=OA=OC， ∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形， ∴OE=AD， ∴OE=CD； （2）解：∵AC⊥BD， ∴四边形OCED是矩形， ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴AC=AB=2， ∴在矩形OCED中，CE=OD= = ． ∴在Rt△ACE中，AE= = ． ‎ ‎【考点】勾股定理的应用，菱形的性质，矩形的性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE= AC，易证得四边形OCED是平行四边形，继而可得OE=CD即可；（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．‎ ‎22.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD． 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE=DF，∠ADE=∠CDF． ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ∴△EDF为等腰直角三角形． ∵O为EF的中点，GO=OD， ∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF， ∴四边形EDFG是正方形 （2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点， ∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）． ∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8． ∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4． ‎ ‎【考点】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形 ‎ ‎【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．‎ ‎23.【答案】（1）PM=PN；PM⊥PN （2）解：由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形 （3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形， ∴MN最大时，△PMN的面积最大， ∴DE∥BC且DE在顶点A上面， ∴MN最大=AM+AN， 连接AM，AN， 在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°， ∴AM=2 ， 在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5 ， ∴MN最大=2 +5 =7 ， ∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】三角形中位线定理，旋转的性质，等腰直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN= BD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM= CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN， 【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．‎ 三、填空题 ‎24.【答案】16. ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】∵四边形ABCD为正方形，              ∴D=ABC=90，AD=AB，              ∴ABE=D=90，              ∵EAF=90，              ∴DAF+BAF=90，BAE+BAF=90，              ∴DAF=BAE，              在AEB和AFD中，              ∵,              ∴AEBAFD（ASA），              ∴SAEB=SAFD，              它们都加上四边形ABCF的面积=正方形的面积=16.               故答案为：16. 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质. 关键在于求证AEBAFD.‎ ‎25.【答案】‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质 ‎ ‎【解析】【解答】如图，连接PD，              由题意可得，PC=EC，PCE=90=DCB，BC=DC，              ∴DCP=BCE，              在DCP和BCE中，              ，               ∴DCPBCE（SAS），               ∴PD=PE，               当DPOM时，DP最短，此时BE最短，               ∵AOB=30，AB=4=AD，               ∴OD=OA+AD=，               ∴当DPOM时，DP=OD=，               ∴BE的最小值为.               故答案为：. 【分析】连接PD，依据SAS构造全等三角形，即DCPBCE，将BE的长转化为PD的长，再根据垂线段最短得到当DP最短时，BE也最短，根据AOB=30，OD=，即可求得PD的最小值.‎ ‎26.【答案】①④ ‎ ‎【考点】全等三角形的判定，菱形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD=DE， ∴AB=DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG=DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG= CD= AB，①正确； ∵AB∥CE，AB=DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB=BD=AD，∠ODC=60°， ∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG， 在△ABG和△DCO中， ， ∴△ABG≌△DCO（SAS）， ∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确； ∵OB=OD，AG=DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG∥AB，OG= AB， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF， ∴△GOD的面积= △ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1， ∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍， 又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积， ∴S四边形ODGF=S△ABF；不正确； 正确的是①④． 故答案为：①④． 【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG= CD= AB，①正确； 先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确； 由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确； 证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG= AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．‎ 四、解答题 ‎27.【答案】解：设菱形的边长为xcm， 则DE=DF=BF=BE=xcm， ∵四边形BEDF是菱形， ∴DE∥BC，DF∥AB， ∴∠ADE=∠C，∠A=∠CDF， ∴△AED∽△DFC， ∴ ， ∴ = ， x= ， 即菱形的边长是 cm ‎ ‎【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】设菱形的边长为xcm，根据菱形的性质得出DE=DF=BF=BE=xcm，DE∥BC，DF∥AB，根据二直线平行同位角相等得出∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，进而判断出△AED∽△DFC，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可得出答案。‎ ‎28.【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM， ∵CE//AM， ∴∠ECD=∠ADB， 又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC， ∴△ABD≅△EDC， ∴AB=ED，又∵AB//ED, ∴四边形ABDE为平行四边形。 （2）解：结论成立，理由如下： 过点M作MG//DE交EC于点G， ∵CE//AM， ∴四边形DMGE为平行四边形， ∴ED=GM且ED//GM， 由（1）可得AB=GM且AB//GM， ∴AB=ED且AB//ED. ∴四边形ABDE为平行四边形. （3）解：①取线段HC的中点I，连结MI， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI//BH,MI=BH， 又∵BH⊥AC，且BH=AM， ∴MI=AM，MI⊥AC， ∴∠CAM=30° ②设DH=x,则AH=x，AD=2x, ∴AM=4+2x，∴BH=4+2x, 由（2）已证四边形ABDE为平行四边形， ∴FD//AB， ∴△HDF~△HBA， ∴，即 解得x=1±（负根不合题意，舍去） ∴DH=1+. ​ ‎ ‎【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中考真题 ‎ ‎【解析】【分析】（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，则△ABD≅△EDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形. （2）过点M作MG//DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可证得； （3）①在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30°，60°，45°的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，则去找Rt△AMI中边的关系，求出∠CAM； ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②根据①所得的∠CAM，则可设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到对应边成比例，求出x的值即可；‎ ‎29.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴AC⊥BD,OD=OC. ∴∠DOG=∠COE=90°. ∴∠OEC+∠OCE=90°. ∵DF⊥CE. ∴∠OEC+∠ODG=90°. ∴∠ODG=∠OCE. ∴△DOG≌△COE（ASA）. ∴OE=OG. （2）①证明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°. 又OE=OG. ∴△DOG≌△COE（SAS）. ∴∠ODG=∠OCE. ②解：设CH=x， ∵四边形ABCD是正方形，AB=1 ∴BH=1-x ∠DBC=∠BDC=∠ACB=45° ∵EH⊥BC ∴∠BEH=∠EBH=45° ∴EH=BH=1-x ∵∠ODG=∠OCE ∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE ∴∠HDC=∠ECH ∵EH⊥BC ∴∠EHC=∠HCD=90° ∴△CHE∽△DCH ∴  =. ∴HC2=EH·CD 得x2+x-1=0 解得x1=,x2=（舍去）. ∴HC=. ‎ ‎【考点】解一元二次方程-公式法，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定ASA和性质即可. （2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论. ②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定于性质可得=,然后列方程求解即可.‎ ‎30.【答案】（1）解：在□ABCD中， CD=AB=6， 所以点P与点C重合， 所以点P的坐标为（3,4）. （2）解：①当点P在边AD上时， 由已知得，直线AD的函数表达式为y=-2x-2， 设P（a,-2a-2），且-3≤a≤1， 若点P关于x轴对称点Q1（a,2a+2）在直线y=x-1上， 所以2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3,4）。 若点Ｐ关于y轴对称点Q2（-a,-2a-2）在直线y=x-1上， 所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1,0）. ②当点P在边AB上时，设P（a,-4）,且1≤a≤7， 若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上， 所以4=a-1，解得a=5,此时P（5，-4）. 若点P关于y轴对称点Q4（-a,-4）在直线y=x-1上， 所以-4=-a-1，解得a=3,此时P（3，-4）. 综上所述，点P的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）. （3）解：因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0,-2）. ①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4）,且-3≤m≤3, 则可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|， 易证得△OGM′~△HM′P， 则 , 即 ， 则OM′= ， 在Rt△OGM′中， 由勾股定理得， ， 解得m= 或 ， 则P（ ，4）或（ ，4）； ②如下图，当点P在AD边上时，设P（m,-2m-2）, 则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|, 易证得△OGM′~△HM′P， 则 , 即 ， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则OM′= ， 在Rt△OGM′中， 由勾股定理得， ， 整理得m= , 则P（ ，3）； 如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4）， 此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形， 所以GM=PM=4-2=2， 则P（2，-4）. 综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）. ‎ ‎【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题） ‎ ‎【解析】【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费