2018年湖北省荆门市东宝区中学数学模拟试题（一）含答案解析.doc

‎2018年湖北省荆门市东宝区中学数学模拟试题（一）‎ 一、选择题（每小题3分，共36分） ‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B． C．﹣2 D．以上都不对 ‎【解答】解：﹣2的相反数是2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠ C．x≥﹣1且x≠ D．x＞﹣1‎ ‎【解答】解：由题意得，x+1≥0且2x﹣1≠0，‎ 解得x≥﹣1且x≠．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，‎ 无理数是：π，共2个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a•a2=a3 B．（a3）2=a5 C．a+a2=a3 D．a6÷a2=a3‎ ‎【解答】解：A、a•a2=a3，正确；‎ B、应为（a3）2=a3×2=a6，故本选项错误；‎ C、a与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误 D、应为a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎【解答】解：点E有4种可能位置．‎ ‎（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，‎ ‎∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，‎ ‎∴∠AE1C=β﹣α．‎ ‎（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，‎ ‎∴∠AE2C=α+β．‎ ‎（3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，‎ ‎∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，‎ ‎∴∠AE3C=α﹣β．‎ ‎（4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，‎ ‎∴∠AE4C=360°﹣α﹣β．‎ ‎∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3‎ ‎【解答】解：∵不等式组无解．‎ ‎∴m≤3．故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：‎ 册数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人数 ‎4‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎1‎ 关于这组数据，下列说法正确的是（　　）‎ A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2‎ ‎【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：‎ ‎（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；‎ ‎∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是3；‎ ‎∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，‎ ‎∴这组数据的中位数为2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）下面计算中正确的是（　　）‎ A． += B．﹣= C． =﹣3 D．﹣1﹣1=1‎ ‎【解答】解：A、原式不能合并，错误；‎ B、原式=3﹣2=，正确；‎ C、原式=|﹣3|=3，错误；‎ D、原式=﹣1，错误，‎ 故选B ‎　‎ ‎9．（3分）我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（　　）米．‎ A．42.3×104 B．4.23×102 C．4.23×105 D．4.23×106‎ ‎【解答】解：423公里=423 000米=4.23×105米．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（　　）‎ A．112 B．136 C．124 D．84‎ ‎【解答】解：如图：‎ 由勾股定理=3，‎ ‎3×2=6，‎ ‎6×4÷2×2+5×7×2+6×7‎ ‎=24+70+42‎ ‎=136．‎ 故该几何体的全面积等于136．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2；　⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，故①错误，‎ 观察图象可知：当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②正确，‎ ‎∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，‎ ‎∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确，‎ ‎∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，‎ ‎∴方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，故④正确，‎ ‎∵对称轴x=﹣1=﹣，‎ ‎∴b=2a，‎ ‎∵a+b+c＜0，‎ ‎∴3a+c＜0，故⑤正确，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图：△ADB、△BCD均为等边三角形，若点顶点A、C均在反比例函数y=上，若C的坐标点（a、），则k的值为（　　）‎ A．2 B．3+ C．3+2 D．2‎ ‎【解答】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，设OA=OB=2x，‎ ‎∵△ADB、△BCD均为等边三角形，C（a、），‎ ‎∴AE=x，BF=1，‎ ‎∴A（x， x），C（2x+1，）．‎ ‎∵A、C两点均在反比例函数的图象上，‎ ‎∴x2=（2x+1），解得x1=1+，x2=1﹣（不合题意），‎ ‎∴C（3+2，），‎ ‎∴k=（3+2）×=3+2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎ ‎ 二、填空题（每小题3分，共15分） ‎ ‎13．（3分）已知，则a+b=　﹣4　‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴2a+b2=0，b﹣4=0，‎ ‎∴a=﹣8，b=4，‎ ‎∴a+b=﹣4，‎ 故答案为﹣4．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）化简：÷（﹣1）•a=　﹣a﹣1　．‎ ‎【解答】解：原式=••a=﹣（a+1）=﹣a﹣1，‎ 故答案为：﹣a﹣1‎ ‎　‎ ‎15．（3分）已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是　8　．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2+k+3，‎ ‎∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，‎ ‎∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2‎ ‎=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1‎ ‎=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2‎ ‎=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2‎ ‎=2k2+2k﹣4‎ ‎=2（k+）2﹣≥8，‎ 故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击　6　小时后可追上敌军．‎ ‎【解答】解：设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军．‎ 根据题意得：7x=4（1+x）+14，‎ 解得：x=6．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为　　．‎ ‎【解答】解：连接OD．‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴CE=DE=CD=（垂径定理），‎ 故S△OCE=S△ODE，‎ 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，‎ 又∵∠CDB=30°，‎ ‎∴∠COB=60°（圆周角定理），‎ ‎∴OC=2，‎ 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎ ‎ 三、解答题（本题共7小题，共69分） ‎ ‎18．（7分）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．‎ ‎【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，‎ 当x=时，原式=6﹣1=5．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．‎ ‎【解答】证明：延长CM、DB交于G，‎ ‎∵△ABD和△ACE都是Rt△，‎ ‎∴CE∥BD，即CE∥DG，‎ ‎∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD 又∵M是DE中点，即DM=EM，‎ ‎∴△ECM≌△DMG，‎ ‎∴CM=MG，‎ ‎∵G在DB的延长线上，‎ ‎∴△CBG是Rt△CBG，‎ ‎∴在Rt△CBG中，．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；‎ ‎（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？‎ ‎（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽 取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．‎ ‎【解答】解：（1）10÷20%=50，‎ 所以本次抽样调查共抽取了50名学生；‎ ‎（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4=16（人）；‎ 补全条形图如图所示：‎ ‎（3）700×=56，‎ 所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，‎ 所以抽取的两人恰好都是男生的概率==．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°．已知OA=200m，此山坡的坡比i=，且O、A、D在同一条直线上．‎ 求：（1）楼房OB的高度；‎ ‎（2）小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均不取近似值）‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200．…（2分）‎ ‎∵tan60°=，‎ 即，‎ ‎∴OB=OA=200（m）． …（2分）‎ ‎（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．‎ 则OE=CH，EC=OH．‎ 根据题意，知i==，‎ 可设CH=x，AH=2x． …（1分）‎ 在Rt△BEC中，∠BCE=45°，‎ ‎∴BE=CE，‎ 即OB﹣OE=OA+AH．‎ ‎∴200﹣x=200+2x．‎ 解得x=． …（1分）‎ 在Rt△ACH中，‎ ‎∵AC2=AH2+CH2，‎ ‎∴AC2=（2x）2+x2=5x2．‎ ‎∴AC=x= [或]（m）． （1分）‎ 答：高楼OB的高度为200m，小玲在山坡上走过的距离AC为m． …（1分）‎ ‎　‎ ‎22．（10分）设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．‎ 求证：（1）AD是⊙B的切线；‎ ‎（2）AD=AQ；‎ ‎（3）BC2=CF•EG．‎ ‎【解答】证明：（1）连接BD，‎ ‎∵四边形BCDE是正方形，‎ ‎∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，‎ ‎∵C为AB的中点，‎ ‎∴CD是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠DAB=∠DBA=45°，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 即BD⊥AD，‎ ‎∵BD为半径，‎ ‎∴AD是⊙B的切线；‎ ‎（2）∵BD=BG，‎ ‎∴∠BDG=∠G，‎ ‎∵CD∥BE，‎ ‎∴∠CDG=∠G，‎ ‎∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，‎ ‎∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，‎ ‎∴∠ADQ=∠AQD，‎ ‎∴AD=AQ；‎ ‎（3）连接DF，‎ 在△BDF中，BD=BF，‎ ‎∴∠BFD=∠BDF，‎ 又∵∠DBF=45°，‎ ‎∴∠BFD=∠BDF=67.5°，‎ ‎∵∠GDB=22.5°，‎ 在Rt△DEF与Rt△GCD中，‎ ‎∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，‎ ‎∴Rt△DCF∽Rt△GED，‎ ‎∴，‎ 又∵CD=DE=BC，‎ ‎∴BC2=CF•EG．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．‎ ‎（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？‎ ‎（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？‎ ‎（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ ‎（1）50+x﹣40=x+10（元）（3分）‎ ‎（2）设每个定价增加x元．‎ 列出方程为：（x+10）（400﹣10x）=6000‎ 解得：x1=10 x2=20‎ 要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．（3分）‎ ‎（3）设每个定价增加x元，获得利润为y元．‎ y=（x+10）（400﹣10x）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x﹣15）2+6250‎ 当x=15时，y有最大值为6250．‎ 所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．（4分）‎ ‎　‎ ‎24．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．‎ ‎（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为　150　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　PA2+PC2=PB2　；‎ ‎（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；‎ ‎（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　4PA2•sin2+PC2=PB2　．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，‎ ‎∴AP=AP′，‎ 由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，‎ ‎∴△PAP′为等边三角形，‎ ‎∴∠APP′=60°，‎ ‎∵∠PAC+∠PCA==30°，‎ ‎∴∠APC=150°，‎ ‎∴∠P′PC=90°，‎ ‎∴PP′2+PC2=P′C2，‎ ‎∴PA2+PC2=PB2，‎ 故答案为：150，PA2+PC2=PB2；‎ ‎（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，‎ 作AD⊥PP′于D，‎ 由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，‎ ‎∴∠APP′=30°，‎ ‎∵∵∠PAC+∠PCA==60°，‎ ‎∴∠APC=120°，‎ ‎∴∠P′PC=90°，‎ ‎∴PP′2+PC2=P′C2，‎ ‎∵∠APP′=30°，‎ ‎∴PD=PA，‎ ‎∴PP′=PA，‎ ‎∴3PA2+PC2=PB2；‎ ‎（3）如图2，与（2）的方法类似，‎ 作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，‎ 作AD⊥PP′于D，‎ 由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，‎ ‎∴∠APP′=90°﹣，‎ ‎∵∵∠PAC+∠PCA=，‎ ‎∴∠APC=180°﹣，‎ ‎∴∠P′PC=（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，‎ ‎∴PP′2+PC2=P′C2，‎ ‎∵∠APP′=90°﹣，‎ ‎∴PD=PA•cos（90°﹣）=PA•sin，‎ ‎∴PP′=2PA•sin，‎ ‎∴4PA2sin2+PC2=PB2，‎ 故答案为：4PA2sin2+PC2=PB2．‎ ‎　‎