2016-2017学年宁德市霞浦县城区八年级下期中数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年福建省宁德市霞浦县城区八年级（下）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列各式由左边到右边的变形属于因式分解的是（　　）[来源:Zxxk.Com]‎ A．（a+1）（a﹣1）=a2﹣1 B．3x2+6x=3x（x+2）‎ C．x2﹣x+1=x（x﹣1）+1 D．a（x﹣y）=ax﹣ay ‎2．（3分）下列命题不正确的是（　　）‎ A．若a是非负数，则a≥0 B．若a不大于b，则a≤b C．若a＞b，则﹣3a＞﹣3b D．若a＞b，则a﹣b＞0‎ ‎3．（3分）在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．（3分）若等腰三角形中有一个角等于70°，则它的顶角的度数为（　　）‎ A．40° B．70° C．55°或70° D．40°或70°‎ ‎8．（3分）如图，AC=AD，BC=BD，则（　　）‎ A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确 ‎9．（3分）小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完？设以后几天里平均每天要读x页，所列不等式为（　　）‎ A．2+10x≥87 B．2+10x≤87 C．10+8x≤87 D．10+8x≥87‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列结论正确的有（　　）‎ ‎①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ABD=1：2．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）‎ ‎11．（2分）命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是　 　．‎ ‎12．（2分）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设　 　．‎ ‎13．（2分）如图，直线PC是AB的垂直平分线，垂足C，且∠A=35°，则∠B=　 　．‎ ‎14．（2分）在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是　 　．‎ ‎15．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2，则点C到斜边AB的距离是　 　．‎ ‎16．（2分）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，根据图象可直接得关于x的不等式ax+b≥kx的解集是　 　．‎ ‎17．（2分）若关于x的不等式2x﹣m≥1的解集如图所示，则m=　 　．‎ ‎18．（2分）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB=　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共54分）‎ ‎19．（9分）（1）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）‎ ‎（2）解不等式1﹣（x﹣1）≤0，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎20．（13分）（1）求不等式组的整数解．‎ ‎（2）认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：‎ ‎1+x+x（1+x）+x（1+x）2‎ ‎=（1+x）[1+x+x（1+x）]‎ ‎=（1+x）2（1+x）‎ ‎=（1+x）3‎ ‎①上述分解因式的方法是　 　；‎ ‎②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3．‎ ‎③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　 　．‎ ‎21．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AB=DE，∠A=∠D=90°．求证：AB∥DE．‎ ‎22．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，Rt△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3），请按要求完成下列步骤：‎ ‎（1）将Rt△ABC沿x轴向右平移6个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标（　 　，　 　）．‎ ‎（2）将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．‎ ‎23．（10分）初二年级为了表彰在“书香校园”活动中表现突出的学生，准备购买一批每支售价15元的钢笔和每本售价5元的笔记本奖励学生．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动．‎ ‎ 活动1：买一支钢笔送一本笔记本；‎ ‎ 活动2：按购买金额打八折付款．‎ ‎ 年段欲购买这种钢笔20支，笔记本x（x≥10）本．‎ ‎（1）写出每种优惠办法实付金额y1（元），y2（元）与x（本）之间的函数关系式．‎ ‎（2）若选择“活动1”的优惠办法付款更省钱，x应满足什么条件？‎ ‎（3）如果商场允许可以选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种钢笔20支和笔记本60本设计一种最省钱的购买方案．‎ ‎24．（10分）数学兴趣小组活动时，老师带领大家探究《折线中的数学问题》，出示了如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=3，AB=CD=9，然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：‎ ‎（1）点N到MK的距离是　 　；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）改变折痕MN的位置，△MNK始终什么三角形，请说明理由；‎ 应用：‎ ‎（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积S时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积S的最小值为，此时∠1的大小可以为　 　°；‎ ‎（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积S有最大值．请你写出这个最大值为　 　．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年福建省宁德市霞浦县城区八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列各式由左边到右边的变形属于因式分解的是（　　）‎ A．（a+1）（a﹣1）=a2﹣1 B．3x2+6x=3x（x+2）‎ C．x2﹣x+1=x（x﹣1）+1 D．a（x﹣y）=ax﹣ay ‎【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；‎ B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；‎ C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；‎ D、是整式的乘法，故D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　[来源:学+科+网]‎ ‎2．（3分）下列命题不正确的是（　　）‎ A．若a是非负数，则a≥0 B．若a不大于b，则a≤b C．若a＞b，则﹣3a＞﹣3b D．若a＞b，则a﹣b＞0‎ ‎【解答】解：A、若a是非负数，则a≥0，正确；‎ B、若a不大于b，则a≤b，正确；‎ C、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，错误；‎ D、若a＞b，则a﹣b＞0，正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、属于轴对称变换，故错误；‎ B、属于旋转所得到，故错误；‎ C、形状和大小没有改变，符合平移的性质，故正确；‎ D、属于旋转所得到，故错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由﹣x≤﹣1解得x≥1，‎ 由x+1＞0解得x＞﹣1，‎ 不等式的解集是x≥1，‎ 在数轴上表示如图，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°，‎ ‎∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，‎ ‎∴BC=BD，‎ ‎∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）若等腰三角形中有一个角等于70°，则它的顶角的度数为（　　）‎ A．40° B．70° C．55°或70° D．40°或70°‎ ‎【解答】解：①70°是底角，则顶角为：180°﹣70°×2=40°；‎ ‎②70°为顶角；‎ 综上所述，顶角的度数为40°或70°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，AC=AD，BC=BD，则（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确 ‎【解答】解：AC=AD，BC=BD 根据线段垂直平分线的性质可得：‎ AB垂直平分CD 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完？设以后几天里平均每天要读x页，所列不等式为（　　）‎ A．2+10x≥87 B．2+10x≤87 C．10+8x≤87 D．10+8x≥87‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ ‎5×2+（10﹣2）x≥87，‎ 化简，得 ‎10+8x≥87，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列结论正确的有（　　）‎ ‎①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ABD=1：2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：由题意可知AD是∠BAC的平分线，故①正确；‎ ‎∵∠C=90°，∠B=30°，‎ ‎∴∠CAB=60°，‎ ‎∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠DAB=30°，[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正确；‎ ‎∵∠DAB=30°，∠B=30°，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴点D在AB的中垂线上，故③正确；‎ ‎∵∠CAD=30°，‎ ‎∴AD=2CD．‎ ‎∵点D在AB的中垂线上，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴BD=2CD，‎ ‎∴S△ACD：S△ABD=1：2，故④正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）‎ ‎11．（2分）命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是　如果两个三角形全等，那么对应的三边相等　．‎ ‎【解答】解：∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．‎ ‎∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．‎ 故答案为：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．‎ ‎　‎ ‎12．（2分）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设　∠B≥90°　．‎ ‎【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案是：∠B≥90°．‎ ‎　‎ ‎13．（2分）如图，直线PC是AB的垂直平分线，垂足C，且∠A=35°，则∠B=　35°　．‎ ‎【解答】解：∵直线PC是AB的垂直平分线，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∴∠B=∠A=35°，‎ 故答案为：35°．‎ ‎　‎ ‎14．（2分）在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是　（1，0）　．‎ ‎【解答】解：点A的横坐标是2，纵坐标是﹣3，向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B的横坐标是2﹣1=1，纵坐标为﹣3+3=0，即点B的坐标是为（1，0）．‎ 故答案为：（1，0）．‎ ‎　‎ ‎15．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2，则点C到斜边AB的距离是　1　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：作CD⊥AB于D，‎ ‎∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，‎ ‎∴∠ADC=90°，∠A=30°，‎ ‎∵AC=2，‎ ‎∴CD=1，‎ 即点C到斜边AB的距离是1，‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎16．（2分）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，根据图象可直接得关于x的不等式ax+b≥kx的解集是　x≤﹣4　．‎ ‎【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣4时一次函数y=ax+b在一次函数y=kx图象的上方，‎ ‎∴关于x的不等式ax+b≥kx的解是x≤﹣4．‎ 故答案为：x≤﹣4．‎ ‎　‎ ‎17．（2分）若关于x的不等式2x﹣m≥1的解集如图所示，则m=　3　．‎ ‎【解答】解：由题意，得 x≥，‎ 又不等式的解集是x≥2，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=2，‎ 解得m=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎18．（2分）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB=　150°　．‎ ‎【解答】解：连结OO′，如图，‎ ‎∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，‎ ‎∴BO′=BO=4，∠O′BO=60°，‎ ‎∴△BOO′为等边三角形，‎ ‎∴∠BOO′=60°，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠O′BO﹣∠ABO=∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA=∠OBC，‎ 在△O′BA和△OBC中 ‎，‎ ‎∴△O′BA≌△OBC（SAS），‎ ‎∴O′A=OC=5，‎ 在△AOO′中，∵OA′=5，OO′=4，OA=3，‎ ‎∴OA2+OO′2=O′A2，‎ ‎∴∠AOO′=90°，‎ ‎∴∠AOB=60°+90°=150°，‎ 故答案为：150°．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共54分）‎ ‎19．（9分）（1）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）‎ ‎（2）解不等式1﹣（x﹣1）≤0，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【解答】解：（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）‎ ‎=x（x﹣y）﹣y（x﹣y）‎ ‎=（x﹣y）2；‎ ‎（2）1﹣（x﹣1）≤0‎ 去括号得：1﹣x+1≤0，‎ 移项合并同类项得：﹣x≤﹣2，‎ 系数1得：x≥2，‎ 在数轴上表示解集得：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（1）求不等式组的整数解．‎ ‎（2）认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：‎ ‎1+x+x（1+x）+x（1+x）2‎ ‎=（1+x）[1+x+x（1+x）]‎ ‎=（1+x）2（1+x）‎ ‎=（1+x）3‎ ‎①上述分解因式的方法是　提取公因式　；‎ ‎②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3．[来源:学科网ZXXK]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　（1+x）n+1　．‎ ‎【解答】解：（1）解不等式①：x＞1，‎ 解不等式②：x≤4‎ ‎∴原不等式的解集为：1＜x≤4‎ ‎∴原式不等式组的整数解为：2、3、4‎ ‎（2）①根据题意可知：分解因式的方法是提取公因式法；‎ ‎②原式=（1+x）[（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2]‎ ‎=（1+x）2[（1+x）+x（1+x）]‎ ‎=（1+x）3（1+x）‎ ‎=（1+x）4‎ ‎③由题意可知：（1+x）n+1‎ 故答案为：（2）①提取公因式；③（1+x）n+1‎ ‎　‎ ‎21．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=CE，AB=DE，∠A=∠D=90°．求证：AB∥DE．‎ ‎【解答】证明：∵BF=CE，‎ ‎∴BC=EF，‎ ‎∵∠A=∠D=90°，‎ 在Rt△ABC和Rt△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），‎ ‎∴∠B=∠E，‎ ‎∴AB∥DE．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，Rt△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3），请按要求完成下列步骤：‎ ‎（1）将Rt△ABC沿x轴向右平移6个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标（　0　，　1　）．‎ ‎（2）将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，Rt△A1B1C1即为所求，其中点A1坐标为（0，1），‎ 故答案为：0，1；‎ ‎（2）如图所示，Rt△A2B2C2即为所求三角形．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．（10分）初二年级为了表彰在“书香校园”活动中表现突出的学生，准备购买一批每支售价15元的钢笔和每本售价5元的笔记本奖励学生．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动．‎ ‎ 活动1：买一支钢笔送一本笔记本；‎ ‎ 活动2：按购买金额打八折付款．‎ ‎ 年段欲购买这种钢笔20支，笔记本x（x≥10）本．‎ ‎（1）写出每种优惠办法实付金额y1（元），y2（元）与x（本）之间的函数关系式．‎ ‎（2）若选择“活动1”的优惠办法付款更省钱，x应满足什么条件？‎ ‎（3）如果商场允许可以选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种钢笔20支和笔记本60本设计一种最省钱的购买方案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，‎ 当10≤x≤20时，y1=20×15=300，‎ 当x＞10时，y1=20×15+5（x﹣20）=5x+200，‎ y2=（20×15+5x）×0.8=4x+240，‎ 即y1（元）与x（本）之间的函数关系式是，‎ y2（元）与x（本）之间的函数关系式是y2=4x+240；‎ ‎（2）当10≤x≤20时，令300＜4x+240，得15＜x≤20，‎ 当x＞20时，令5x+200＜4x+240，得20＜x＜40，‎ 由上可得，当15＜x＜40时，选择“活动1”的优惠办法付款更省钱；‎ ‎（3）由题意可知，‎ 购买这种钢笔20支和笔记本60本最省钱的购买方案是选择活动1购买20支钢笔，获赠20本笔记本，选择活动2再购买40本笔记本即可．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）数学兴趣小组活动时，老师带领大家探究《折线中的数学问题》，出示了如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=3，AB=CD=9，然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）点N到MK的距离是　3　；‎ ‎（2）改变折痕MN的位置，△MNK始终什么三角形，请说明理由；‎ 应用：‎ ‎（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积S时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积S的最小值为，此时∠1的大小可以为　45或135　°；‎ ‎（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积S有最大值．请你写出这个最大值为　7.5　．‎ ‎【解答】解：（1）作NE⊥KM于E，NF⊥AB于F，如图1所示：‎ 则NF=BC=3，‎ 由折叠的性质得：∠KMN=∠1，‎ ‎∴NE=NF=3，即点N到MK的距离是3；‎ 故答案为：3；‎ ‎（2）△MNK始终是等腰三角形；理由如下：‎ ‎∵长方形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠MNK，‎ ‎∵∠1=∠KMN，‎ ‎∴∠MNK=∠KMN，‎ ‎∴KM=KN；即△MNK是等腰三角形；‎ ‎（3）如图2，当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=3，故KN⊥B′M，‎ ‎∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，‎ ‎∴∠1=∠NMB=45°，‎ 同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°‎ 故答案为：45或135； ‎ ‎（4）分两种情况：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．‎ MK=MB=x，则AM=9﹣x．‎ 由勾股定理得：：32+（9﹣x）2=x2，‎ 解得x=5．‎ ‎∴MD=ND=5．‎ S△MNK=S△MND=×3×5=7.5．‎ ‎②如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．‎ MK=AK=CK=x，则DK=9﹣x．[来源:学科网ZXXK]‎ 同理可得MK=NK=5．‎ ‎∵MD=3，‎ ‎∴S△MNK=×3×5=7.5．‎ ‎△MNK的面积最大值为7.5；‎ 故答案为：7.5．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费