桐梓县2018年八年级竞赛试题数学答案
一、填空题（每小题5分，共50分）
1． A； 2． D ； 3． C ；4． A ；5． B ；6． C ；7． A；8． D；9． C；10． C
二、填空题（每小题7分，共49分）
11． 7；12． ；13．-70； 14．0；15． n2=1+3+5+7+…+（2n-1）；
16． ；17．6.
三、解答题（共51分）
18．（10分）解不等式组：．
解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤4，
解不等式5﹣3（x﹣1）＜4+x，得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤4．
19．（10分）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2，
∴AC=AD+CD=4，
设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，（2x）2﹣x2=16，
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解得，x=，即BC=，
则Rt△ABC的面积=×BC×AC=．
20.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
解：（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，
在Rt△ABC中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
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∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
21．（10分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3:4:2，AD、BE是角平分线．
求证：AB+BD=AE+BE．
证明：延长AB到F,使BF=BD,连DF,
所以∠F=∠BDF
因为∠ABC=80
所以∠F=40°
因为∠ACB=40度
所以∠F=∠ACB,
因为AD是平分线
所以∠BAD=∠CAD
又AD为公共边
所以△ADF≌△ADC
所以AF=AC
因为AD是角平分线，
所以∠CBE=∠ABC/2=40
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所以∠EBD=∠C
所以BE=EC,
所以BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD。
22．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形， P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
解法一：过P 作PE ∥QC
则△AFP是等边三角形，
∵P 、Q 同时出发、速度相同，即BQ=AP
∴BQ=PF
∴△DBQ≌△DFP,
∴BD=DF
∵,
∴BD=DF=FA=,
∴AP=2.
解法二： ∵P 、Q 同时同速出发，∴AQ=BQ设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x
在Rt△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°
∴∠CQP=90°
∴QC=2PC,即6+x=2（6-x）
∴x=2
∴AP=2
（2）由（1 ）知BD=DF而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF,
∵AE=EF 又DE+(BD+AE)=AB=6,
∴DE+(DF+EF)=6 ，
即DE+DE=6
∵DE=3 为定值，即DE 的长不变
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