2016-2017学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）要使代数式有意义，则x的（ ）
A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是
2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
3．（3分）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
6．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角
9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D． +1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3= ．
12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是 ．
13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 ．
15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为 ．
16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算
（1）4+﹣
（2）÷×．
18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．
20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC
的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；
（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．
21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；
（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．
22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．
（1）求证：BC=2CE；
（2）求证：AM=DF+ME．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．
（1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）要使代数式有意义，则x的（ ）
A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是
【解答】解：∵代数式有意义，
∴2﹣3x≥0，解得x≤．
故选：A．
2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【解答】解：∵=3﹣b，
∴3﹣b≥0，
解得：b≤3．
故选：D．
3．（3分）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．∵，∴可以与合并；
B．∵=，∴可以与合并；
C．∵=，∴不可以与合并；
D．∵=2，∴可以与合并；
故选：C．
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，
则AC2+BC2=225cm2．
故选：C．
5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
6．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，
即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．
在Rt△ACB中，由勾股定理可得：
AB2=AC2+BC2，
AC==24分米．
∴OC=AC﹣AC=24﹣4=2分米，
在Rt△COD中，由勾股定理可得：
CD2=OC2+OD2，
OD=15分米，
BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，
故选：D．
7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角
【解答】解：A、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：C．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D． +1
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3= （x+）（x﹣） ．
【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．
12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是 5 ．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长是18
∴AB+BC=18÷2=9
∵三角形ABC的周长是14
∴AC=14﹣（AB+AC）=5
故答案为5．
13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=BC×CD=×2×3=3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 3.5 ．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×7=3.5．
故答案为：3.5．
15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵﹣（b﹣1）=0，
∴+（1﹣b）=0，
∵1﹣b≥0，
∴1+a=0，1﹣b=0，
解得a=﹣1，b=1，
∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为 24或84 ．
【解答】解：分两种情况考虑：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，
根据勾股定理得：BD==9，
在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，
根据勾股定理得：DC==5，
∴BC=BD+DC=9+5=14，
则S△ABC=BC•AD=84；
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，
根据勾股定理得：BD==9，
在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，
根据勾股定理得：DC==5，
∴BC=BD﹣DC=9﹣5=4，
则S△ABC=BC•AD=24．
综上，△ABC的面积为24或84．
故答案为：24或84．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算
（1）4+﹣
（2）÷×．
【解答】解：（1）原式=4+2﹣3
=3；
（2）原式=
=．
18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．
【解答】解：原式=×
=﹣×
=﹣
当x=+，y=﹣ xy=1，x+y=2
∴原式=﹣
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）添加∠DEB=90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形．
20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC
的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；
（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．
【解答】解：
（1）∵小正方形的边长为1，
∴AC==，BC==3，AB==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1），
∴点C为坐标原点，
如图，分别过A作BC的平行线，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，
∴满足条件的点D的坐标为（3，3）或（1，5）或（﹣3，﹣3）．
21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；
（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：
则四边形ABCD是直角梯形，
∴四边形ABCD的面积=（a+b）（a+b）=（a+b）2，
∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，
即（a+b）2=ab×2+c2，
化简得：（a+b）2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：
则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，
即（a+b）×a=c2+b（a﹣b），
化简得：ab+a2=c2+ab﹣b2，
∴a2+b2=c2．
22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．
【解答】（1）解：当MN最长时，BN=4；
当BN最长时，BN==；
（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN
∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，
∴△ADC≌△BNC，
∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°
∴∠MCD=∠BCM，
∴△MDC≌△MNC，
∴MD=MN
在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，
∴BN2+AM2=MN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．
（1）求证：BC=2CE；
（2）求证：AM=DF+ME．
【解答】证明：
（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，且BC=CD，
∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，
∴∠ACD=∠CDF，
∴CM=DM，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE，
∴BC=CD=2CE；
（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠CDF=∠BAC，
∴MG=MA，
在△CDF和△BGF中
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
在△CEM和△CFM中
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
∴AM=GM=GF+MF=DF+ME．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．
（1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAG=30°，
∴∠BAG=60°
由折叠知，∠BAE=∠BAG=30°，
在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，
∴BE=
（2）如图，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；
设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，
解得x=．
（3）如图1，
由折叠知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，
∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，
∴当CF最小时，△CEF的周长最小，
∵∠AFE=90°，
∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，
由折叠知，AF=AB=3，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，
∴AC=5，
∴CF=AC﹣AF=2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
∴BE2+CF2=（4﹣BE）2，
∴BE2+22=（4﹣BE）2，
∴BE=．
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