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2018年广东省阳江市江城区中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）计算3×（﹣2）的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
2．（3分）小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ）
A．25% B．50% C．75% D．85%
3．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
4．（3分）一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，是由五个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ ）
A．100° B．80° C．70° D．50°
7．（3分）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
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A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．
D．∠BAC=30°
8．（3分）不等式的解集是（ ）
A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3
9．（3分）如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
A．6cm B．12cm C．4cm D．8cm
10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：ax4﹣9ay2= ．
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12．（4分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
14．（4分）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是 ．
15．（4分）若y=++2，则xy= ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
三、解答题一（每题6分，共18分）
17．（6分）计算：（﹣1）0+|2﹣|+3tan30°
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18．（6分）先化简，再求值：（），其中x=﹣3．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠A的平分线AD，AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若点D恰好在线段AB的垂直平分线上，求∠A的度数．
四、解答二（每题7分，共21分）
20．（7分）某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．
（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？
（2）预计7月份的产量为多少万台？
21．（7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h B组：0.5h≤t＜1h C组：1h≤t＜1.5h D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C组的人数是 ．
（2）本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若我区有5400名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？
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22．（7分）如图，小丽准备测一根旗杆AB的高度，已知小丽的眼睛离地面的距离EC=1.5米，第一次测量点C和第二次测量点D之间的距离CD=10米，∠AEG=30°，∠AFG=60°，请你帮小丽计算出这根旗杆的高度．（结果保留根号）
五、解答题三（每题9分，共27分）
23．（9分）如图，A（4，0），B（1，3），以OA、OB为边作平行四边形OACB，反比例函数y=的图象经过点C．
（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出y＜3时自变量x的取值范围；
（3）将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长．
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25．（9分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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2018年广东省阳江市江城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）计算3×（﹣2）的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
【解答】解：3×（﹣2），
=﹣（3×2），
=﹣6．
故选：D．
2．（3分）小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ）
A．25% B．50% C．75% D．85%
【解答】解：抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，故正面朝上的概率=．
故选：B．
3．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【解答】解：分两种情况讨论：
①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为7，
②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，3+3=6＜7，所以不能组成三角形．
因此第三边的长为7．
故选：B．
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4．（3分）一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设函数的解析式是y=kx．
根据题意得：2k=﹣3．
解得：k=﹣．
故函数的解析式是：y=﹣x．
故选：A．
5．（3分）如图，是由五个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面可看到1列小正方形的个数为：3，故选D．
6．（3分）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ ）
A．100° B．80° C．70° D．50°
【解答】解：延长BD交AC于E．
∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．
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又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，
∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．
故选：A．
7．（3分）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．
D．∠BAC=30°
【解答】解：A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成
正六边形，故A正确；
B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知， =；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；
C、根据垂径定理， =，故C正确；
D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D错误．
故选：D．
8．（3分）不等式的解集是（ ）
A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3
【解答】解：由①得：x＞﹣3，
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由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选：B．
9．（3分）如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
A．6cm B．12cm C．4cm D．8cm
【解答】解：∵▱ABCD的周长是28cm，
∴AB+BC=14cm，
∵AB+BC+AC=22cm，
∴AC=22﹣14=8 cm．
故选：D．
10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
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∴c＞0，
∵对称轴x=﹣＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，
∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，
由图可得，m＞2，故③正确．
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：ax4﹣9ay2= a（x2+3y）（x2﹣3y） ．
【解答】解：原式=a（x4﹣9y2）=a（x2+3y）（x2﹣3y），
故答案为：a（x2+3y）（x2﹣3y）
12．（4分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为 4 ．
【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：
设M（x，y），
∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，
∴M（x， x），
在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，
解得：x=2，
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∴M（2，2），
代入y=得：k=2×2=4；
故答案为：4．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： DF∥AC，或∠BFD=∠A ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
14．（4分）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是 ．
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【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB=t，OB=3，
又∵tanα===，
∴t=．
故答案为：．
15．（4分）若y=++2，则xy= 9 ．
【解答】解：y=有意义，
必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴xy=32=9．
故答案为：9．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 π﹣4 （结果保留π）．
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【解答】解：
设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，
∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4．
三、解答题一（每题6分，共18分）
17．（6分）计算：（﹣1）0+|2﹣|+3tan30°
【解答】解：原式=1+2﹣+
=3．
18．（6分）先化简，再求值：（），其中x=﹣3．
【解答】解：原式=﹣
=
=
=
=x+2
当x=﹣3时，原式=﹣3+2=﹣1．
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠A的平分线AD，AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若点D恰好在线段AB的垂直平分线上，求∠A的度数．
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【解答】解：（1）如图所示：AD即为所求；
（2）∵点D恰好在线段AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB=∠DAC，
∵∠B+∠DAB+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC=30°，
∴∠BAC=60°．
四、解答二（每题7分，共21分）
20．（7分）某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．
（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？
（2）预计7月份的产量为多少万台？
【解答】解：（1）设该厂今年产量的月平均增长率是x，根据题意得：
5（1+x）2﹣5（1+x）=1.2
解得：x=﹣1.2（舍去），x=0.2=20%．
答：该厂今年的产量的月增长率为20%；
（2）7月份的产量为：5（1+20%）3=8.64（万台）．
答：预计7月份的产量为8.64万台．
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21．（7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h B组：0.5h≤t＜1h C组：1h≤t＜1.5h D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C组的人数是 120 ．
（2）本次调查数据的中位数落在 C 组内；
（3）若我区有5400名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？
【解答】解：（1）C组的人数是300﹣（20+100+60）=120（人），
故答案为：120．
（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，
故调查数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）达国家规定体育活动时间的人数约占×100%=60%．
所以，达国家规定体育活动时间的人约有5400×60%=3240（人）．
22．（7分）如图，小丽准备测一根旗杆AB的高度，已知小丽的眼睛离地面的距离EC=1.5米，第一次测量点C和第二次测量点D之间的距离CD=10米，∠AEG=30°，∠AFG=60°，请你帮小丽计算出这根旗杆的高度．（结果保留根号）
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【解答】解：由题意知：∠AEG=30°，∠AFG=60°，EF=10米，BG=1.5米，
则∠EAF=∠AFG﹣∠AEG=30°，
故∠EAF=∠FEA，
可得：AF=EF=10米．
则AG=AF•sin∠AFG=10×=5（米），
故AB=AG+GB=（1.5+5）米，
答：旗杆的高度为（1.5+5）米．
五、解答题三（每题9分，共27分）
23．（9分）如图，A（4，0），B（1，3），以OA、OB为边作平行四边形OACB，反比例函数y=的图象经过点C．
（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出y＜3时自变量x的取值范围；
（3）将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．
【解答】解：（1）∵平行四边形OACB中，A（4，0），B（1，3），
∴C（5，3），
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把C（5，3）代入y=，得：3=，
解得：k=15；
（2）y＜3时自变量x的取值范围为：x＞5或x＜0；
（3）把x=1代入y=，
解得：y=15，
∴向上平移15﹣3=12个单位．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长．
【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
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∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；
（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴，
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2，
∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．
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25．（9分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
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∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8﹣t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
则AP=10﹣2t；
∴10﹣2t=8﹣t；
解得：t=2；
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）如图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=，
∴=，
∴PM=t，
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t，
∴y=S△ABC﹣S△BPE=BC•AC﹣BE•PM=6×8﹣（6﹣t）×t
=t2﹣t+24=（t﹣3）2+，
∵a=，
∴抛物线开口向上；
∴当t=3时，y最小=；
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
如图2，过P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
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∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴，
∴，
∴PN=6﹣tAN=8﹣t，
∵NQ=AQ﹣AN，
∴NQ=8﹣t﹣（8﹣）=，
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴，∴=；
∵0＜t＜4.5，∴=；
解得：t=1；
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．
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