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苏教版七年级下册期中考试数学学试题（详细答案）系列（D）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列现象中，属于平移的是（ ）
A．小亮荡秋千运动 B．电梯由一楼升到八楼 C．导弹击中目标后爆炸 D．卫星绕地球运动
2．下列计算正确的是（ ）
A．b5•b5=2b5 B．（an﹣1）3=a3n﹣1 C．a+2a2=3a3 D．（a﹣b）5（b﹣a）4=（a﹣b）9
3．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠B+∠BCD=180° C．∠2=∠4 D．∠D+∠BAD=180°
4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=36°，则∠BED的度数是（ ）
A．18° B．36° C．58° D．72°
5．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）
A．5cm、7cm、2cm B．7cm、13cm、10cm C．5cm、7cm、11cm D．5cm、10cm、13cm
6．已知等腰三角形的两边长为4cm和8cm，则三角形周长是（ ）
A．12 cm B．16cm C．20cm D．16cm或20cm
7．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣ x+1）（﹣x﹣1） C．（a+b）（a﹣2b） D．（2x﹣1）（﹣2x+1）
8．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
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A．10 B．9 C．8 D．7
9．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）A．3y2 B．6y2 C．9y2 D．±9y2
10．三角形纸片内有200个点，连同三角形的顶点共203个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（ ）
A．399 B．401 C．405 D．407
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共24分）
11．计算a6÷a2= ，（﹣3xy3）3= ，（﹣0.125）2015×82016= ．
12．一滴水的质量约0.000051kg，用科学记数法表示这个数为 kg．
13．若am=2，an=4，则am+n= ．
14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=25°，则∠BDC等于 ．
15．一个多边形所有内角都是135°，则这个多边形的边数为 ．
16．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一直线上，若∠ADE=145°，则∠DBC的度数为 ．
17．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为15，且DG=4，则CF= ．
18．已知方程组的解满足x﹣y=2，则k的值是 ．
19．已知（x﹣y﹣2016）2+|x+y+2|=0，则x2﹣y2= ．
20．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD
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恰好与边AB平行，则t的值为 ．
三、解答题：（本大题共7小题，共56分）．
21．计算或化简：
（1）（﹣1）2015﹣2﹣1+（π﹣3.14）0
（2）a3﹒a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2
（3）﹣5x（﹣x2+2x+1）﹣（2x﹣3）（5+x2）
（4）（x+3y﹣4z）（x﹣3y+4z）
22．解下列二元一次方程组：
（1）
（2）．
23．先化简，再求值：x（2x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）2，其中x2+y2=5，xy=﹣2．
24．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有 个（点P异于A）
25．已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
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26．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长宽分别是mcm、ncm的全等小矩形，且m＞n．
（1）用含m、n的代数式表示切痕的总长为 cm；
（2）若每块小矩形的面积为48cm2，四个正方形的面积和为200cm2，试求该矩形大铁皮的周长．
27．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
详细答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列现象中，属于平移的是（ ）
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A．小亮荡秋千运动 B．电梯由一楼升到八楼
C．导弹击中目标后爆炸 D．卫星绕地球运动
【考点】生活中的平移现象．
【分析】根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、小亮荡秋千运动是旋转，故本选项错误；
B、电梯由一楼升到八楼是平移，故本选项正确；
C、导弹击中目标后爆炸不是平移，故本选项错误；
D、卫星绕地球运动是旋转，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
2．下列计算正确的是（ ）
A．b5•b5=2b5 B．（an﹣1）3=a3n﹣1
C．a+2a2=3a3 D．（a﹣b）5（b﹣a）4=（a﹣b）9
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、同底数幂相乘，底数不变指数相加，故A错误；
B、幂的乘方，底数不变指数相乘，故B错误；
C、同底数幂相乘，底数不变指数相加，故C错误；
D、同底数幂相乘，底数不变指数相加，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
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A．∠1=∠3 B．∠B+∠BCD=180° C．∠2=∠4 D．∠D+∠BAD=180°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据B、D中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB∥CD，根据C中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，而根据A中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC．由此即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠1=∠3，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；
C、∠2=∠4，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
D、∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故选A．
【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．
4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=36°，则∠BED的度数是（ ）
A．18° B．36° C．58° D．72°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠C=36°，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠EBC=36°，然后利用三角形外角性质计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=36°，
又∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠EBC=36°，
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∴∠BED=∠C+∠EBC=36°+36°=72°．
故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义．
5．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）
A．5cm、7cm、2cm B．7cm、13cm、10cm
C．5cm、7cm、11cm D．5cm、10cm、13cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【解答】解：A中，5+2=7，不符合；
B中，10+7＞13，10﹣7＜13，符合；
C中，5+7＞11，7﹣5＜11，符合；
D中，5+10＞13，10﹣5＜13，符合．
故选A．
【点评】考查了三角形的三边关系，一定注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．已知等腰三角形的两边长为4cm和8cm，则三角形周长是（ ）
A．12 cm B．16cm C．20cm D．16cm或20cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分4cm是底边和腰长两种情况，根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后再利用三角形的周长的定义解答．
【解答】解：①4cm是底边时，三角形的三边分别为4cm、8cm、8cm，
能组成三角形，周长=4+8+8=20cm，
②4cm是腰长，三角形的三边分别为4cm、4cm、8cm，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长是20cm．
故选C．
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【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形．
7．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣ x+1）（﹣x﹣1） C．（a+b）（a﹣2b） D．（2x﹣1）（﹣2x+1）
【考点】平方差公式．
【专题】计算题．
【分析】原式利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：能用平方差公式计算的是（﹣x+1）（﹣x﹣1）．
故选B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
8．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】正多边形和圆．
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
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∴10﹣3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
9．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A．3y2 B．6y2 C．9y2 D．±9y2
【考点】完全平方式．
【分析】根据4x2+12xy+■=（2x+3y）2得出即可．
【解答】解：∵4x2+12xy+■是一个二项式的平方，
∴■=（3y）2=9y2，
故选C．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
10．三角形纸片内有200个点，连同三角形的顶点共203个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（ ）
A．399 B．401 C．405 D．407
【考点】三角形．
【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个三角形，因而若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．
【解答】解：根据题意有这样的三角形的个数为：2n+1=2×200+1=401，
故选B．
【点评】此题主要考查了利用平面内点的个数确定三角形个数，根据n取比较小的数值时得到的数值，找出规律，再利用规律解决问题．
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二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共24分）
11．计算a6÷a2= a4 ，（﹣3xy3）3= ﹣27x3y9 ，（﹣0.125）2015×82016= ﹣8 ．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案；
根据积的乘方等于乘方的积，可得答案；
根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得积的乘方，根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：a6÷a2=a4，（﹣3xy3）3=﹣27x3y9，
（﹣0.125）2015×82016=（﹣0.125）2015×882015×8=（﹣0.125×8）2015×8=﹣8，
故答案为：a4；﹣27x3y9；﹣8．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
12．一滴水的质量约0.000051kg，用科学记数法表示这个数为 5.1×10﹣5 kg．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000051=5.1×10﹣5．
故答案为：5.1×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．若am=2，an=4，则am+n= 8 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】因为am和an是同底数的幂，所以根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可．
【解答】解：am+n=am•an=2×4=8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，此题逆用了同底数幂的乘法法则，是考试中经常出现的题目类型．
14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E
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处．若∠A=25°，则∠BDC等于 70° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣∠A=65°．
由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠BDC=180°﹣∠BCD﹣∠B=70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
15．一个多边形所有内角都是135°，则这个多边形的边数为 8 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．
【解答】解：∵所有内角都是135°，
∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
即这个多边形是八边形．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
16．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一直线上，若∠ADE=145°，则∠DBC的度数为 35° ．
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【考点】平行线的性质．
【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【解答】解：延长CB，解：延长CB，
∵AD∥CB，
∴∠1=∠ADE=145°，
∴∠DBC=180°﹣∠1=180°﹣145°=35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
17．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为15，且DG=4，则CF= ．
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的性质可知：AB=DE，设BE=CF=x；由此可求出EH和CF的长．由于CH∥DF，可得出△ECH∽△EFD，根据相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长．已知EH、EC，DE、EF的长，即可求出△ECH和△EFD的面积，进而可根据阴影部分的面积求得x的值即可．
【解答】解：根据题意得，DE=AB=6；
设BE=CF=x，
∵CH∥DF．
∴EG=6﹣4=2；
EG：GD=EC：CF，
即 2：4=EC：x，
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∴EC=x，
∴EF=EC+CF=x，
∴S△EFD=×x×6=x；
S△ECG=×2×x=x．
∴S阴影部分=x﹣x=15．
解得：x=．
故答案为．
【点评】此题考查平移的性质、相似三角形的判定与性质及有关图形的面积计算，有一定的综合性．
18．已知方程组的解满足x﹣y=2，则k的值是 1 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入x﹣y=2中求出k的值即可．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y=3﹣k，
代入x﹣y=2得：3﹣k=2，
解得：k=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
19．已知（x﹣y﹣2016）2+|x+y+2|=0，则x2﹣y2= ﹣4032 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（x﹣y﹣2016）2+|x+y+2|=0，
∴x﹣y﹣2016=0，x+y+2=0，
∴x﹣y=2016，x+y=﹣2，
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∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=﹣4032，
故答案为：﹣4032．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
20．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为 5.5秒或14.5秒 ．
【考点】点、线、面、体．
【分析】分两种情况：①旋转的角度小于180°；②旋转的角度大于180°；进行讨论即可求解．
【解答】解：①50°+60°=110°，
110°÷20°=5.5（秒）；
②110°+180°=290°，
290°÷20°=14.5（秒）．
答：t的值为5.5秒或14.5秒．
故答案为：5.5秒或14.5秒．
【点评】考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．
三、解答题：（本大题共7小题，共56分）．
21．（2016春•南长区期中）计算或化简：
（1）（﹣1）2015﹣2﹣1+（π﹣3.14）0
（2）a3﹒a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2
（3）﹣5x（﹣x2+2x+1）﹣（2x﹣3）（5+x2）
（4）（x+3y﹣4z）（x﹣3y+4z）
【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂计算即可；
（2）根据整式的混合计算解答即可；
（3）根据整式的混合计算解答即可；
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（4）根据整式的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2015﹣2﹣1+（ π﹣3.14）0
=﹣1﹣+1
=﹣；
（2）a3﹒a3+（﹣2 a3）2﹣a8÷a2
=a6+4a6﹣a6
=4a6
（3）﹣5x（﹣x2+2x+1）﹣（2x﹣3）（5+x2）
=5x3﹣10 x2﹣5x﹣（10 x+2x3﹣15﹣3 x2）
=3 x3﹣7 x2﹣15x+15
（4）（x+3y﹣4z）（x﹣3y+4z）
=[x+（3y﹣4z）][x﹣（3y﹣4z）]
=x2﹣（3y﹣4z）2
=x2﹣9 y2+24 yz﹣16z2．
【点评】此题考查整式的混合计算，关键是根据整式的混合计算顺序解答．
22．解下列二元一次方程组：
（1）
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把②代入①得：6y﹣7﹣2y=13，即y=5，
把y=5代入②得：x=23，
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则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×3+②×4得：25x=200，即x=8，
把x=8代入①得：y=12，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．先化简，再求值：x（2x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）2，其中x2+y2=5，xy=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：x（2x﹣y）﹣（x+y） （x﹣y）+（x﹣y）2
=2x2﹣xy﹣x2+y2+x2﹣2xy+y2
=2x2+2y2﹣3xy，
当x2+y2=5，xy=﹣2时，原式=2×5﹣3×（﹣2）=10+6=16．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有 4 个（点P异于A）
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【考点】作图-平移变换．
【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点A'、B'、C'，然后顺次连接；
（2）过点C作CD⊥AB的延长线于点D；
（3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：CD即为所求；
（3）如图所示：能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有4个．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键．
25．已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
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【考点】平行线的判定；角平分线的定义．
【专题】证明题；探究型．
【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
解：（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，难度不大．
26．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长宽分别是mcm、ncm的全等小矩形，且m＞n．
（1）用含m、n的代数式表示切痕的总长为 6m+6n cm；
（2）若每块小矩形的面积为48cm2，四个正方形的面积和为200cm2，试求该矩形大铁皮的周长．
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【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可；
（2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，然后根据矩形的周长公式整理求解即可．
【解答】解：（1）切痕总长=2[（m+2n）+（2m+n）]，
=2（m+2n+2m+n），
=6m+6n；
故答案为：6m+6n；
（2）由题意得：mn=48，2m2+2n2=200，
∴m2+n2=100，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=196，
∵m+n＞0，
∴m+n=14，
∴周长=2（m+2n+2m+n）=6m+6n=6（m+n）=84．
【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形周长和面积展开分析．
27．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
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（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质．
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
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∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．
∴∠ABO为60°或45°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
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