2017-2018学年广州市越秀区XX中学九年级上期中数学试卷含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年广东省广州市越秀区XX中学九年级（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择意（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1）‎ ‎3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣7=0用配方法可变形为（　　）‎ A．（x+1）2=8 B．（x+2）2=11 C．（x﹣1）2=8 D．（x﹣2）2=11‎ ‎4．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3‎ ‎5．（3分）将抛物线y=﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（　　）‎ A．y=﹣2（x﹣3）2﹣4 B．y=﹣2（x+3）2﹣4 C．y=﹣2（x﹣3）2+4 D．y=﹣2（x+3）2+4‎ ‎6．（3分）若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　）‎ A．抛物线口向上 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小 C．对称轴为x=﹣1‎ D．c的值为﹣3‎ ‎7．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）‎ A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．（3分）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎9．（3分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（　　）‎ A．x（x+1）=21 B．x（x﹣1）=21 C． D．‎ ‎10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 则当y＜6时，x的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＞3‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）若x=﹣2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=　 　．‎ ‎12．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是　 　．‎ ‎13．（3分）抛物线y=+5的顶点坐标是　 　．‎ ‎14．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为　 　m．‎ ‎16．（3分）如图，已知 Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB的延长线于E、F．下面结论一定成立的是　 　．（填序号）‎ ‎①CD=AB；②DE=DF；③S△DEF=2S△CEF；④S△DEF﹣S△CEF=S△ABC．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（1）x2﹣2x﹣8=0．‎ ‎（2）（x﹣2）（x﹣5）+1=0．‎ ‎18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．‎ ‎（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A1B1C．‎ ‎（2）画出△ABC关于点P（1，0）对称的△A2B2C2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎19．（9分）某购物网站今年8月份的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元，求该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率．‎ ‎20．（10分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．‎ ‎（1）∠DBE的度数．‎ ‎（2）求证：△BDE≌△BCE．‎ ‎21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x++1=0．‎ ‎（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围．‎ ‎（2）若方程的两根x1，x2是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值．‎ ‎22．（12分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．‎ ‎（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；‎ ‎（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．（12分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点．‎ ‎（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由．‎ ‎24．（14分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．（14分）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．‎ ‎（1）点C的坐标是　 　，线段AD的长等于　 　．‎ ‎（2）点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M．‎ ‎①求b和c的值．‎ ‎②如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年广东省广州市越秀区XX中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择意（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1）‎ ‎【解答】解：∵点A坐标为（﹣3，1），‎ ‎∴点B的坐标为（3，﹣1）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣7=0用配方法可变形为（　　）‎ A．（x+1）2=8 B．（x+2）2=11 C．（x﹣1）2=8 D．（x﹣2）2=11‎ ‎【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣7=0用配方法可变形为（x﹣1）2=8，‎ 故选C ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3‎ ‎【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，‎ ‎∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，‎ ‎∴===﹣2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）将抛物线y=﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（　　）‎ A．y=﹣2（x﹣3）2﹣4 B．y=﹣2（x+3）2﹣4 C．y=﹣2（x﹣3）2+4 D．y=﹣2（x+3）2+4‎ ‎【解答】解：把抛物线y=﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+3）2﹣4，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　）‎ A．抛物线口向上 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小 C．对称轴为x=﹣1‎ D．c的值为﹣3‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵y=x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），‎ ‎∴c=﹣3，故D正确，不符合题意，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，‎ ‎∴抛物线开口向上，对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故A、C正确，不符合题意，B不正确，‎ 故选B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎7．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）‎ A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+2上的三点，‎ ‎∴y1=﹣（﹣2+1）2+2=1，y2=﹣（1+1）2+2=﹣2，y3=﹣（2+1）2+2=﹣7，‎ ‎∵1＞﹣2＞﹣7，‎ ‎∴y1＞y2＞y3，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC=AB，∠CAB=60°，‎ ‎∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，‎ ‎∴△CP1A≌△BPA，‎ ‎∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，‎ ‎∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，‎ 即∠PAP1=60°，‎ ‎∴△APP1是等边三角形，‎ ‎∴P1P=PA=2，‎ 故选A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎9．（3分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（　　）‎ A．x（x+1）=21 B．x（x﹣1）=21 C． D．‎ ‎【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；‎ 依题意，可列方程为： =21；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 则当y＜6时，x的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＞3‎ ‎【解答】解：∵点（0，3）、（1，2）、（2，3）在二次函数y=ax2+bx+c上，‎ ‎∴a＞0，二次函数图象的对称轴为直线x=1．‎ ‎∵当x=﹣1时，y=6，‎ ‎∴当x=3时，y=6．‎ ‎∴当y＜6时，x的取值范围为﹣1＜x＜3．‎ 故选A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）若x=﹣2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=　0　．‎ ‎【解答】解：把x=2代入x2+2x+a=0，得 ‎（﹣2）2+2×（﹣2）+a=0，‎ 解得a=0．‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是　150°　．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，‎ ‎∴旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．‎ 故答案为：150°．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）抛物线y=+5的顶点坐标是　（1，5）　．‎ ‎【解答】解：二次函数y=+5的顶点坐标是（1，5）．‎ 故答案为（1，5）．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，则k的取值范围是　k≤且k≠0　．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，‎ ‎∴，‎ 解得：k≤且k≠0．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：k≤且k≠0．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为　16　m．‎ ‎【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，‎ 把y=﹣4代入y=﹣x2，‎ 得x=±8，‎ ‎∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），‎ ‎∴AB=16m．‎ 即水面宽度AB为16m．‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，已知 Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB的延长线于E、F．下面结论一定成立的是　①②　．（填序号）‎ ‎①CD=AB；②DE=DF；③S△DEF=2S△CEF；④S△DEF﹣S△CEF=S△ABC．‎ ‎【解答】解：连接CD，如图，‎ ‎∵∠C=90°，D为AB边的中点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CD=AD=DB，即CD=AB，所以①正确；‎ ‎∵CA=CB，∠C=90°，‎ ‎∴∠ABC=45°，CD⊥BD，‎ ‎∴∠DCE=135°，∠DBF=135°，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴∠CDE=∠BDF，‎ 在△CDE和△BDF中 ‎，‎ ‎∴△CDE≌△BDF，‎ ‎∴DE=DF，所以②正确；‎ ‎∴△DEF我等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=EF，‎ ‎∴S△DEF=DE2=EF2，‎ 而EF2=CE2+CF2，‎ ‎∴S△DEF=（CE2+CF2），‎ 而S△CEF=CE•CF，‎ ‎∴S△DEF﹣S△CEF=（CE2+CF2）﹣CE•CF=（CF﹣CE）2=（BC+BF﹣CE）2=BC2=S△ABC，所以③④错误．‎ 故答案为①②．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题（本大题共9小题，满分102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（1）x2﹣2x﹣8=0．‎ ‎（2）（x﹣2）（x﹣5）+1=0．‎ ‎【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）=0，‎ x﹣4=0或x+2=0，‎ 所以x1=4，x2=﹣2；‎ ‎（2）x2﹣7x+11=0，‎ ‎△=（﹣7）2﹣4×11=5，‎ x=，‎ 所以x1=，x2=．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．‎ ‎（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A1B1C．‎ ‎（2）画出△ABC关于点P（1，0）对称的△A2B2C2．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）如图，△A2B2C2即为所求．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）某购物网站今年8月份的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元，求该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率．‎ ‎【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，‎ 根据题意，得：110（1+x）2=133.1，‎ 解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不符合题意，舍去）．‎ 答：该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率为10%．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．‎ ‎（1）∠DBE的度数．‎ ‎（2）求证：△BDE≌△BCE．‎ ‎【解答】解：（1）∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，‎ ‎∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠DBE=∠CBE=30°，‎ ‎（2）证明：在△BDE和△BCE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BDE≌△BCE（SAS）．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x++1=0．‎ ‎（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围．‎ ‎（2）若方程的两根x1，x2是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵方程x2﹣（k+1）x++1=0有实数根，‎ ‎∴△=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=2k﹣3≥0，‎ 解得：k≥．‎ ‎（2）根据题意得：x1x2=k2+1=5，‎ 解得：k=±4，‎ ‎∵k≥，‎ ‎∴k=4．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．‎ ‎（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；‎ ‎（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=x米，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BC=（24﹣4x）米，‎ ‎∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；‎ ‎（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，‎ ‎∵0＜x＜6，‎ ‎∴当x=3时，S有最大值为36平方米；‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴4≤x＜6，‎ ‎∴当x=4时，花圃的最大面积为32平方米．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点．‎ ‎（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：y=x2﹣2mx+m2﹣3，‎ ‎∵a=1，b=﹣2m，c=m2﹣3，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2﹣2）=8＞0，‎ ‎∴函数的图象与x轴有两个公共点；‎ ‎（2）解：设x2﹣2mx+m2﹣3=0的两个根为x1、x2，‎ 则x1+x2=2m，x1x2=m2﹣3，‎ ‎∴|x1﹣x2|=====2，‎ ‎∴当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离不变，其距离为2．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，‎ 设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．‎ 把A（1，1），B（3，1）代入上式得，‎ 解得，‎ ‎∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；‎ 解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．‎ 设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），‎ 把O（0，0），A（1，1）代入得 解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．‎ ‎（2）分三种情况：‎ ‎①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，‎ ‎∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，‎ ‎∴PQ=OQ=tcos45°=t，‎ ‎∴S=（t）2=t2．‎ ‎②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，‎ 作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，‎ 重叠部分的面积是S梯形OAGP．‎ ‎∴AG=FH=t﹣2，‎ ‎∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．‎ ‎③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，‎ 重叠部分的面积是S五边形OAMNC．‎ 因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，‎ 所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．‎ ‎∵B（3，1），OP=t，‎ ‎∴PC=CN=t﹣3，‎ ‎∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，‎ ‎∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；‎ ‎（3）存在t1=1，t2=2．‎ 将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）‎ ‎①当点Q在抛物线上时， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；‎ ‎②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎25．（14分）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．‎ ‎（1）点C的坐标是　（0，3）　，线段AD的长等于　4　．‎ ‎（2）点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M．‎ ‎①求b和c的值．‎ ‎②如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）当y=0时， x+1=0，解得x=﹣3，则A（﹣3，0），‎ 当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1），‎ ‎∴OA=3，OB=1，‎ ‎∵△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD，‎ ‎∴OC=OA=3，OD=OB=1，‎ ‎∴C（0，3），AD=OA+OD=3+1=4；‎ 故答案为（0，3），4；‎ ‎（2）①∵C（0，3），D（1，0），‎ 而点M是CD的中点，‎ ‎∴M（，）；‎ 把C（0，3），M（，）代入y=x2+bx+c得，‎ 解得b=﹣，c=3；‎ ‎②存在．‎ 抛物线的解析式为y=x2﹣x+3，易得直线AC的解析式为y=x+3，‎ 当OE为对角线时，如图1，‎ ‎∵C、E点在y轴上，四边形CFEP为菱形，‎ ‎∴点F与点P关于y轴对称，‎ 设F（t，t+3），则P（﹣t，t+3），‎ 把P（﹣t，t+3）代入y=x2﹣x+3得t2+t+3=t+3，解得t1=0（舍去），t2=﹣，‎ 此时F（﹣，），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CF==，‎ ‎∴菱形CFEP的周长l=10；‎ 当OE为边时，如图2，设F（t，t+3），则CF==t，‎ ‎∵四边形CEPF为菱形，‎ ‎∴PF∥CE，PF=CF，‎ ‎∴P（t，t+3﹣t），‎ 把P（t，t+3﹣t）代入y=x2﹣x+3得t2﹣t+3=t+3﹣t，解得t1=0（舍去），t2=﹣，‎ ‎∴此时菱形CFEP的周长l=4t=4（﹣）=18﹣8，‎ 综上所述，菱形CFEP的周长l为10或18﹣8．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费