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2017-2018学年安徽省合肥市瑶海区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列各数：，，，，，0.101001…（每两个1之间的0逐渐增加一个），中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．2 D．1
2．（4分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
3．（4分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6
4．（4分）不等式﹣2x+6＞0的正整数解有（ ）
A．无数个 B．0个 C．1个 D．2个
5．（4分）不等式2x+5≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）4=x12 B．x8÷x4=x2 C．x2+x4=x6 D．（﹣x）﹣1=
8．（4分）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（4分）如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2
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10．（4分）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”．为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答）一题记﹣5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对多少道题（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）算术平方根等于它本身的数是 ．
12．（5分）如果10m=12，10n=3，那么10m+n= ．
13．（5分）的整数部分是 ．
14．（5分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．如果[a]=﹣2，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（﹣）﹣1+（π﹣）0+
16．（8分）计算：x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x=﹣2．
18．（8分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b的算术平方根．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）若不等式组的整数解是关于x的方程2x﹣4=ax的根，求a的值．
20．（10分）已知：（x+y）2=6，（x﹣y）2=2，试求：
（1）x2+y2的值；
（2）xy的值．
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六、解答题（本大题满分12分）
21．（12分）观察下列等式：9﹣1=2×4，16﹣4=3×4，25﹣9=4×4，36﹣16=5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
七、解答题（本大题满分12分）
22．（12分）如图所示的是一个运算程序．
例如：根据所给的运算程序可知，当x=5时，5×5+2=27＜37，再把x=27代入，得5×27+2=137＞37，则输出的值为137．
（1）填空：当x=10时，输出的值为 ；当x=2时，输出的值为 ．
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围．
八、解答题（本大题满分14分）
23．（14分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列各数：，，，，，0.101001…（每两个1之间的0逐渐增加一个），中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．2 D．1
【考点】26：无理数；22：算术平方根．
【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【解答】解：是有理数，是无理数， =3是有理数， =2是无理数， =11是有理数，0.101001…（每两个1之间的0逐渐增加一个）是无理数．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
2．（4分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；
故选：D．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤
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|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，故本选项错误；
B、∵x＞y，∴3x＞3y，故本选项错误；
C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣2x＜﹣2y，故选项错误；
D、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，∴﹣3x+6＜﹣3y+6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，解答此题的关键注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．
4．（4分）不等式﹣2x+6＞0的正整数解有（ ）
A．无数个 B．0个 C．1个 D．2个
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜3，
则不等式的正整数解为2，1，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5．（4分）不等式2x+5≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
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【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：由2x+5≤1可得2x≤1﹣5，
2x≤﹣4，
x≤﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
6．（4分）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
【考点】4E：完全平方式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）4=x12 B．x8÷x4=x2 C．x2+x4=x6 D．（﹣x）﹣1=
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；6F：负整数指数幂．
【分析】A、根据积的乘方法则进行计算；
B、根据同底数幂的除法法则进行计算；
C、不是同类项，不能合并；
D、根据负整数指数幂的法则进行计算．
【解答】解：A、（﹣x3）4=x12，所以此选项正确；
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B、x8÷x4=x4，所以此选项不正确；
C、x2与x4不是同类顶，不能合并，所以此选项不正确；
D、（﹣x）﹣1==﹣，所以此选项不正确；
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及负指数幂，是一道小的综合题，属于基础题．
8．（4分）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】27：实数．
【分析】①根据有理数与数轴上的点的对应关系即可判定；
②根据无理数的定义即可判定；
③根据立方根的定义即可判定；
④根据平方根的定义即可解答．
【解答】解：①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；
②不带根号的数不一定是有理数，如π，故②说法错误；
③负数有立方根，故③说法错误；
④∵17的平方根±，
∴是17的一个平方根．故④说法正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的定义和计算．有理数和无理数统称为实数，要求掌握这些基本概念并迅速做出判断．
9．（4分）如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】
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先根据在数轴上表示不等式解集的方法求出不等式的解集，再列出关于a的方程，求出a的取值范围即可．
【解答】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x≤﹣1，
解不等式2x﹣a≤﹣1得，x≤，即=﹣1，解得a=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
10．（4分）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”．为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答）一题记﹣5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对多少道题（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】根据题意可得：竞赛得分=10×答对的题数+（﹣5）×未答对（不答）的题数，根据本次竞赛得分要超过100分，列出不等式求解即可．
【解答】解：设要答对x道．
10x+（﹣5）×（20﹣x）＞100，
10x﹣100+5x＞100，
15x＞200，
解得x＞．
∵x为整数，
∴x最小是14，
故选：AB．
【点评】此题主要考查一元一次不等式的应用，关键是表示出得分和扣分的关系式．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）算术平方根等于它本身的数是 0和1 ．
【考点】22：算术平方根．
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【分析】由于一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，算术平方根等于它本身的数是只能是0和1．由此即可求解．
【解答】解：算术平方根等于它本身的数是0和1．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚，才不容易出错．要熟悉特殊数字0，1，﹣1的特殊性质．
12．（5分）如果10m=12，10n=3，那么10m+n= 36 ．
【考点】46：同底数幂的乘法．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：10m+n=10m•10n=12×3=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键．
13．（5分）的整数部分是 3 ．
【考点】2B：估算无理数的大小．
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
14．（5分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．如果[a]=﹣2，则a的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
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【分析】根据[a]=﹣2，得出﹣2≤a＜﹣1，求出a的解即可；
【解答】解：∵[a]=﹣2，
∴a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1；
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（﹣）﹣1+（π﹣）0+
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣2+1+2=1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）计算：x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2
=x8﹣4x8+x8
=﹣2x8．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x=﹣2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）
=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x
=﹣9x+2，
当x=﹣2时，原式=20．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．（8分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b的算术平方根．
【考点】24：立方根；21：平方根；22：算术平方根．
【分析】先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值，然后依据立方根的定义求得b的值，最后，再进行计算即可．
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．
∴a﹣3+2a+15=0，b=﹣8，解得a=﹣4．
∴﹣2a﹣b=16，
16的算术平方根是4．
【点评】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）若不等式组的整数解是关于x的方程2x﹣4=ax的根，求a的值．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；85：一元一次方程的解．
【分析】根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，然后将x的值代入2x﹣4=ax中解出a的值．
【解答】解：
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解①得2x＜﹣2，即x＜﹣1，
解②得2x＞x﹣3，即x＞﹣3，
综上可得﹣3＜x＜﹣1，
∵x为整数，故x=﹣2
将x=﹣2代入2x﹣4=ax，
解得a=4．
【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（10分）已知：（x+y）2=6，（x﹣y）2=2，试求：
（1）x2+y2的值；
（2）xy的值．
【考点】4C：完全平方公式．
【分析】（1）已知两式利用完全平方公式展开，相加即可求出x2+y2的值；
（2）已知两式利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．
【解答】解：（1）∵（x+y）2+（x﹣y）2=x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2=2（x2+y2），
则x2+y2= [（x+y）2+（x﹣y）2]=×（6+2）=4；
（2）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2=x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2=4xy，
∴xy= [（x+y）2﹣（x﹣y）2]=×（6﹣2）=1．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
六、解答题（本大题满分12分）
21．（12分）观察下列等式：9﹣1=2×4，16﹣4=3×4，25﹣9=4×4，36﹣16=5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】
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先将等式进行整理，仔细观察分析整理后的等式不难发现存在的规律，用关于n的等式表示出来即可．
【解答】解：将等式进行整理得：
32﹣12=4（1+1）；
42﹣22=4（2+1）；
52﹣32=4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）．
证明：左边=n2+4n+4﹣n2=4n+4，
右边=4n+4，
左边=右边，
所以（n+2）2﹣n2=4（n+1）．
【点评】此题主要考查数字的变化规律，先对原来的等式进行整理，找出运算的规律解决问题．
七、解答题（本大题满分12分）
22．（12分）如图所示的是一个运算程序．
例如：根据所给的运算程序可知，当x=5时，5×5+2=27＜37，再把x=27代入，得5×27+2=137＞37，则输出的值为137．
（1）填空：当x=10时，输出的值为 52 ；当x=2时，输出的值为 62 ．
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）根据运算流程分别代入x=10、x=2，求出输出y值即可得出结论；
（2）根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1）当x=10时，5×10+2=52＞37，所以输出52；
当x=2时，5×2+2=12＜37，把x=12代入，
得5×12+2=62＞37，所以输出62．
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故答案为：52；62；
（2）由题意得：，
解得：1≤x＜7．
答：x的取值范围是1≤x＜7．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据运算流程代入数据求值；（2）根据运算流程得出关于x的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键．
八、解答题（本大题满分14分）
23．（14分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解之得：，
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答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：
解之得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
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