四中八年级2018年期中测试
一、选择题
1、下列各代数式中不论为何值均成立的是：（ ）
A.
B.
C.
D.
2、下列各代数式中是最简二次根式的是：（ ）
A.
B.
C.
D.
3、下列各代数式化简后是同类二次根式的是：（ ）
A. 和
B. － 和
C. 和
D. 和
4、化简的结果是：（ ）
A. 1
B. 2x－3
C. 3
D. 3－2x
5、下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的（ ）
A. 对角线互相垂直
B. 对角线相等
C. 对角线互相平分
D. 对角线相等且平分
6、如图： 在□中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ）
A. 45º
B. 55º
C. 65º
D. 75º
7、菱形中，对角线AC,BD相交于点，为边的中点，菱形的周长为32，则的长度是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8、三个边长分别为2、4、6的正方形如图摆放，则阴影部分面积为：（ ）
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
9、如图：□的周长为24，相交于点,交于点，则的周长为（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
10、如图：将边长为6的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（ ）
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A. 2
B.
C. 3
D.
二、 填空题
11、代数式在实数范围有意义，则x的范围是______________
12、若：， 则
13、如图：在中，,，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是_________________
（第13题） （第14题）
14、如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_________
15、直角中，以直角边向外作正方形和正方形，正方形和正方形的面积分别为9和16，把直角边向左平移长度至，以为边作正方形，则其面积为
（第15题） （第16题）
16、锐角中，,；，垂足为。分别以为边向外作正方形和正方形。则S正方形DMNC-S正方形BEFD=____________
三、 解答题
17、 化简：
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17、 化简：÷
19、如图：□ABCD中，对角线，求的面积
20、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
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21、如图：点是正方形对角线上一点，并且，过点作交于点。
(1)求证：
(2)若正方形的边长为1，求的长度。
22、如图1，图2，图3，图4均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，图中均有线段。按要求画图：
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（1）在图1中，以格点为顶点，为腰画一个锐角等腰三角形。
（2）在图2中，以格点为顶点，为底边画一个锐角等腰三角形。
（3）在图3中，以格点为顶点，为腰画一个等腰直角三角形。
（4）在图4中，以格点为顶点，为一边画一个正方形。
23、如图1，∥,点分别在上，连接。的平分线交于点，的平分线交于点。
（1）求证：四边形是矩形。
（2）继续探索如图2，过作∥，分别交于点，过作∥，分别交于点。
求证：四边形是菱形。
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24、由课本62页练习可知，三角形三条中线交于一点，并且该交点把每条中线分成两部分。如图1：△ABC三边中线AD，BE，CF交于O点，OA=2OD，OB=2OE，OC=2OF
阅读：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”。例如图2、图3、图4中，是的中线，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”。设。
特例探索：（1）如图2，当时，_______，________；
如图3，当时， _______，________；
归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图4证明你发现的关系式。
拓展应用：如图5，□ABCD中，点分别是的中点，,求的长。
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解析
一、选择题
1、 试题解析：
【分析】
本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件的知识点，解题关键点是熟练掌握任意一个数的偶次方或绝对值都是非负数.
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A.当a≠0时，有意义，故本选项错误；
B.当a≥0时，有意义，故本选项错误；
C.当任意数时，有意义，故本选项正确；
D.当a≠0，有意义，故本选项错误.
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故选C.
2、试题解析：
【分析】
本题考查了最简二次根式，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母.
根据最简二次根式的定义，可得答案.
【解答】
解：A.，被开方数含开得尽的因数，故A错误；
B.，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，故B正确；
C.，被开方数含有分母，故C错误；
D.，被开方数可进行分母有理化，故D错误.
故选B.
3、试题解析：
【分析】
本题考查的是同类二次根式有关知识，利用同类二次根式的定义进行判断即可.
【解答】
解：A.不是同类二次根式，
B.不是同类二次根式，
C.不是同类二次根式，
D.是同类二次根式.
故选D.
4、试题解析：
【分析】
本题主要考查了二次根式的非负性、二次根式的化简的知识点，解题关键点是熟练掌握这些计算法则.
先利用二次根式的非负性得出x≤1，从得可知x-2≤-1，再进行化简，即可解答.
【解答】
解：∵1-x≥0，
∴x≤1，
∴x-2≤-1，
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∴原式=-（x-2）-（1-x）
=-x+2-1+x
=1.
故选A.
5、试题解析：
【分析】
本题考查矩形、菱形、正方形的性质，熟记这些性质才能熟练做题.
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，共有的性质就是平行四边形的性质.
【解答】
解：矩形、菱形、正方形共有的性质是对角线互相平分.
故选C.
6、试题解析：
【分析】
本题考查平行四边形的性质、邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，属于基础题，中考常考题型.
根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可.
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD=135°，
∴∠MCD=180°-∠DCB=180°-135°=45°.
故选A.
7、试题解析：
【分析】
本题考查了菱形的性质和三角形中位线的性质，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质．先根据菱形ABCD的周长为24，求出边长AB，然后根据H为AD边中点，可得OH=AB，即可求解．
【解答】
解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB=32÷4=8，
∵H为AD边中点，O为BD的中点，
∴OH=AB=4.
故选B.
8、试题解析：
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【分析】
本题考查了正方形的性质和三角形的面积的知识点，解答本题的关键是掌握正方形的面积的求法，得出阴影部分的面积=三个正方形的面积-一个三角形的面积.
根据图示可得，阴影部分的面积=三个正方形的面积-一个三角形的面积，列出算式计算，即可解答.
【解答】
解：
=4+16+36-36
=20.
故选B.
9、试题解析：
【分析】
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质的知识点，注意得到OE是线段BD的垂直平分线是关键
由平行四边形ABCD的周长为20cm，可求得AB+AD=10cm，OB=OD，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE=DE，继而可得△ABE的周长=AB+AD．
【解答】
解：∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴OB=OD，AB+AD=12，
∵EO⊥BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=12.
故选C.
10、试题解析：
【分析】
本题考查折叠的性质和勾股定理的知识点，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可.
【解答】
解：由折叠可得DF=EF，设AF=x，则EF=6-x，
∵，
∴，
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解得x=.
故选B.
二、 填空题
正确答案：
11、1≤x≤4
12、64
13、3
14、（4，4）
15、100
16、12
试题解析：【分析】
11、利用二次根式的有意义的条件列出不等式组，即可解答；
12、利用二次根式的非负性列出方程组，解出a、b、c的值，再代入即可解答；
13、平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解；
14、连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标，即可解答；
15、先求出BC的长，再证得四边形A'ABB'和四边形A'ACB是平行四边形，从而得到A'A=B'B=BC=5，即可解答；
16、先利用勾股定理得出，，再把，代入进行计算，即可解答.
【解答】
解： 11、由题意得：
，
解得1≤x≤4，
故答案为1≤x≤4；
12、由题意得：
a=0，b-2=0，2-b=0，b+c=0，
解得a=0，b=2，c=-2，
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把a=0，b=2，c=-2代入，得 =64，
故答案为64；
13、平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=，
∴DE=2OD=3，
故答案为3；
14、如图，连接AC、BD交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为（4，4），
故答案为（4，4）；
15、∵正方形AEFB和正方形ACHG的面积分别为9和16，
∴AB=3，AC=4,
∴BC==5，
∵A'A∥B'B，A'A∥BC，AB∥A'B'，AC∥A'B，
∴四边形A'ABB'和四边形A'ACB是平行四边形，
∴A'A=B'B=BC=5，
∴B'C=2B'B=10，
∴正方形B'MNC的面积=B'C×B'M=10×10=100，
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故答案为100；
16、∵AB=，AC=5，AD⊥BC，
∴，，
即，，
∴，
=
=12，
故答案为12.
二、 解答题
17、正确答案：
解：原式=
=.
18、正确答案：
解：原式=
=.
19、正确答案：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=8，
∴AO=CO=AC=3，BO=DO=BD=4，
∵AB=5，
∴，，
∴
∴△AOB是直角三角形，
∴=24.
试题解析：
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此题主要考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质和三角形的面积的知识点，求出△AOB是直角三角形是解题关键.
先利用平行四边形的性质得出AO=CO=3，BO=DO=4，再利用勾股定理逆定理判定△AOB是直角三角形，再利用列出算式，即可解答.
20、正确答案：
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠DFC，
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
试题解析：
首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21、正确答案：
（1）证明：连接FD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=BC=AD，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠FED=∠FEB=90°，
∴∠A=∠FED，
在Rt△AFD与Rt△EFD中，
，
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∴Rt△ABP≌Rt△CBP（HL），
∴AF=FE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBE=45°，
∴∠BFE=90°-∠FBE=45°，
∴∠FBE=∠BFE，
∴BE=FE，
∴AF=BE；
（2）解：由（1）知AF=EF=BE，AB=AD=DC=BC=1，
∴BD=，
∵AD=DE，
∴BE=BD-DE=，
∴AF=BE=，
∴BF=AB-AF=.
试题解析：
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识点的连接和掌握，能证出AF=PC是解此题的关键.
（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=FE即可；
（2）先利用勾股定理求出BD的长，再求出BE的长，从而得出AF的长，即可解答.
22、正确答案：
解：（1）如图1，△ABC为所求以AB为腰的锐角等腰三角形；
（2）如图2，△ABC为所求以AB为底边的锐角等腰三角形；
（3）如图3，△ABC为所求以AB为腰的等腰直角三角形；
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（4）如图4，四边形ABCD为以AB为一边的正方形.
试题解析：
本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理、三角形的作法、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质的知识点，熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在.
（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两腰长为，底长为4的等腰三角形即可；
（2）根据勾股定理，结合网格结构，作出两腰长为5，底长为的等腰三角形即可；
（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出两腰长为，斜边长为5的等腰三角形即可；
（4）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形.
23、正确答案：
证明：（1）∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH=∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF=∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，
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即∠GEH=90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，
要证□MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH，
故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证.
试题解析：
此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键.
（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要证□MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可.
24、正确答案：
解：（1）
（2）猜想：，
如图3，连接EF，
设∠ABP=α，
∴AP=csinα，PB=ccosα，
由（1）同理可得，PF=PA=，PE=，
，，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
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∴AE=AD，BF=BC，
∴AE=BF=CF=AD=，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：，
∴，
∴AF=4.
试题解析：
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、勾股定理、锐角三角函数的知识点，注意类比思想在本题中的应用.
（1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论；
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD=，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果.
【解答】
解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
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∴EF∥AB，EF=AB=，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF=，
∴AC=BC=，
∴a=b=，
如图2，连接EF，
同理可得：EF=×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=，
∴PF=1，PE=，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=，BF=，
∴a=，b=，
故答案为，，，；
（2）见答案；
（3）见答案.
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