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书书书 第 １　　　　 页　共 ８页 ２０１８年 广 东 省 初 中 毕 业 生 学 业 考 试 数学预测卷参考答案 数学预测卷 （一） 一、选择题 （本大题１０小题，每小题３分，共３０分） １．Ａ　　２．Ｄ　　３．Ｂ　　４．Ｂ　　５．Ｄ ６．Ｃ ７．Ｃ　 ８．Ａ　 ９．Ａ　 １０．Ａ 二、填空题 （本大题 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１． ±４　１２．ｘ（ｘ－１）２　１３． －３≤ｘ＜４ １４．１１５°　１５． 槡３ ２ｃｍ　１６．５１２（或 ２９） 三、解答题 （一） （本大题 ３小题，每小题 ６分， 共 １８分） １７．解：原式 ＝１＋６×槡３ ２ 槡－３ ３－４＝－３． １８．解：原式 ＝［（ｘ－１）２ ｘ（ｘ－１）＋（ｘ＋２）（ｘ－２） ｘ（ｘ＋２） ］·ｘ ＝（ｘ－１ ｘ ＋ｘ－２ ｘ ）·ｘ ＝２ｘ－３． ∵ｘ为满足 －３＜ｘ＜２的整数， ∴ｘ＝－２， －１，０，１． ∵ｘ要使原分式有意义， ∴ｘ≠ －２，０，１．∴ｘ＝－１． ∴当 ｘ＝－１时，原式 ＝２×（－１）－３＝－５． １９．解：（１）如图，直线 ＭＮ即为所求． （２）∵直线 ＭＮ是线段 ＢＣ的垂直平分线，且 点 Ｄ在直线 ＭＮ上， ∴ＤＣ＝ＤＢ． ∴△ＡＣＤ的周长 ＝ＡＣ＋ＡＤ＋ＣＤ＝ＡＣ＋ＡＤ＋ＢＤ ＝ＡＣ＋ＡＢ． ∵ＡＢ＝６，ＡＣ＝４， ∴△ＡＣＤ的周长为 １０． 四、解答题 （二） （本大题 ３小题，每小题 ７分， 共 ２１分） ２０．解：（１）设这种笔的单价为 ｘ元，则本子的单 价为 （ｘ－４）元． 由题意，得 ３０ ｘ－４＝５０ ｘ，解得 ｘ＝１０． 经检验，ｘ＝１０是原分式方程的解． ∴ｘ－４＝６． 答：这种笔的单价为 １０元，本子的单价为 ６元． （２）设购买 ｍ支这种笔，则购买 （１５－ｍ）本 本子．由题意，得 １０ｍ＋６（１５－ｍ）≤１００，解得 ｍ≤２５． ∵ｍ为整数，∴ｍ≤２． 答：最多可以购买 ２支笔． ２１．解：（１）被调查的学生总人数为 ８÷２０％ ＝４０（人）． （２）最想去景点 Ｄ的人数为 ４０－８－１４－４－６ ＝８（人），补全条形统计图为： 扇形统计图中表示 “最想去景点 Ｄ”的扇形圆 心角的度数为 ８ ４０×３６０°＝７２°． （３）８００×１４ ４０＝２８０（人）                                                   ．第 ２　　　　 页　共 ８页 答：估计 “最想去景点 Ｂ”的学生有 ２８０人． ２２．解：（１）∵ＣＥ平分∠ＡＣＢ，ＣＦ平分∠ＡＣＤ， ∴∠ＯＣＥ＝∠ＢＣＥ，∠ＯＣＦ＝∠ＤＣＦ． ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＯＥＣ＝∠ＢＣＥ，∠ＯＦＣ＝∠ＤＣＦ． ∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＥ，∠ＯＦＣ＝∠ＯＣＦ． ∴ＯＥ＝ＯＣ，ＯＦ＝ＯＣ．∴ＯＥ＝ＯＦ． ∵∠ＢＣＥ＋∠ＯＣＥ＋∠ＯＣＦ＋∠ＤＣＦ＝１８０°， ∴∠ＥＣＦ＝９０°． 在 Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理，得 ＥＦ＝ ＣＥ２ ＋ＣＦ槡 ２ ＝１０． ∴ＯＣ＝１ ２ＥＦ＝５． （２）当点 Ｏ在边 ＡＣ上运动到 ＡＣ的中点时， 四边形 ＡＥＣＦ是矩形． 理由如下： 如图，当 Ｏ为 ＡＣ的中点时，ＡＯ＝ＣＯ． 由 （１）可得 ＥＯ＝ＦＯ， ∴四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形． 又由 （１）可得∠ＥＣＦ＝９０°， ∴ＡＥＣＦ是矩形． 五、解答题 （三） （本大题 ３小题，每小题 ９分， 共 ２７分） ２３．（１）ｙ＝－ｘ＋４　ｙ＝３ ｘ （２）１＜ｘ＜３ （３）解：∵点 Ａ（ｍ，３）在 ｙ＝３ ｘ 的图象上， ∴ ３ ｍ ＝３，解得 ｍ＝１．∴Ａ（１，３）． ∵Ｐ是线段 ＡＢ上一点， ∴可设点 Ｐ（ｎ， －ｎ＋４），其中 １≤ｎ≤３． ∴Ｓ＝１ ２ＯＤ·ＰＤ＝１ ２ｎ（－ｎ＋４） ＝－１ ２（ｎ－２）２ ＋２． ∵ －１ ２ ＜０且 １≤ｎ≤３， ∴当 ｎ＝２时，Ｓ最大 ＝２； 当 ｎ＝１或 ３时，Ｓ最小 ＝３ ２． ∴Ｓ的取值范围是 ３ ２≤Ｓ≤２． ２４．（１）证明：∵ＰＱ∥ＡＢ，∴∠ＢＤＱ＝∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ． ∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ．∴∠ＢＤＱ＝∠ＢＣＤ． 如图，连接 ＯＢ，ＯＤ，ＯＤ交 ＡＢ于点 Ｅ，则 ∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ，∠Ｏ＝２∠ＢＣＤ＝２∠ＢＤＱ． 在△ＯＢＤ中，∵∠ＯＢＤ＋∠ＯＤＢ＋∠Ｏ＝１８０°， ∴２∠ＯＤＢ＋２∠ＢＤＱ＝１８０°． ∴∠ＯＤＢ＋∠ＢＯＱ＝９０°，即∠ＯＤＱ＝９０°． ∴ＰＱ是⊙Ｏ的切线． （２）证明：如图，连接 ＡＤ． ∵∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，∴ＡＤ＝ＢＤ． ∵ＰＱ∥ＡＢ，∴∠Ｑ＝∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ． 又由 （１）知∠ＢＤＱ＝∠ＡＣＤ． ∴△ＢＤＱ∽△ＡＣＤ． ∴ＢＤ ＡＣ＝ＢＱ ＡＤ． ∴ＢＤ·ＡＤ＝ＡＣ·ＢＱ． ∴ＢＤ２ ＝ＡＣ·ＢＱ． （３）解：∵ＡＣ·ＢＱ＝４，由 （２）得 ＢＤ２＝ＡＣ·ＢＱ， ∴ＢＤ２ ＝４．∴ＢＤ＝２． 由 （１）知 ＰＱ是⊙Ｏ的切线．∴ＯＤ⊥ＰＱ． ∵ＰＱ∥ＡＢ，∴ＯＤ⊥ＡＢ． ∵∠ＰＣＤ＝∠ＡＢＤ， ∴ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ｔａｎ∠ＰＣＤ＝１ ３．∴ＢＥ＝３                                                             ＤＥ． 中考易·数学 （广东专版）第 ３　　　　 页　共 ８页 ∴ＤＥ２ ＋（３ＤＥ）２ ＝ＢＤ２ ＝４．∴ＤＥ＝槡１０ ５ ． ∴ＢＥ＝ 槡３ １０ ５ ． 设 ＯＢ＝ＯＤ＝Ｒ，则 ＯＥ＝Ｒ－槡１０ ５ ． 在 Ｒｔ△ＯＢＥ中，∵ＯＢ２ ＝ＯＥ２ ＋ＢＥ２， ∴Ｒ２＝（Ｒ－槡１０ ５ ）２＋（ 槡３ １０ ５ ）２，解得 Ｒ 槡＝ １０． ∴⊙Ｏ的半径为 槡１０． ２５．（１）①不可能 ［解析：若 ＯＮ过点 Ｄ，则 ＯＡ＞ＡＢ，ＯＤ＞ＣＤ． ∴ＯＡ２ ＞ＡＤ２，ＯＤ２ ＞ＡＤ２． ∴ＯＡ２ ＋ＯＤ２ ＞２ＡＤ２≠ＡＤ２． ∴∠ＡＯＤ≠９０°，这与∠ＭＯＮ＝９０°矛盾． ∴ＯＮ不可能过点 Ｄ］ ②证明：∵ＥＨ⊥ＣＤ，ＥＦ⊥ＢＣ， ∴∠ＥＨＣ＝∠ＥＦＣ＝９０°． 又∠ＨＣＦ＝９０°，∴四边形 ＥＦＣＨ为矩形． ∵∠ＭＯＮ＝９０°，∴∠ＥＯＦ＝９０°－∠ＡＯＢ． 在正方形 ＡＢＣＤ中，∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＡＯＢ， ∴∠ＥＯＦ＝∠ＯＡＢ． 在△ＯＦＥ和△ＡＢＯ中，∵ ∠ＥＯＦ＝∠ＯＡＢ， ∠ＥＦＯ＝∠Ｂ， ＯＥ＝ＡＯ{ ， ∴△ＯＦＥ≌△ＡＢＯ （ＡＡＳ）． ∴ＥＦ＝ＯＢ，ＯＦ＝ＡＢ． 又 ＡＢ＝ＢＣ，∴ＯＦ＝ＢＣ． ∴ＯＦ－ＯＣ＝ＢＣ－ＯＣ，即 ＣＦ＝ＯＢ． ∴ＣＦ＝ＥＦ．∴四边形 ＥＦＣＨ为正方形． （２）解：∵∠ＰＯＫ＝∠ＯＧＢ，∠ＰＫＯ＝∠ＯＢＧ， ∴△ＰＫＯ∽△ＯＢＧ． ∵Ｓ△ＰＫＯ ＝４Ｓ△ＯＢＧ，∴Ｓ△ＰＫＯ Ｓ△ＯＢＧ ＝（ＯＰ ＯＧ）２ ＝４． ∴ＯＰ＝２ＯＧ＝２． ∴Ｓ△ＰＯＧ ＝１ ２ＯＧ·ＯＰ＝１ ２ ×１×２＝１． 设 ＯＢ＝ａ，ＢＧ＝ｂ，则 ａ２ ＋ｂ２ ＝ＯＧ２ ＝１． ∴ｂ＝ １－ａ槡 ２． ∴Ｓ△ＯＢＧ ＝１ ２ａｂ＝１ ２ａ １－ａ槡 ２ ＝１ ２ －ａ４ ＋ａ槡 ２ ＝１ ２ －（ａ２ －１ ２）２ ＋槡 １ ４． ∴当 ａ２ ＝ １ ２时，△ＯＢＧ的面积有最大值 １ ４， 此时 Ｓ△ＰＫＯ ＝４Ｓ△ＯＢＧ ＝１． ∴四边形 ＰＫＢＧ的最大面积为 １＋１＋１ ４ ＝９ ４                                             ． 数学预测卷 （二） 一、选择题 （本大题１０小题，每小题３分，共３０分） １．Ａ　　２．Ｃ　　３．Ｄ　　４．Ａ　　５．Ａ ６．Ｄ ７．Ａ ８．Ｃ ９．Ｂ １０．Ｂ 二、填空题 （本大题 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１．ｘ（ｙ＋３）（ｙ－３）　１２．９　１３． １ ３ １４．ｂ－２ａ　１５．１　１６．８ 三、解答题 （一） （本大题 ３小题，每小题 ６分， 共 １８分） １７．解：原式 槡 槡 槡＝ ３－３＋１－３ ３＋２－ ３ 槡＝－３ ３． １８．解：原式 ＝ｘ＋１－１ ｘ＋１ · ２ ｘ＝ ２ ｘ＋１． ∴当 ｘ＝２０１７时，原式 ＝ ２ ２０１７＋１＝ １ １００９            ． 数学预测卷参考答案第 ４　　　　 页　共 ８页 １９．解：（１）如图所示． （２）四边形 ＡＢＥＦ是菱形． 四、解答题 （二） （本大题 ３小题，每小题 ７分， 共 ２１分） ２０．（１）２００ ［解析：由扇形统计图可知，扇形 Ａ的圆心角 是 ３６°． ∴喜欢 Ａ项目的人数占被调查人数的百分比为 ３６ ３６０×１００％ ＝１０％． 由条形统计图可知，喜欢 Ａ项目的人数有 ２０人． ∴被调查的学生共有 ２０÷１０％ ＝２００（人）］ （２）喜欢 Ｃ项目的人数为 ２００－（２０＋８０＋４０） ＝６０（人）， 因此在条形统计图中补画高度为 ６０的长方条， 如图所示． （３）解：画树状图如下． 由树状图可知，从四名同学中任选两名共 有 １２种结果，每种结果出现的可能性相等， 其中选中甲、乙两位同学 （记为事件 Ａ）有 ２ 种结果． ∴Ｐ（Ａ）＝２ １２＝１ ６． ２１．解：（１）设 Ａ，Ｂ型号计算器的销售价格分别 是 ｘ元，ｙ元． 由题意，得 ５（ｘ－３０）＋（ｙ－４０）＝７６， ６（ｘ－３０）＋３（ｙ－４０）＝１２０{ ， 解得 ｘ＝４２， ｙ＝５６{ ． 答：Ａ，Ｂ两种型号计算器的销售价格分别为 ４２元，５６元． （２）设需要购进 Ａ型号的计算器 ａ台． 由题意，得 ３０ａ＋４０（７０－ａ）≤２５００， 解得 ａ≥３０． 答：最少需要购进 Ａ型号的计算器 ３０台． ２２．（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ为菱形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ，∠Ｂ＝∠Ｄ． 又 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＤ的中点， ∴ＢＥ＝ＤＦ． ∴△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）． （２）解：当 ＡＢ⊥ＢＣ时，四边形 ＡＥＯＦ为正方形． 理由如下： ∵Ｅ，Ｏ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中点，∴ＯＥ∥ＢＣ． 又 ＢＣ∥ＡＤ，∴ＯＥ∥ＡＤ，即 ＯＥ∥ＡＦ． 同理可证 ＯＦ∥ＡＥ． ∴四边形 ＡＥＯＦ为平行四边形． ∵Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＤ的中点，且 ＡＢ＝ＡＤ， ∴ＡＥ＝ＡＦ．∴ＡＥＯＦ为菱形． ∵ＢＣ⊥ＡＢ，ＢＣ∥ＡＤ， ∴ＡＢ⊥ＡＤ，即∠ＢＡＤ＝９０°． ∴菱形 ＡＥＯＦ为正方形． 五、解答题 （三） （本大题 ３小题，每小题 ９分， 共 ２７分） ２３．（１）证明：连接 ＢＯ． ∵∠ＡＣＢ＝３０°，∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝６０°． ∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＢＤ＝ＢＣ， ∴在 Ｒｔ△ＤＣＥ中，ＢＥ＝１ ２ＣＤ＝ＢＣ． ∴∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＢ＝３０°． ∴在△ＯＢＥ中，∠ＯＢＥ＝１８０°－６０°－３０°＝９０°． ∴ＢＥ是⊙Ｏ的切线． （２）解：当 ＢＥ＝３时，ＢＣ＝３． ∵ＡＣ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＢＣ＝９０                                                             °． 中考易·数学 （广东专版）第 ５　　　　 页　共 ８页 又∵∠ＡＣＢ＝３０°，∴ＡＢ＝ＢＣ·ｔａｎ３０° 槡＝ ３． ∴ＡＣ＝２ＡＢ 槡＝２ ３．∴ＡＯ 槡＝ ３． ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ半圆 －ＳＲｔ△ＡＢＣ ＝１ ２π·ＡＯ２ －１ ２ＡＢ·ＢＣ ＝１ ２π×３－１ ２ 槡× ３×３＝３ ２π－ 槡３ ３ ２ ． ２４．解：（１）当 ｙ＝０时，０＝－１ ２ｘ２ ＋３ ２ｘ＋２， 解得 ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝４． ∴Ａ（－１，０），Ｂ（４，０）． 当 ｘ＝０时，ｙ＝２．∴Ｃ（０，２）． （２）①过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ｘ轴于点 Ｅ． ∵将△ＡＢＣ绕 ＡＢ中点 Ｍ旋转 １８０°得到△ＢＡＤ， ∴ＤＥ＝ＯＣ＝２，ＢＥ＝ＡＯ＝１． ∴ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝３． ∴Ｄ（３， －２）． ②四边形 ＡＤＢＣ是矩形．理由如下： 由旋转的性质，得 ＡＣ＝ＢＤ，ＡＤ＝ＢＣ． ∴四边形 ＡＤＢＣ是平行四边形． ∵ＡＣ２ ＝１２ ＋２２ ＝５，ＢＣ２ ＝２２ ＋４２ ＝２０， ＡＢ２ ＝５２ ＝２５， ∴ＡＣ２ ＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２． ∴△ＡＣＢ是直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°． ∴四边形 ＡＤＢＣ是矩形． （３）存在．点 Ｐ的坐标为 （１５，１２５），（１５， －１２５），（１５，５）或 （１５， －５）． ［解析：易得 ＢＤ 槡＝ ５，ＡＤ 槡＝２ ５，Ｍ（１５，０）， ＢＭ＝２５． ∴ＢＤ ＡＤ＝１ ２． 当△ＢＭＰ１∽△ＡＤＢ时，Ｐ１Ｍ ＢＭ ＝ＢＤ ＡＤ＝１ ２． ∴Ｐ１Ｍ＝１ ２ＢＭ＝１２５． 故 Ｐ１（１５，１２５）． 当△ＢＭＰ２∽△ＡＤＢ时，同理可得 Ｐ２（１５，－１２５）． 当△ＢＭＰ３∽△ＢＤＡ时，Ｐ３Ｍ ＢＭ ＝ＡＤ ＢＤ＝２． ∴Ｐ３Ｍ＝２ＢＭ＝５．故 Ｐ３（１５，５）． 当△ＢＭＰ４∽△ＢＤＡ时，同理可得 Ｐ４（１５， －５）］ ２５．（１）证明：由对称得 ＡＥ＝ＦＥ． ∴∠ＥＡＦ＝∠ＥＦＡ． ∵ＧＦ⊥ＡＦ， ∴∠ＥＡＦ＋∠ＦＧＡ＝∠ＥＦＡ＋∠ＥＦＧ＝９０°． ∴∠ＦＧＡ＝∠ＥＦＧ．∴ＧＥ＝ＦＥ．∴ＡＥ＝ＧＥ． （２）解：设 ＡＥ＝ａ，则 ＡＤ＝ｎａ． 当点 Ｆ落 在 ＡＣ上 时 （如 图 １），由 对 称 得 ＢＥ⊥ＡＦ． 图 １ ∴∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＣ＝９０°． ∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＤＣ． ∴∠ＤＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＣ． ∴△ＡＢＥ∽△ＤＡＣ．∴ＡＢ ＤＡ＝ＡＥ ＤＣ． ∴ＡＢ２ ＝ＡＤ·ＡＥ＝ｎａ·ａ＝ｎａ２． ∵ＡＢ＞０，∴ＡＢ＝ 槡ａ ｎ． ∴ＡＤ ＡＢ＝ ｎａ 槡ａ ｎ ＝槡ｎ． （３）解：设 ＡＥ＝ａ，则 ＡＤ＝ｎａ． 又∵ＡＤ＝４ＡＢ，∴ＡＢ＝ｎ ４                                                             ａ． 数学预测卷参考答案第 ６　　　　 页　共 ８页 当点 Ｆ落在线段 ＢＣ上时 （如图 ２），ＥＦ＝ＡＥ ＝ＡＢ＝ａ，此时 ｎ ４ａ＝ａ． 图 ２ ∴ｎ＝４． ∴当点 Ｆ落在矩形 ＡＢＣＤ的内部时，ｎ＞４． ∵点 Ｆ落在矩形的内部，点 Ｇ在 ＡＤ上， ∴∠ＦＣＧ＜∠ＢＣＤ．∴∠ＦＣＧ＜９０°． ①若∠ＣＦＧ＝９０°，则点 Ｆ落在 ＡＣ上． 由 （２）得 ＡＤ ＡＢ＝槡ｎ．∴槡ｎ＝４．∴ｎ＝１６． ②若∠ＣＧＦ＝９０°（如图 ３），则∠ＣＧＤ＋∠ＡＧＦ ＝９０°． 图 ３ ∵∠ＦＡＧ＋∠ＡＧＦ＝９０°， ∴∠ＣＧＤ＝∠ＦＡＧ＝∠ＡＢＥ． ∵∠ＢＡＥ＝∠Ｄ＝９０°， ∴△ＡＢＥ∽△ＤＧＣ．∴ＡＢ ＤＧ＝ＡＥ ＤＣ． ∴ＡＢ·ＤＣ＝ＤＧ·ＡＥ，即 （ｎ ４ａ）２＝（ｎ－２）ａ·ａ． 解得 ｎ１ 槡＝８＋４ ２，ｎ２ 槡＝８－４ ２＜４（不合题 意，舍去）． 综上所述，ｎ＝１６或 槡８＋４ ２                          ． 数学预测卷 （三） 一、选择题 （本大题１０小题，每小题３分，共３０分） １．Ａ　　２．Ｃ　　３．Ｂ　　４．Ｄ　　５．Ａ ６．Ｄ ７．Ｃ ８．Ｃ ９．Ｂ １０．Ａ 二、填空题 （本大题 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１．６　１２．４　１３．ｘ＝－１ １４．１　１５．１６ ９　１６．６π 三、解答题 （一） （本大题 ３小题，每小题 ６分， 共 １８分） １７．解：因式分解，得 （ｘ－５）（ｘ＋１）＝０． ∴ｘ－５＝０或 ｘ＋１＝０． ∴ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝－１． １８．解：原式 ＝ ｘ ｘ＋１·（ｘ＋１）２ ｘ ＝ｘ＋１． ∴当 ｘ＝２０１８时，原式 ＝２０１９． １９．（１） 解：如图，线段 ＡＤ即 为所求． （２）证明：∵∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝９０°． ∵ＡＤ是△ＡＢＣ的高，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＣＤＡ＝９０°． ∴在 Ｒｔ△ＣＡＤ中，∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＝９０°． ∴∠Ｃ＝∠ＢＡＤ． 四、解答题 （二） （本大题 ３小题，每小题 ７分， 共 ２１分） ２０．（１）８　３ （２）１４４ （３）解：画树状图如下． 由树状图可知，从 ４名学生中随机选择 ２名学 生共有 １２种等可能的结果，其中 “１名男生、 １名女生”的结果有 ８种． ∴Ｐ（１名男生、１名女生）＝８ １２＝２ ３． ２１．（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，△ＥＢＣ 是等边三角形， ∴ＢＡ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＢＥ＝ＣＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ                                ＝ 中考易·数学 （广东专版）第 ７　　　　 页　共 ８页 ９０°，∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ＝６０°． ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ＝３０°． 在△ＡＢＥ和△ＤＣＥ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ， ＢＥ＝ＣＥ{ ， ∴△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）． （２）解：∵ＢＡ＝ＢＥ，∠ＡＢＥ＝３０°， ∴∠ＢＡＥ＝１ ２（１８０°－３０°）＝７５°． ∵∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠ＥＡＤ＝９０°－７５°＝１５°． 同理可得∠ＡＤＥ＝１５°． ∴∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＥＡＤ －∠ＡＤＥ ＝１５０°． ２２．解：（１）设彩色地砖采购 ｘ块，单色地砖采购 ｙ块．由题意，得 ｘ＋ｙ＝１００， ８０ｘ＋４０ｙ＝５６００{ ， 解得 ｘ＝４０， ｙ＝６０{ ． 答：彩色地砖采购 ４０块，单色地砖采购 ６０块． （２）设购进彩色地砖 ａ块，则单色地砖购进 （６０－ａ）块．由题意，得 ８０ａ＋４０（６０－ａ）≤３３００，解得 ａ≤２２５． ∵ａ取正整数，∴ａ≤２２． 答：彩色地砖最多能采购 ２２块． 五、解答题 （三） （本大题 ３小题，每小题 ９分， 共 ２７分） ２３．解：（１）∵Ｓ△ＡＯＢ ＝ＯＡ·ＯＢ ２ ＝１ ２ＯＡ×２＝１， ∴ＯＡ＝１． ∵点 Ａ在 ｙ轴负半轴上，∴点 Ａ（０， －１）． ∵ＢＤ＝ＯＤ－ＯＢ＝４－２＝２，∴ＢＤ＝ＯＢ． 易知∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＯ，∠ＣＤＢ＝∠ＡＯＢ＝９０°． ∴△ＢＣＤ≌△ＢＡＯ （ＡＳＡ）．∴ＣＤ＝ＯＡ＝１． 又∵ＯＤ＝４，点 Ｃ在第二象限，∴点 Ｃ（－４，１）． （２）∵点 Ｃ（－４，１）在反比例函数 ｙ＝ｍ ｘ 的 图象上， ∴１＝ ｍ －４，解得 ｍ＝－４． ∴反比例函数的解析式为 ｙ＝－４ ｘ． ∵点 Ａ（０， －１）和点 Ｂ（－２，０）在直线 ｙ＝ ｋｘ＋ｂ上， ∴ ｂ＝－１， －２ｋ＋ｂ＝０{ ， 解得 ｋ＝－１ ２，ｂ＝－１． ∴一次函数的解析式为 ｙ＝－１ ２ｘ－１． （３）ｘ＜－４或 ０＜ｘ＜２ ２４．（１）证明：连接 ＯＣ． ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ． ∵ＣＤ是⊙Ｏ的切线，∴ＯＣ⊥ＣＤ． ∴∠ＤＣＯ＝９０°．∴∠ＡＣＤ＋∠ＯＣＡ＝９０°． ∵ＡＢ是半圆 Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°． ∴∠ＯＡＣ＋∠Ｂ＝９０°．∴∠ＡＣＤ＝∠Ｂ． （２）解：∵ＤＦ平分∠ＢＤＣ，∴∠ＣＤＥ＝∠ＦＤＢ． 由 （１）知，∠ＥＣＤ＝∠Ｂ． ∵∠ＣＥＦ＝∠ＥＣＤ＋∠ＣＤＥ，∠ＣＦＥ＝∠Ｂ＋∠ＦＤＢ， ∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ． ∵∠ＥＣＦ＝９０°，∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝４５°． ∴ｔａｎ∠ＣＦＥ＝ｔａｎ４５°＝１． （３）解：∵∠ＣＤＡ＝∠ＢＤＣ，∠ＤＣＡ＝∠Ｂ， ∴△ＤＣＡ∽△ＤＢＣ．∴ＤＣ ＤＢ＝ＡＣ ＢＣ＝３ ４． ∵∠ＣＤＥ＝∠ＢＤＦ，∠ＤＣＥ＝∠Ｂ， ∴△ＤＣＥ∽△ＤＢＦ．∴ＣＥ ＢＦ＝ＤＣ ＤＢ＝３ ４． 设 ＣＥ＝ＣＦ＝ｘ，则 ＢＦ＝４－ｘ． ∴ ｘ ４－ｘ＝３ ４，解得 ｘ＝１２ ７． ∴ＣＥ＝１２ ７． ２５．解：（１）由题意，得 ＭＡ＝ｘ，ＯＮ＝１２５ｘ． 在 Ｒｔ△ＯＡＢ中，由勾股定理，得 ＯＢ＝ ＯＡ２ ＋ＡＢ槡 ２ ＝ ４２ ＋３槡 ２ ＝５． 如图 １，过点 Ｎ作 ＮＰ⊥ＯＡ于点 Ｐ，则 ＮＰ∥                                                             ＡＢ． 数学预测卷参考答案第 ８　　　　 页　共 ８页 图 １ ∴△ＯＰＮ∽△ＯＡＢ． ∴ＰＮ ＡＢ＝ＯＰ ＯＡ＝ＯＮ ＯＢ，即 ＰＮ ３ ＝ＯＰ ４ ＝１２５ｘ ５ ． ∴ＯＰ＝ｘ，ＰＮ＝３ ４ｘ． ∴点 Ｎ的坐标是 （ｘ， ３ ４ｘ）． （２）在△ＯＭＮ中，ＯＭ＝４－ｘ，ＯＭ边上的高 ＰＮ＝３ ４ｘ． ∴Ｓ＝１ ２ＯＭ·ＰＮ＝１ ２（４－ｘ）· ３ ４ｘ ＝－３ ８ｘ２ ＋３ ２ｘ． ∴Ｓ关于 ｘ的函数表达式为 Ｓ＝－３ ８ｘ２ ＋３ ２ｘ （０＜ｘ＜４）． 配方，得 Ｓ＝－３ ８（ｘ－２）２ ＋３ ２． ∵ －３ ８ ＜０， ∴当 ｘ＝２时，Ｓ有最大值，最大值是 ３ ２． ［或不用配方法：∵ －３ ８ ＜０， ∴当 ｘ＝－ ３ ２ ２×（－３ ８） ＝２时，Ｓ取最大值． 此时，Ｓ最大 ＝－３ ８ ×２２ ＋３ ２ ×２＝３ ２］ （３）存在． 易知 ＯＭ＝４－ｘ，ＯＮ＝１２５ｘ． 分两种情况： ①若∠ＯＭＮ＝９０°，如图 ２所示，则 ＭＮ∥ＡＢ． 图 ２ ∴△ＯＭＮ∽△ＯＡＢ． ∴ＯＭ ＯＡ＝ＯＮ ＯＢ，即 ４－ｘ ４ ＝１２５ｘ ５ ，解得 ｘ＝２． ②若∠ＯＮＭ＝９０°，如图 ３所示，则∠ＯＮＭ＝ ∠ＯＡＢ，∠ＭＯＮ＝∠ＢＯＡ． 图 ３ ∴△ＯＭＮ∽△ＯＢＡ． ∴ＯＭ ＯＢ＝ＯＮ ＯＡ，即 ４－ｘ ５ ＝１２５ｘ ４ ，解得 ｘ＝６４ ４１． 综合所述，ｘ的值是 ２或 ６４ ４１                                             ． 中考易·数学 （广东专版）