2017-2018学年广州XX中学八年级下期中数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年广东省广州XX中学八年级（下）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）‎ A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25‎ C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5‎ ‎3．（3分）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）‎ A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 ‎4．（3分）已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎5．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（　　）‎ A．110° B．115° C．120° D．130°‎ ‎6．（3分）实数a、b在数轴上对应的位置如图，则=（　　）‎ A．b﹣a B．2﹣a﹣b C．a﹣b D．2+a﹣b ‎7．（3分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm ‎8．（3分）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）‎ A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13‎ ‎9．（3分）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎10．（3分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：‎ ‎①△APD≌△AEB；‎ ‎②点B到直线AE的距离为；‎ ‎③EB⊥ED；‎ ‎④S△APD+S△APB=1+；‎ ‎⑤S正方形ABCD=4+．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）计算的结果是　 　．‎ ‎12．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围为　 　．‎ ‎13．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=7，AD=11，DE平分∠ADC，则BE=　 　．‎ ‎15．（3分）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　 　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）‎ ‎16．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、计算题（共9小题，共20分）‎ ‎17．（20分）（1）计算+|﹣1|﹣π0+（）﹣1；‎ ‎（2）+÷（a＞0）；‎ ‎（3）先化简，后计算： ++，其中a=，b=．‎ ‎18．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：‎ ‎（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；‎ ‎（2）线段AC的长为　 　，CD的长为　 　，AD的长为　 　；‎ ‎（3）△ACD为　 　三角形，四边形ABCD的面积为　 　．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求AC和AB的长．（结果保留二次根式）‎ ‎20．（8分）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？（画出符合题意的几何图形，并求解）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．（8分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF．‎ ‎22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．‎ ‎（1）求证：∠ADB=∠CDB；‎ ‎（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．‎ ‎23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：DE=EF；‎ ‎（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．‎ ‎24．（12分）先观察下列等式，再回答下列问题：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ ‎（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；‎ ‎（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．‎ ‎25．（14分）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．‎ ‎（1）求证：∠EAP=∠EPA；‎ ‎（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；‎ ‎（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：C、∵==；‎ ‎∴它不是最简二次根式．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）‎ A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25‎ C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5‎ ‎【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；‎ B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；‎ C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；‎ D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）‎ A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 ‎【解答】解：A、∵AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；‎ B、∵AD=BC，AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C、由AC=BD，不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；‎ D、∵OA=OC，OD=OB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；‎ 故选：C．‎ ‎ [‎ ‎　‎ ‎4．（3分）已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【解答】解：由题意设三边长分别为：x，x， x ‎∵x2+x2=（x）2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（　　）‎ A．110° B．115° C．120° D．130°‎ ‎【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，‎ ‎∵∠1+∠2+∠3=180°，‎ ‎∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠AEF+∠2=180°，‎ ‎∴∠AEF=180°﹣65°=115°．‎ 故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎6．（3分）实数a、b在数轴上对应的位置如图，则=（　　）‎ A．b﹣a B．2﹣a﹣b C．a﹣b D．2+a﹣b ‎【解答】解：由数轴上a、b所在的位置，可知a＜1，0＜b＜1‎ 则 ‎=|b﹣1|﹣|a﹣1|‎ ‎=1﹣b﹣1+a ‎=a﹣b 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）‎ A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm ‎【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，‎ ‎∵EO⊥BD，‎ ‎∴EO为BD的垂直平分线，‎ 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，‎ ‎∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．（3分）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）‎ A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13‎ ‎【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得： =13．‎ 即a的取值范围是12≤a≤13．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎【解答】解：在Rt△AOB中，tan∠AOB=，‎ ‎∴∠AOB=30°．‎ 而Rt△AOB≌Rt△A1OB，‎ ‎∴∠A1OB=∠AOB=30°．‎ 作A1D⊥OA，垂足为D，如图所示．‎ 在Rt△A1OD中，OA1=OA=，∠A1OD=60°，‎ ‎∵sin∠A1OD=，‎ ‎∴A1D=OA1•sin∠A1OD=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又cos∠A1OD=，‎ ‎∴OD=OA1•cos∠A1OD=．‎ ‎∴点A1的坐标是．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：‎ ‎①△APD≌△AEB；‎ ‎②点B到直线AE的距离为；‎ ‎③EB⊥ED；‎ ‎④S△APD+S△APB=1+；‎ ‎⑤S正方形ABCD=4+．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤‎ ‎【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，‎ ‎∴∠EAB=∠PAD，‎ 又∵AE=AP，AB=AD，‎ ‎∴△APD≌△AEB（故①正确）；‎ ‎③∵△APD≌△AEB，‎ ‎∴∠APD=∠AEB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，‎ ‎∴∠BEP=∠PAE=90°，‎ ‎∴EB⊥ED（故③正确）；‎ ‎②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，‎ ‎∵AE=AP，∠EAP=90°，‎ ‎∴∠AEP=∠APE=45°，‎ 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，‎ ‎∴∠FEB=∠FBE=45°，‎ 又∵BE===，‎ ‎∴BF=EF=（故②不正确）；‎ ‎④如图，连接BD，在Rt△AEP中，‎ ‎∵AE=AP=1，‎ ‎∴EP=，‎ 又∵PB=，‎ ‎∴BE=，‎ ‎∵△APD≌△AEB，‎ ‎∴PD=BE=，‎ ‎∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+．（故④不正确）．[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎⑤∵EF=BF=，AE=1，‎ ‎∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，‎ ‎∴S正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正确）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）计算的结果是　3　．‎ ‎【解答】解：原式=（5﹣2）÷=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围为　a≥﹣2且a≠0　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，‎ 解得：a≥﹣2且a≠0．‎ 故答案为：a≥﹣2且a≠0．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　　．‎ ‎【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2=52+122，‎ 则斜边长=13，‎ 直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，‎ 可得：斜边的高=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=7，AD=11，DE平分∠ADC，则BE=　4　．‎ ‎【解答】解：∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADE=∠CDE，‎ ‎∵▱ABCD中AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CED，‎ ‎∴∠CDE=∠CED，[来源:学科网ZXXK]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CE=CD，‎ ‎∵在▱ABCD中，AB=7，AD=11，‎ ‎∴CD=AB=7，BC=AD=11，‎ ‎∴BE=BC﹣CE=11﹣7=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　OA=OC　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）‎ ‎【解答】解：OA=OC，‎ ‎∵OB=OD，OA=OC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形，‎ 故答案为：OA=OC．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　（8052，0）　．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），‎ ‎∴AB==5，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，‎ ‎∵2013÷3=671，‎ ‎∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，‎ ‎∵671×12=8052，‎ ‎∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．‎ 故答案为：（8052，0）．‎ ‎　‎ 三、计算题（共9小题，共20分）‎ ‎17．（20分）（1）计算+|﹣1|﹣π0+（）﹣1；‎ ‎（2）+÷（a＞0）；‎ ‎（3）先化简，后计算： ++，其中a=，b=．‎ ‎【解答】解：（1）原式=2+﹣1﹣1+2=3‎ ‎（2）原式=3+•÷‎ ‎=3+•‎ ‎=3+‎ ‎（3）当a=，b=时，‎ 原式=++‎ ‎=+‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎18．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：‎ ‎（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；‎ ‎（2）线段AC的长为　2　，CD的长为　　，AD的长为　5　；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）△ACD为　直角　三角形，四边形ABCD的面积为　10　．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）AC==2；‎ CD==；‎ AD==5；‎ ‎（3）∵（2）2+（）2=52，‎ ‎∴△ACD是直角三角形，‎ S四边形ABCD=4×6﹣×2×1﹣×4×3﹣×2×1﹣×3×4=10．‎ 故答案为：2，，5；直角，10．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求AC和AB的长．（结果保留二次根式）‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴在△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=60°‎ ‎∴AC=2CD；‎ 在△BDC中，∠BDC=90°，∠BCD=∠DBC=45°‎ ‎∴CD=BD 由勾股定理可得，BD2+CD2=4‎ ‎∴CD=BD=，‎ ‎∴AC=2cm；‎ 在△ADC中，‎ AD=AC•sin60°=2•=，‎ ‎∴AB=AD+BD=（）cm．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？（画出符合题意的几何图形，并求解）‎ ‎【解答】解：如图，由题意知AB=3m，CD=14﹣1=13（m），BD=24m．‎ 过A作AE⊥CD于E．则CE=13﹣3=10（m），AE=24m，‎ 在Rt△AEC中，‎ AC2=CE2+AE2=102+242．[来源:Z|xx|k.Com]‎ 故AC=26m，‎ 则26÷5=5.2（s），‎ 答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎21．（8分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，AD∥BC，‎ ‎∴∠EAO=∠FCO，‎ ‎∵OE⊥AD，OF⊥BC，‎ ‎∴∠AEO=∠CFO=90°，‎ 在△AEO和△CFO中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△AEO≌△CFO（AAS），‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．‎ ‎（1）求证：∠ADB=∠CDB；‎ ‎（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．‎ ‎【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ 在△ABD和△CBD中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎∴△ABD≌△CBD（SAS），‎ ‎∴∠ADB=∠CDB；‎ ‎（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，‎ ‎∴∠PMD=∠PND=90°，‎ ‎∵∠ADC=90°，‎ ‎∴四边形MPND是矩形，‎ ‎∵∠ADB=∠CDB，‎ ‎∴∠ADB=45°‎ ‎∴PM=MD，‎ ‎∴四边形MPND是正方形．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：DE=EF；‎ ‎（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．‎ ‎【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴四边形DBCF为平行四边形，‎ ‎∴DF=BC，‎ ‎∵D为边AB的中点，DE∥BC，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，‎ ‎∴DE=EF；‎ ‎（2）∵DB∥CF，‎ ‎∴∠ADG=∠G，‎ ‎∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，‎ ‎∴CD=DB=AD，‎ ‎∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，‎ ‎∵DG⊥DC，‎ ‎∴∠DCA+∠1=90°，‎ ‎∵∠DCB+∠DCA=90°，‎ ‎∴∠1=∠DCB=∠B，‎ ‎∵∠A+∠ADG=∠1，‎ ‎∴∠A+∠G=∠B．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）先观察下列等式，再回答下列问题：‎ ‎①；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②；‎ ‎③．‎ ‎（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；‎ ‎（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1），‎ 验证： =；‎ ‎（2）（n为正整数）．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．‎ ‎（1）求证：∠EAP=∠EPA；‎ ‎（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；‎ ‎（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】（1）证明：在△ABC和△AEP中，‎ ‎∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，‎ ‎∴∠ACB=∠APE，‎ 在△ABC中，AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC，‎ ‎∴∠EPA=∠EAP．‎ ‎（2）解：▱APCD是矩形．理由如下：‎ ‎∵四边形APCD是平行四边形，‎ ‎∴AC=2EA，PD=2EP，‎ ‎∵由（1）知∠EPA=∠EAP，‎ ‎∴EA=EP，‎ 则AC=PD，‎ ‎∴▱APCD是矩形．‎ ‎（3）解：EM=EN．‎ 证明：∵EA=EP，‎ ‎∴∠EPA===90°﹣α，‎ ‎∴∠EAM=180°﹣∠EPA=180°﹣（90°﹣α）=90°+α，‎ 由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，‎ ‎∴FP=FB，‎ ‎∴∠FPB=∠ABC=α，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°﹣α+α=90°+α，‎ ‎∴∠EAM=∠EPN，‎ ‎∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，‎ ‎∴∠AEP=∠MEN，‎ ‎∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA=∠NEP，‎ 在△EAM和△EPN中，‎ ‎∴△EAM≌△EPN（ASA），‎ ‎∴EM=EN．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费