2018年石家庄一模
数学试题参考答案
说明：
1．在阅卷过程中，如考生还有其它正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分．
2．坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．
3．解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数．只给整数分数．
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
A
D
C
D
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
B
D
C
A
C
B
C
D
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．）
17． 18． 19．（，），（1009，0），
三、解答题（本大题有7个小题，共68分）
20．解：（1）原式=
= …………………………………………………………（2分）
∵，∴原式=4+1=5．……………………………………………………（4分）
（2）∵=， ………………………（6分）
由题意得，=17，∴=9，
∴=±3．……………………………………………………………………（8分）
21．（1）40；………………………………………………………………………（1分）
奖项
祖冲之奖
刘徽奖
赵爽奖
人数/人
100
80
60
40
20
杨辉奖
0
图1
补全图形如图1所示：………………………………………………………（3分）
6
（2）90，90；……………………………………………………………………（5分）
（3）列表法：……………………………………………………………………（7分）
y
x
−2
−1
2
−2
（−2，−2）
（−1，−2）
（2，−2）
−1
（−2，−1）
（−1，−1）
（2，−1）
2
（−2，2）
（−1，2）
（2，2）
∵第二象限的点有（−2，2）和（−1，2）
∴P（点在第二象限）=……………………………………………………（9分）
2
1
3
H
F
E
C
A'
B
A
D
22．解：（1）如图2，作F⊥BD，垂足为F． ……………………………………（1分）
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠FB=90°；
在Rt△FB中，∠1+∠3=90°；
图2
又∵B⊥AB，∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3； ……………………………………………………………………（2分）
在△ACB和△BF中，
∴△ACB≌△BF（AAS）；
∴F=BC，……………………………………………………………………（4分）
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.8；…………………………………………………………………（5分）
∴BC=BD－CD=3－1.8=1.2，
∴F=1.2，即到BD的距离是1.2m．………………………………………（6分）
6
（2）由（1）知：△ACB≌△BF
∴BF=AC=2m，………………………………………………………………（7分）
作H⊥DE，垂足为H．
∵F∥DE，∴H=FD，……………………………………………………（8分）
∴H=BD－BF=3－2=1，即到地面的距离是1m．……………………（9分）
23．解：（1）此时点A在直线l上； …………………………………………………（1分）
∵BC=AB=2，点O为BC中点，
∴点B（−1，0），A（−1，2），……………………………………………………（3分）
把点A的横坐标x=−1代入解析式，得
=2，等于点A的纵坐标2，
∴此时点A在直线l上． …………………………………………………………（5分）
（2）由题意可得，点D（1，2），及点M（−2，0），
当直线l经过点D时，设l的解析式为（k≠0），
∴，解得，…………………………………………………（7分）
∴当直线l与AD边有公共点时，t的取值范围是≤t≤4． ………………（9分）
A
E
B
C
D
F
G
P
H
图3
24．解：（1）5 ………………………………（1分）
（2）设AE=x,∵AB=4，∴BE=4﹣x，
在矩形ABCD中，根据折叠的性质知：
Rt△FDE≌Rt△ADE，
∴ FE=AE=x，FD=AD=BC=3，
∴ BF=BD﹣FD=5﹣3=2，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得FE2+BF2=BE2，
即x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，图15
图15
∴AE的长为. ……………………………………………（4分）
（3）存在， ……………………………………………（5分）
6
如图3，延长CB到点G，使BG=BC，连接FG，交BE于点P，连接PC，
则点P即为所求（画出点P即可）． ………………………………（6分）
此时有：PC=PG，∴PF+PC=GF．
过点F作FH⊥BC，交BC于点H，则有FH∥DC，
∴△BFH∽△BDC，
∴，即，
∴， ………………………………………………………（8分）
∴GH=BG+BH
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
∴GF
即PF+PC的最小值为 …………………………………………………（10分）
25．解：（1）设（k，b为常数且k≠0），
当x=2时，q=12，当x=4时，q=10，代入解析式得，
，解得：， …………………………………………………（2分）
∴． ……………………………………………………………………（3分）
（2）当产量小于或等于市场需求量时，有p≤q，
∴≤，解得x≤4， ………………………………………………（5分）
又2≤x≤10，∴2≤x≤4．…………………………………………………………（6分）
（3）①当产量大于市场需求量时，可得4＜x≤10，
由题意得，厂家获得的利润是：
………………………………………………………………………（7分）
=
=．……………………………………………………………（9分）
6
②∵当x≤时，y随x的增加而增加，
又∵产量大于市场需求量时，有4＜x≤10，
∴当4＜x≤时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加．……（11分）
26．解：【发现】
A
B
O
x
y
4
●
●
(N)
M
P
Q
图4
（1） ．………………………………………………………………………（1分）
（2） 设⊙P半径为r，则有r=4-3=1，
当t=2时，如图4，点N与点A重合，
∴ PA=r=1，
设MP与AB相交于点Q，在Rt△ABO中，
∵∠OAB=30°，∠MPN=60°，
∵∠PQA=90°．∴∴
∴
P
●
A
B
O
x
y
4
●
C
图5
即重叠部分的面积为．………………………………………………（4分）
【探究】：
① 如图5，当⊙P与直线AB相切于点C时，
连接PC，则有PC⊥AB，PC=r=1，
∵∠OAB=30°，∴AP=2，
A
B
O
x
y
4
●
D
P
●
图6
∴OP=OA-AP=3-2=1；
∴点P的坐标为（1，0）； …………（6分）
② 如图6，当⊙P与直线OB相切于点D时，
连接PD，则有PD⊥OB，PD=r=1，
∴PD∥AB，
A
B
O
y
4
●
E
P
●
图7
∴∠OPD=∠OAB=30°，
∴cos∠OPD=,OP=，
6
x
∴点P的坐标为（，0）；………（8分）
③ 如图7，当⊙P与直线OB相切于点E时，
连接PE，则有PE⊥OB，同②可得：OP=；
∴点P的坐标为（-，0）……………………………………………（10分）
【拓展】
t的取值范围是2
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