《实数》单元测试
一．选择题（共10小题）
1．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（ ）
A．a=±B B．a=B
C．a=﹣B D．以上结论都不对
2．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（ ）
A．小于或等于3的实数 B．小于3的实数
C．小于或等于﹣3的实数 D．小于﹣3的实数
4．的平方根为（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．4
5．设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（ ）
A．1 B．是一个有理数 C．3 D．无法确定
6．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：
82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列说法错误的是（ ）
A．2是8的立方根 B．±4是64的立方根
C．﹣是的平方根 D．4是的算术平方根
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
9．如图，点A在数轴上表示的实数为a，则|a﹣2|等于（ ）
A．a﹣2 B．a+2 C．﹣a﹣2 D．﹣a+2
10．的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣
二．填空题（共4小题）
11．数轴上﹣1所对应的点为A，将A点右移4个单位长度再向左平移6个单位长度，则此时A点距原点的距离为 个单位长度．
12．已知x=，则x3+12x的算术平方根是 ．
13．阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． = ， = ．
14．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值= ．
三．解答题（共8小题）
15．已知实数a、b满足（a+2）2+=0，则a+b的值．
16．计算题
（1）（+3）（﹣3）﹣
（2）+（﹣）×
17．已知实数x、y满足y=，求的值．
18．如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知：b是最小的正整数，且a、c满足（c﹣6）2+|a+2|=0，
①求代数式a2+c2﹣2ac 的值；
②若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ．
③请在数轴上确定一点D，使得AD=2BD，则点D表示的数是 ．
19．若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣1|+|c﹣2|=0．
（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过t（t≥1）秒后，试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由．
20．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为16．
（1）数轴上点B表示的数为 ；
（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S．
①当S=4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；
②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BF=BB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．
21．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，PQ=AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PM﹣BN的值．
22．阅读下面的材料：
如图①，若线段AB在数轴上，A，B点表示的数分别为a， b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB=b﹣a
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度；
（2）若数轴上有一点D，且AD=4cm，则点D表示的数是什么？
（3）若将点A向右移动xcm，请用代数式表示移动后的点表示的数？
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动至点P1，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点P2，点P3，设移动时间为t秒，试探索：P3P2﹣P1P2的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（ ）
A．a=±B B．a=B
C．a=﹣B D．以上结论都不对
【解答】解：∵a是9的平方根，
∴a=±3，
又B=（）2=3，
∴a=±b．
故选：A．
2．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，
无理数是：π，共2个．
故选：B．
3．实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（ ）
A．小于或等于3的实数 B．小于3的实数
C．小于或等于﹣3的实数 D．小于﹣3的实数
【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，
又∵a＜b，
∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．
故选：C．
4．的平方根为（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．4
【解答】解：∵=4，
又∵（±2）2=4，
∴的平方根是±2．
故选：C．
5．设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（ ）
A．1 B．是一个有理数 C．3 D．无法确定
【解答】解：∵的小数部分为b，
∴b=﹣2，
把b=﹣2代入式子（4+b）b中，
原式=（4+b）b=（4+﹣2）×（﹣2）=3．
故选：C．
6．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：
82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：121 []=11 []=3 []=1，
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
7．下列说法错误的是（ ）
A．2是8的立方根 B．±4是64的立方根
C．﹣是的平方根 D．4是的算术平方根
【解答】解：A、2是8的立方根是正确的，不符合题意；
B、4是64的立方根，原来的说法错误，符合题意；
C、﹣是的平方根是正确的，不符合题意；
D、4是的算术平方根是正确的，不符合题意．
故选：B．
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，
∴选项D正确．
故选：D．
9．如图，点A在数轴上表示的实数为a，则|a﹣2|等于（ ）
A．a﹣2 B．a+2 C．﹣a﹣2 D．﹣a+2
【解答】解：根据数轴，可知2＜a＜3，所以a﹣2＞0，则|a﹣2|=a﹣2．
故选：A．
10．的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣
【解答】解：的相反数是（2，即2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．数轴上﹣1所对应的点为A，将A点右移4个单位长度再向左平移6个单位长度，则此时A点距原点的距离为 3 个单位长度．
【解答】解：根据题意：数轴上﹣1所对应的点为A，
将A点右移4个单位长度再向左平移6个单位长度，得到点的坐标为﹣1+4﹣6=﹣3，
故此时A点距原点的距离为3个单位长度．
12．已知x=，则x3+12x的算术平方根是 2 ．
【解答】解：设=a， =b．则，．
又4==a3b3，
∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，
故原式=x（x2+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），
=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），
=a3b3（a3﹣b3），
=，
=4×2=8．
则其算术平方根是2．
故答案为：2．
13．阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． = ， = ．
【解答】解：设=x=0.777…①，
则10x=7.777…②
则由②﹣①得：9x=7，即x=；
根据已知条件=0.333…=．
可以得到=1+=1+=．
故答案为：；．
14．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值= 406 ．
【解答】解：∵①=1；
②=3=1+2；
③=6=1+2+3；
④=10=1+2+3+4，
∴=1+2+3+4+…+28=406．
三．解答题（共8小题）
15．已知实数a、b满足（a+2）2+=0，则a+b的值．
【解答】解：∵（a+2）2+=0，
∴a+2=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得：a=﹣2，b1=﹣1，b2=3，
则a+b的值为：1或﹣3．
16．计算题
（1）（+3）（﹣3）﹣
（2）+（﹣）×
【解答】解：（1）原式=（）2﹣32﹣（﹣3）=14﹣9+3=8；
（2）原式=×+×﹣×，
=6+5﹣6，
=5．
17．已知实数x、y满足y=，求的值．
【解答】解：∵4 x﹣1≥0，1﹣4 x≥0
∴x≥，x≤，
∴x=，
∴y=，
∴=．
18．如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知：b是最小的正整数，且a、c满足（c﹣6）2+|a+2|=0，
①求代数式a2+c2﹣2ac 的值；
②若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ﹣7 ．
③请在数轴上确定一点D，使得AD=2BD，则点D表示的数是 0或4 ．
【解答】解：（1）∵（c﹣6）2+|a+2|=0，
∴a+2=0，c﹣6=0，
解得a=﹣2，c=6，
∴a2+c2﹣2ac=4+36+24=64；
（2）∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵（﹣2+1）÷2=﹣0.5，
∴6﹣（﹣0.5）=6.5，﹣0.5﹣6.5=﹣7，
∴点C与数﹣7表示的点重合；
（3）设点D表示的数为x，则
若点D在点A的左侧，则﹣2﹣x=2（1﹣x），
解得x=4（舍去）；
若点D在A、B之间，则x﹣（﹣2）=2（1﹣x），
解得x=0；
若点D在点B在右侧，则x﹣（﹣2）=2（x﹣1），
解得x=4．
综上所述，点D表示的数是0或4．
故答案为：﹣7；0或4．
19．若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣1|+|c﹣2|=0．
（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过t（t≥1）秒后，试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由．
【解答】解：（1）∵|a+5|+|b﹣1|+|c﹣2|=0，
∴a+5=0，b﹣1=0，c﹣2=0，
解得a=﹣5，b=1，c=2，
设点P表示的数为x，
∵PA+PB=PC，
①P在AB之间，
[x﹣（﹣5）]+（1﹣x）=2﹣x，
x+5+1﹣x=2﹣x，
x=2﹣1﹣5，
x=﹣4；
②P在A的左边，
（﹣5﹣x）+（1﹣x）=2﹣x，
﹣5﹣x+1﹣x=2﹣x，
﹣x=2﹣1+5，
x=﹣6；
③P在BC的中间，
（5+x）+（x﹣1）=2﹣x，
2x+4=2﹣x，
3x=﹣2，
x=﹣（舍去）；
④P在C的右边，
（x+5）+（x﹣1）=x﹣2，
2x+4=x﹣2，
x=﹣6（舍去）．
综上所述，x=﹣4或x=﹣6．
（2）∵运动时间为t（t≥1），
A的速度为每秒1个单位长度，B的速度为每秒3个单位长度，C的速度为每秒5个单位长度，
∴点A表示的数为﹣5﹣t，点B表示的数为1﹣3t，点C表示的数为2﹣5t，
①当1﹣3t＞﹣5﹣t，即t＜3时，
AB=（1﹣3t）﹣（﹣5﹣t）=﹣2t+6，
BC=（1﹣3t）﹣（2﹣5t）=2t﹣1，
AB﹣BC=（﹣2t+6）﹣（2t﹣1）=7﹣4t，
∴AB﹣BC的值会随着时间t的变化而变化．
②当t≥3时，
AB=（﹣5﹣t）﹣（1﹣3t）=2t﹣6，
BC=（1﹣3t）﹣（2﹣5t）=2t﹣1，
AB﹣BC=（2t﹣6）﹣（2t﹣1）=﹣5，
∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而变化．
综上所述，当1≤t＜3时，AB﹣BC的值会随着时间t的变化而变化．当t≥3时，AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而变化．
20．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为16．
（1）数轴上点B表示的数为 ﹣5 ；
（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S．
①当S=4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；
②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BF=BB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵点A表示的数为﹣1，
∴AO=1，
∴BO=5，
∴数轴上点B表示的数为﹣5，
故答案为：﹣5．
（2）①∵正方形的面积为16，
∴边长为4，
当S=4时，分两种情况：
若正方形ABCD向左平移，如图1，
A'B=4÷4=1，
∴AA'=4﹣1=3，
∴点A'表示的数为﹣1﹣3=﹣4；
若正方形ABCD向右平移，如图2，
AB'=4÷4=1，
∴AA'=4﹣1=3，
∴点A'表示的数为﹣1+3=2；
综上所述，点A'表示的数为﹣4或2；
②t的值为4．
理由如下：
当正方形ABCD沿数轴负方向运动时，点E，F表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；
当点E，F所表示的数互为相反数时，正方形ABCD沿数轴正方向运动，如图3，
∵AE=AA'=×2t=t，点A表示﹣1，
∴点E表示的数为﹣1+t，
∵BF=BB′=×2t=t，点B表示﹣5，
∴点F表示的数为﹣5+t，
∵点E，F所表示的数互为相反数，
∴﹣1+t+（﹣5+t）=0，
解得t=4．
21．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，PQ=AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PM﹣BN的值．
【解答】解：（1）①8﹣（﹣2）=10，﹣2+×10=3，
故答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，
又PQ=AB=×10=5，
∴|5t﹣10|=5，
解得：t=1或3，
∴当t=1或3时，PQ=AB；
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴MP=AP=×3t=t，
BN=BP=（AP﹣AB）=×（3t﹣10）=2t﹣，
∴PM﹣BN=t﹣（2t﹣）=5．
22．阅读下面的材料：
如图①，若线段AB在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB=b﹣a
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度；
（2）若数轴上有一点D，且AD=4cm，则点D表示的数是什么？
（3）若将点A向右移动xcm，请用代数式表示移动后的点表示的数？
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动至点P1，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点P2，点P3，设移动时间为t秒，试探索：P3P2﹣P1P2的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【解答】解：（1）如图所示：
CA=4﹣（﹣1）=4+1=5（cm）；
（2）设D表示的数为a，
∵AD=4，
∴|﹣1﹣a|=4，
解得：a=﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
（4）P3P2﹣P1P2的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：P3P2=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，
P1P2=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，
∴P3P2﹣P1P2=（5+3t）﹣（2+3t）=3，
∴P3P2﹣P1P2的值不会随着t的变化而变化．
微信/支付宝扫码支付