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2017-2018学年山东省济宁市兖州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分
1．（3分）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（8，2）
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2
4．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x B．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
C．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2 D．a（m+n）=am+an
5．（3分）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
7．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠
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B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
9．（3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，5）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不再同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
10．（3分）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，共15分，要求只写出最后结果
11．（3分）当x= 时，分式的值为零．
12．（3分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
13．（3分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 ．
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15．（3分）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ．
三、简答题：本大题共7道小题，满分55分，解答应写出文字说明和推理步骤
16．（4分）计算（2017﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|
17．（4分）（x+7）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x+1）
18．（4分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
19．（6分）分解因式：
（1）x3﹣2x2y+xy2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
20．（7分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
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21．（6分）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
22．（7分）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
23．（8分）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
24．（9分）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；
（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台A种设备，航空运输每次运2台B种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分
1．（3分）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（8，2）
【解答】解：∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），
∴点B的坐标是（﹣2，﹣8），
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2
【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；
（B）原式=a5，故B错误；
（D）原式=a2b2，故D错误；
故选：C．
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4．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x B．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
C．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2 D．a（m+n）=am+an
【解答】解：A、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；
B、把多项式10x2﹣5x变形为5x与2x﹣1的积，是因式分解；
C、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；
D、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；
故选：B．
5．（3分）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．
故选：B．
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．
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故选：C．
7．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：将x=3代入﹣=2，
∴
解得：k=2，
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
设∠B=α，
则∠BDA=∠BAD=2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠B=36°，
故选：B．
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9．（3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，5）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不再同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，5）和（4，0），
∴B′点坐标为：（﹣4，0），AE=5，
则B′E=3，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=4，
∴点C′的坐标是（0，4），此时△ABC的周长最小．
故选：D．
10．（3分）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
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A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故选：B．
二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，共15分，要求只写出最后结果
11．（3分）当x= 5 时，分式的值为零．
【解答】解：由题意得：x﹣5=0且2x+3≠0，
解得：x=5，
故答案为：5．
12．（3分）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 4 ．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
13．（3分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ﹣10或10 ．
【解答】解：∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k=﹣10或10．
故答案为：﹣10或10．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 15 ．
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【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为×3×10=15．
故答案是：15．
15．（3分）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 0＜CD≤5 ．
【解答】解：当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，
当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，
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∴CD=BE=5，
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5．
三、简答题：本大题共7道小题，满分55分，解答应写出文字说明和推理步骤
16．（4分）计算（2017﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|
【解答】解：原式=1﹣4+2
=﹣1．
17．（4分）（x+7）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x+1）
【解答】解：（x+7）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x+1）
=x2﹣6x+7x﹣42﹣x2﹣x+2x+2
=2x﹣40．
18．（4分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
【解答】解：原式=•
=
当m=3时，
原式=3
19．（6分）分解因式：
（1）x3﹣2x2y+xy2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2，
=x（x2﹣2xy+y2）
=x（x﹣y）2；
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（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
=（x﹣y）（9a2﹣4b2）
=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
20．（7分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
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21．（6分）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
【解答】解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：
﹣=6，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
答：小芳的速度是50米/分钟．
22．（7分）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
故△ABC是等腰三角形．
（2）解：当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．
∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=60°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，
∴∠B=∠C=60°，
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∴△ABC是等边三角形．
23．（8分）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
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24．（9分）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；
（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台A种设备，航空运输每次运2台B种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数．
【解答】解：（1）设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元．
根据题意得： +=10，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴1.5x=6．
答：A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元．
（2）设A种设备生产a台，则B种设备生产（60﹣a）台．
根据题意得：，
解得：53≤a≤57．
∵a为整数，
∴a=53，54，55，56，57，
∴该公司有5种生产方案．
（3）设水路运输了m次，则航空运输（4﹣m）次，该公司赠送4m台A种设备，（8﹣2m）台B种设备，
根据题意得：6（a﹣4m）+10[60﹣a﹣（8﹣2m）]﹣4a﹣6（60﹣a）=44，
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整理得：a+2m﹣58=0，
解得：m=29﹣a．
∵53≤a≤57，0＜m＜4，且a、m均为正整数，
∴m=1或2．
当m=1时，a=56，
∴60﹣a=4，8﹣2m=6．
∵4＜6，
∴m=1不合适，舍去；
当m=2时，a=54，
∴60﹣a=6，8﹣2m=4．
∵6＞4，
∴m=2符合题意．
∴水路运输的次数为2次．
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