2018年广东省东莞市五校中考数学一模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年广东省东莞市塘厦中学等五校中考数学一模试卷 ‎　‎ 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（　　）‎ A．3.16×109 B．3.16×107 C．3.16×108 D．3.16×106‎ ‎2．（3分）下列各式不正确的是（　　）‎ A．|﹣2|=2 B．﹣2=﹣|﹣2| C．﹣（﹣2）=|﹣2| D．﹣|2|=|﹣2|‎ ‎3．（3分）数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（　　）‎ A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18‎ ‎4．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．5x﹣x=5 B．2x2+2x3=4x5 C．﹣n2﹣n2=﹣2n2 D．a2b﹣ab2=0‎ ‎6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）‎ A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4‎ ‎8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（　　）‎ A．100° B．110° C．115° D．120°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：‎ ‎①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．‎ 其中正确的结论是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．‎ ‎12．（4分）因式分解：9x2﹣4=　 　．‎ ‎13．（4分）方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=　 　．‎ ‎14．（4分）在一个不透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为　 　．‎ ‎15．（4分）不等式组的解集为　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．（4分）把正方形ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题共3题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．（6分）（1）计算：（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+‎ ‎（2）解方程：4x2+x﹣3=0．‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：，其中a=3．‎ ‎19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．‎ ‎（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题共3题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．（7分）企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）宣传小组抽取的捐款人数为　 　人，请补全条形统计图；‎ ‎（2）统计的捐款金额的中位数是　 　元；‎ ‎（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；‎ ‎（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．（7分）人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．‎ ‎（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？‎ ‎（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？‎ ‎22．（7分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，‎ ‎（1）求点C到直线AB的距离；‎ ‎（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题共3题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．（9分）如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∥x轴，点A的坐标为（2，3），BE⊥x轴，垂足为E．‎ ‎（1）确定k的值；‎ ‎（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；‎ ‎（3）计算△OAB的面积．‎ ‎24．（9分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD=DP，OB=3，求的长度；‎ ‎（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．‎ ‎25．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，连接BE、DE，‎ ‎（1）如图1，作EM⊥AB交AB于点M，当AE=时，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，作EG⊥BE交CD于点G，求证：BE=EG；‎ ‎（3）如图3，作EF⊥BC交BC于点F，设BF=x，△BEF的面积为y．当x取何值时，y取得最大值，最大值是多少？当△BEF的面积取得最大值时，在直线EF取点P，连接BP、PC，使得∠BPC=45°，求EP的长度．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年广东省东莞市塘厦中学等五校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（　　）‎ A．3.16×109 B．3.16×107 C．3.16×108 D．3.16×106‎ ‎【解答】解：316 000 000用科学记数法可表示为3.16×108，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列各式不正确的是（　　）‎ A．|﹣2|=2 B．﹣2=﹣|﹣2| C．﹣（﹣2）=|﹣2| D．﹣|2|=|﹣2|‎ ‎【解答】解：A、|﹣2|=2，正确；‎ B、﹣2=﹣|﹣2|，正确；‎ C、﹣（﹣2）=|﹣2|，正确；‎ D、﹣|2|=﹣2，|﹣2|=2，错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（　　）‎ A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18‎ ‎【解答】解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；‎ 数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、不是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．5x﹣x=5 B．2x2+2x3=4x5 C．﹣n2﹣n2=﹣2n2 D．a2b﹣ab2=0‎ ‎【解答】解：A、5x﹣x=4x，错误；‎ B、2x2与2x3不是同类项，不能合并，错误；‎ C、﹣n2﹣n2=﹣2n2，正确；‎ D、a2b与ab2不是同类项，不能合并，错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，AC=4，AB=5，‎ ‎∴BC==3，‎ ‎∴tanA==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）‎ A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4‎ ‎【解答】解：A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；‎ B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；‎ C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（　　）‎ A．100° B．110° C．115° D．120°‎ ‎【解答】解：连接AC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠AED=20°，‎ ‎∴∠ACD=20°，‎ ‎∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意知，函数关系为一次函数y=﹣2x+4，由k=﹣2＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，‎ 当y=0时，x=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：‎ ‎①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．‎ 其中正确的结论是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【解答】解：在△ABC与△AEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEF≌△ABC，‎ ‎∴AF=AC，∠AFE=∠C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠AFC=∠C，‎ ‎∴∠AFE=∠AFC；‎ 由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，‎ 可知△ADE∽△FDB；‎ 无法得到∠C=∠E；FD=FB．‎ 综上可知：②③正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　12　．‎ ‎【解答】解：多边形的边数：360°÷30°=12，‎ 则这个多边形的边数为12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）因式分解：9x2﹣4=　（3x﹣2）（3x+2）　．‎ ‎【解答】解：9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．‎ 故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=　1　．‎ ‎【解答】解：x2+2x﹣1=0，‎ x2+2x=1，‎ x2+2x+1=2，‎ ‎（x+1）2=2，‎ 则m=1；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）在一个不透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为　　．‎ ‎【解答】解：∵不透明的布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，共有10个球，‎ ‎∴从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）不等式组的解集为　2＜x≤3　．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①，得x＞2．‎ 解不等式②，得x≤3，‎ 故不等式组的解集为2＜x≤3．‎ 故答案为2＜x≤3．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）把正方形ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM=　　．‎ ‎【解答】解：由翻折的性质可知：BM=MC=1，AB=BF=2．‎ 在Rt△BFM中，由勾股定理可知：MF==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题（一）（本大题共3题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．（6分）（1）计算：（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+‎ ‎（2）解方程：4x2+x﹣3=0．‎ ‎【解答】解：（1）原式=2﹣6×﹣1+3=1；‎ ‎（2）分解因式得：（4x﹣3）（x+1）=0，‎ 解得：x=或x=﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）先化简，再求值：，其中a=3．‎ ‎【解答】解：当a=3时，‎ 原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．‎ ‎（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．‎ ‎【解答】（1）解：如图，DE为所作；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）证明：∵点D在AC的垂直平分线上，‎ ‎∴DA=DC，‎ ‎∴∠CAD=∠C=30°，‎ ‎∵∠DEA=∠BAC=90°，‎ ‎∴△ABC∽△EDA．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题共3题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．（7分）企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）宣传小组抽取的捐款人数为　50　人，请补全条形统计图；‎ ‎（2）统计的捐款金额的中位数是　150　元；‎ ‎（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；‎ ‎（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？‎ ‎【解答】解：（1）50，补全条形统计图，‎ 故答案为：50；‎ ‎（2）150，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：150；‎ ‎（3）×360°=72°．‎ ‎（4）（50×4+100×10+150×12+200×18+300×6）×500=84000（元）．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．‎ ‎（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？‎ ‎（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？‎ ‎【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣5）元/件，‎ 根据题意得： =，‎ 解得：x=50，‎ 经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，‎ ‎∴x﹣5=45．‎ 答：乙种牛奶的进价是50元/件，甲种牛奶的进价是45元/件．‎ ‎（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，‎ 根据题意得：（49﹣45）（3y﹣5）+（55﹣50）y=371，‎ 解得：y=23，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴3y﹣5=64．‎ 答：该商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，‎ ‎（1）求点C到直线AB的距离；‎ ‎（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．‎ 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，‎ ‎∴点C到直线AB距离CD=AC=40．‎ ‎（2）在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，‎ ‎∴BC=≈=50（海里），‎ ‎∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题共3题，每小题9分，共27分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．（9分）如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3），BE⊥x轴，垂足为E．‎ ‎（1）确定k的值；‎ ‎（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；‎ ‎（3）计算△OAB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（2，3）代入解析式y=，‎ 得：k=6； ‎ ‎（2）将D（3，m）代入反比例解析式y=，‎ 得：m==2，‎ ‎∴点D坐标为（3，2），‎ 设直线AD解析式为y=kx+b，‎ 将A（2，3）与D（3，2）代入 得：，‎ 解得：‎ 则直线AD解析式为y=﹣x+5； ‎ ‎（3）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∴CD∥BE，‎ ‎∴△OCD∽△OBE，‎ ‎∵C为OB的中点，即，‎ ‎∴CD==，‎ ‎∵C在双曲线y=上，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴C（4，），‎ ‎∴OD=4，OE=8，‎ ‎∴AB=8﹣2=6，‎ 得：S△AOB==9．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD=DP，OB=3，求的长度；‎ ‎（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图1，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAB=∠ADO，‎ ‎∵∠DAF=∠DAB，‎ ‎∴∠ADO=∠DAF，‎ ‎∴OD∥AF，‎ 又∵DF⊥AF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DF⊥OD，‎ ‎∴DF是⊙O的切线； ‎ ‎（2）∵AD=DP ‎∴∠P=∠DAF=∠DAB，‎ 而∠P+∠DAF+∠DAB=90°，‎ ‎∴∠P=30°，‎ ‎∴∠POD=60°，‎ ‎∴的长度==π；‎ ‎（3）解：连接DG，如图2，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴DE=CE=4，‎ ‎∴CD=DE+CE=8，‎ 设OD=OA=x，则OE=8﹣x，‎ 在Rt△ODE中，∵OE2+DE2=OD2，‎ ‎∴（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，‎ ‎∴CG=2OA=10，‎ ‎∵CG是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CDG=90°，‎ 在Rt△DCG中，DG==6，‎ 在Rt△DEG中，EG==2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎25．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，连接BE、DE，‎ ‎（1）如图1，作EM⊥AB交AB于点M，当AE=时，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，作EG⊥BE交CD于点G，求证：BE=EG；‎ ‎（3）如图3，作EF⊥BC交BC于点F，设BF=x，△BEF的面积为y．当x取何值时，y取得最大值，最大值是多少？当△BEF的面积取得最大值时，在直线EF取点P，连接BP、PC，使得∠BPC=45°，求EP的长度．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAC=45°，‎ ‎∵EM⊥AB，‎ ‎∴△AME是等腰直角三角形，‎ ‎∵AE=，‎ ‎∴AM=EM=1，（1分）‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴BM=3，‎ ‎∴BE=；（2分）‎ ‎（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=CD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵CE=CE，‎ ‎∴△BCE≌△DCE，‎ ‎∴BE=DE，∠CBE=∠CDE，（3分）‎ ‎∵EG⊥BE，∠BCD=90°，‎ ‎∴∠CBE+∠CGE=∠CGE+∠EGD=180°，‎ ‎∴∠CBE=∠EGD，（4分）‎ ‎∴∠EDG=∠EGD，‎ ‎∴EG=ED，‎ ‎∴EG=BE，（5分）‎ ‎（3）如图3，∵BF=x，BC=4，‎ ‎∴EF=CF=4﹣x，‎ ‎∴y=BF•EF=x（4﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当x=2时，y最大值=2；（7分）‎ 如图4，当x=2时，即F是BC的中点，E是AC的中点，‎ ‎∴BE⊥AC，即∠BEC=90°，‎ ‎∴以E为圆心，以BE为半径的圆与直线EF交于P，此时∠BPC=∠BEC=45°，‎ ‎∴EP=BE=2，（8分）‎ 同理在BC的下方还有一个点P'，满足∠BP'C=45°，‎ ‎∴EP'=P'F+EF=2+2+2=2+4．‎ 综上所述，EP的长度是2或2+4．（9分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费