2017 年江苏省无锡市梁溪区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（ 3 分）﹣5 的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．﹣
2．（ 3 分）点 P（3，﹣1）关于坐标原点对称点为（ ）
A．（ 3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣1，3） D．（﹣3，﹣1）
3．（ 3 分）下列运算正确的是（ ）
A．x3÷x2=x B．x3•x2=x6 C．x3﹣x2=x D．x3+x2=x5
4．（ 3 分）下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（ 3 分）已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 120°，则这个扇形的面积是（ ）
A．36πcm2 B．12πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
6．（ 3 分）如果一个多边形的内角和等于 1080°，那么这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（ 3 分）在“国际禁烟日”当天，某学习小组为了了解某社区 6000 个成年人中
大约有多少人吸烟，随机抽查了 200 个成年人，结果其中有 10 个成年人吸烟，
对于这个数据收集和处理问题，下列说法正确的是（ ）
A．调查的方式是普查
B．样本容量是 200
C．该小区只有 190 个成年人不吸烟
D．该小区一定有 300 人吸烟
8．（ 3 分）如图，⊙O 中，弦 CD⊥弦 AB 于 E，若∠B=60°，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．（ 3 分）已知正方形 ABCD，点 E 在线段 BC 上，且 BE=2CE，连接 AE，将△ABE
沿 AE 翻折，点 B 落在点 B1 处，则 tan∠DAB1 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（ 3 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A 出发，沿射
线 AD 移动，以 CE 为直径作⊙O，点 F 为⊙O 与射线 BD 的公共点，连接 EF，过
点 E 作 EG⊥EF，交⊙O 于点 G，当⊙O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，则在
运动过程中点 G 移动路程的长为（ ）
A．4cm B． cm C． cm D． cm
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
11．（ 2 分）分解因式：a2b﹣4ab= ．
12．（ 2 分）钓鱼岛周围海域面积约为 170000 平方千米，170000 用科学记数法表
示为 ．
13．（ 2 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 ．
14．（ 2 分）若点 A（1，m）在反比例函数 y= 的图象上，则 m 的值为 ．
15．（ 2 分）命题：“若 a=b，则 a2=b2”，写出它的逆命题： ．
16．（ 2 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，对角线 AC、BD 交于点
O，则图中共有全等三角形 对．
17．（ 2 分）已知一次函数 y=（2m﹣1）x﹣1+3m（m 为常数），当 x＜2 时，y＞0，
则 m 的取值范围为 ． 18．（ 2 分）如图，⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 外一点，OP=2，Q 是⊙O 上的动点，
线段 PQ 的中点为 M，连接 OP、OM，则线段 OM 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）
19．（ 8 分）计算
（1）3tan60°+（1﹣ ）0+ ；
（2）（ x+1）（ x﹣1）﹣2（x﹣1）2．
20．（ 8 分）（1）解方程：x2﹣4x+2=0；
（2）解不等式组 ．
21．（ 8 分）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，BE=CF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
22．（ 8 分）母亲节到了，小明准备为妈妈煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，
一个牛肉馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）分别用 A，B，C 表示芝麻馅、牛肉馅、花生馅的大汤圆，求妈妈吃前两个
汤圆刚好都是花生馅的概率（请用“画树状 图”或“列表”等方法，写出分析过程，
并给出结果）；
（2）若花生馅的大汤圆的个数为 n 个（n≥2），则妈妈吃前两个汤圆都是花生馅
的概率是 （请用含 n 的式子直接写出结果）
23．（ 8 分）某校开展“阳光体育”活动，决定开设乒乓球、篮球、跑步、跳绳这四
种运动项目，学生只能选择其中一种，为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查 ，并将调查结果绘制成两张不完整的统计图，请你结合图中
的信息解答下列问题：
（1）样本中喜欢篮球项目的人数百分比是 ；其所在扇形统计图中的圆心
角的度数是 ；
（2）把条形统计图补画完整并注明人数；
（3）已知该校有 1000 名学生，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？
24．（ 8 分）如图，已知⊙O 的半径为 5，直线 l 切⊙O 于 A，在直线 l 上取点 B，
AB=4．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点 B 作直线 m⊥l，交⊙O 于 C、D（点 D 在
点 C 的上方）；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求 BC 的长．
25．（ 8 分）为了改善教室空气环境，某校九年级 1 班班委会计划到朝阳花卉基
地购买绿植．已知该基地一盆绿萝与一盆吊兰的价格之和是 12 元．班委会决定
用 60 元购买绿萝，用 90 元购买吊兰，所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍．
（1）分别求出每盆绿萝和每盆吊兰的价格；
（2）该校九年级所有班级准备一起到该基地购买绿萝和吊兰共计 90 盆，其中绿
萝数量不超过吊兰数量的一半，该基地特地对吊兰价格给出了如下的优惠政策，
一次性购买的吊兰超过 20 盆时，超过部分的吊兰每盆的价格打 8 折，根据该基
地的优惠信息，九年级购买这两种绿植各多少盆时总费用最少？最少费用是多少
元？
26．（ 8 分）在平面直角坐标 系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为 A，与 x 轴交于 B，C 两点（点 B 在点 C 左侧），与 y 轴正半轴交于点 D，连接
AD 并延长交 x 轴于 E，连 AC、DC．S△DEC：S△AEC=3：4．
（1）求点 E 的坐标；
（2）△AEC 能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数表达式；若不能，
请说明理由．
27．（ 10 分）如图 1，等边△ABC 的边长为 3，分别以顶点 B、A、C 为圆心，BA
长为半径作 、 、 ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然
莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点 l 为对称轴的交点．
（1）如图 2，将这个图形的顶点 A 与线段 MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周
后点 A 与端点 N 重合，则线段 MN 的长为 ；
（2）如图 3，将这个图形的顶点 A 与等边△DEF 的顶点 D 重合，且 AB⊥DE，DE=2π，
将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形
在运动过程中所扫过的区域的面积；
（3）如图 4，将这个图形的顶点 B 与⊙O 的圆心 O 重合，⊙O 的半径为 3，将它
沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第 n 次回到起始位置时，点 I 所经过的路径
长为 （请用含 n 的式子表示）
28．（ 10 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点 P 在 AB 上，
AP=10cm，点 E 从点 P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从
点 P 出发沿线段 PB 以 1cm/s 的速度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿线段 AB 向点 B 运动，在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它
与△ABC 在线段 AB 的同侧，设点 E、F 运动的时间为 t（s）（ 0＜t＜20）．
（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值；
（2）设正方形 EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为 S．①试求 S 关于 t 的函数表达
式；②以点 C 为圆心， t 为半径作⊙C，当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此
时 S 的值．
2017 年江苏省无锡市梁溪区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（ 3 分）﹣5 的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D． ﹣
【解答】解：﹣5 的相反数是 5．
故选：A．
2．（ 3 分）点 P（3，﹣1）关于坐标原点对称点为（ ）
A．（ 3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣1，3） D．（﹣3，﹣1）
【解答】解：∵点 P（3，﹣1），
∴点 P 关于原点对称的点的坐标为（﹣3，1），
故选：B．
3．（ 3 分）下列运算正确的是（ ）
A．x3÷x2=x B．x3•x2=x6 C．x3﹣x2=x D．x3+x2=x5
【解答】解：A、原式=x，符合题意；
B、原式=x5，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故选：A．
4．（ 3 分）下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、此图形不是轴 对称图形，不合题意； B、此图形不是轴对称图形，不合题意；
C、此图形是轴对称图形，符合题意；
D、此图形不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
5．（ 3 分）已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 120°，则这个扇形的面积是（ ）
A．36πcm2 B．12πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
【解答】解：由题意得，n=120°，R=6，
故可得扇形的面积 S= = =12πcm2．
故选：B．
6．（ 3 分）如果一个多边形的内角和等于 1080°，那么这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设这个多边形的边数为 n，则
（n﹣2）×180°=1080°，
解得 n=8，
故这个多边形为八边形．
故选：B．
7．（ 3 分）在“国际禁烟日”当天，某学习小组为了了解某社区 6000 个成年人中
大约有多少人吸烟，随机抽查了 200 个成年人，结果其中有 10 个成年人吸烟，
对于这个数据收集和处理问题，下列说法正确的是（ ）
A．调查的方式是普查
B．样本容量是 200
C．该小区只有 190 个成年人不吸烟
D．该小区一定有 300 人吸烟
【解答】解：A、随机抽查了 200 个成年人是抽样调查，故 A 不符合题意；
B、样本容量是 200，故 B 符合题意；
C、该小区大约有 5700 个成年人不吸烟，故 C 不符合题意； D、该小区大约有 300 个成年人吸烟，故 D 不符合题意；
故选：B．
8．（ 3 分）如图，⊙O 中，弦 CD⊥弦 AB 于 E，若∠B=60°，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：∵弦 CD⊥弦 AB 于 E，
∴∠AED=90°，
∵∠D=∠B=60°，
∴∠A=90°﹣∠D=30°．
故选：A．
9．（ 3 分）已知正方形 ABCD，点 E 在线段 BC 上，且 BE=2CE，连接 AE，将△ABE
沿 AE 翻折，点 B 落在点 B1 处，则 tan∠DAB1 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设直线 AB1 与 DC 相交于点 M，AE 的延长线交 DC 的延长线
于 F，
∴△ABE∽△CEF，
∴ =2，
设正方形的边长=2a，
则 CF=a，
由题意翻折得：∠1=∠2，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF， 设 DM=x，则 CM=2a﹣x．
又 CF=a，
∴AM=MF=3a﹣x，
在 Rt△ADM 中，AD2+DM2=AM2，
∴（2a）2+x2=（3a﹣x）2，
∴x= ，
∴DM= ，
∴tan∠DAB1═ = = ；
故选：D．
10．（ 3 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A 出发，沿射
线 AD 移动，以 CE 为直径作⊙O，点 F 为⊙O 与射线 BD 的公共点，连接 EF，过
点 E 作 EG⊥EF，交⊙O 于点 G，当⊙O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，则在
运动过程中点 G 移动路程的长为（ ）
A．4cm B． cm C． cm D． cm
【解答】解：如图 1 中，连接 CF、CG、FG．
易知四边形 EFCG 是矩形，
∴EF=CG，
∴ = ， ∴∠CBG=∠ABD，
∴点 G 的在射线 BG 上，∠CBG 是定值，∠DBG=90°
如图 2 中，当⊙O 与 BD 相切时，F 与 B 重合，
由△BCG∽△BAD 时，可得 = ，
∴ = ，
∴BG= cm，
∴点 G 的运动路径的长为 cm，
故选：B．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
11．（ 2 分）分解因式：a2b﹣4ab= ab（a﹣4） ．
【解答】解：原式=ab（a﹣4）．
故答案为：ab（a﹣4）．
12．（ 2 分）钓鱼岛周围海域面积约为 170000 平方千米，170000 用科学记数法表
示为 1.7×105 ．
【解答】解：将 170000 用科学记数法表示为：1.7×105．
故答案为：1.7×105．
13．（ 2 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x≠3 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，
解得 x≠3．
故答案为：x≠3．
14．（ 2 分）若点 A（1，m）在反比例函数 y= 的图象上，则 m 的值为 3 ．
【解答】解：∵点 A（1，m）在反比例函数 y= 的图象上，
∴m= =3．
故答案为：3．
15．（ 2 分）命题：“若 a=b，则 a2=b2”，写出它的逆命题： 若 a2=b2，则 a=b ．
【解答】解：“若 a=b，则 a2=b2”的逆命题是“若 a2=b2，则 a=b”．
故答案为：若 a2=b2，则 a=b．
16．（ 2 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，对角线 AC、BD 交于点
O，则图中共有全等三角形 4 对．
【解答】解：∵在△ABD 和△CDB 中 ，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠BDC，
∵在△ABC 和△CDA 中 ，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC， ∵在△AOB 和△COD 中 ，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∵在△AOD 和△COB 中 ，
∴△AOD≌△COB（ASA），
故答案为：4．
17．（ 2 分）已知一次函数 y=（2m﹣1）x﹣1+3m（m 为常数），当 x＜2 时，y＞0，
则 m 的取值范围为 ≤m＜ ．
【解答】解：∵x＜2 时，y＞0，
∴2m﹣1＜0， ≥2，
∴ ≤m＜ ．
故答案为 ≤m＜ ．
18．（ 2 分）如图，⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 外一点，OP=2，Q 是⊙O 上的动点，
线段 PQ 的中点为 M，连接 OP、OM，则线段 OM 的最小值是 ．
【解答】解：设 OP 与⊙O 交于点 N，连结 MN，OQ，如图，
∵OP=2，ON=1，
∴N 是 OP 的中点，
∵M 为 PQ 的中点， ∴MN 为△POQ 的中位线，
∴MN= OQ= ×1= ，
∴点 M 在以 N 为圆心， 为半径的圆上，
当点 M 在 ON 上时，OM 最小，最小值为 ，
∴线段 OM 的最小值为 ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）
19．（ 8 分）计算
（1）3tan60°+（1﹣ ）0+ ；
（2）（ x+1）（ x﹣1）﹣2（x﹣1）2．
【解答】解：（1）原式=3 +2+2
=5 +1；
（2）原式=x2﹣1﹣2（x2﹣2x+1）
=﹣x2+4x﹣3．
20．（ 8 分）（1）解方程：x2﹣4x+2=0；
（2）解不等式组 ．
【解答】解：（1）x2﹣4 x=﹣2，
x2﹣4x+4=2，
（x﹣2）2=2，
x﹣2=± ， 所以 x1=2+ ，x2=2﹣ ；
（2）解①得 x＞2.5，
解②得 x≤4，
所以不等式组的解集为 2.5＜x≤4．
21．（ 8 分）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，BE=CF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【解答】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF；
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
22．（ 8 分）母亲节到了，小明准备为妈妈煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，
一个牛肉馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）分别用 A，B，C 表示芝麻馅、牛肉馅、花生馅的大汤圆，求妈妈吃前两个
汤圆刚好都是花生馅的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法，写出分析过程，并给出结果）；
（2）若花生馅的大汤圆的个数为 n 个（n≥2），则妈妈吃前两个汤圆都是花生馅
的概率是 （请用含 n 的式子直接写出结果）
【解答】解：（1）画树状图为：
，
共有 12 种等可能的结果数，其中妈妈吃前 两个汤圆刚好都是花生馅的结果数为
2，
所以妈妈吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率= = ；
（2）若花生馅的大汤圆的个数为 n 个（n≥2），则妈妈吃前两个汤圆都是花生馅
的概率= ．
故答案为 ．
23．（ 8 分）某校开展“阳光体育”活动，决定开设乒乓球、篮球、跑步、跳绳这四
种运动项目，学生只能选择其中一种，为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了
部分学生进行调查，并将调查结果绘制成两张不完整的统计图，请你结合图中的
信息解答下列问题：
（1）样本中喜欢篮球项目的人数百分比是 20% ；其所在扇形统计图中的圆
心角的度数是 72° ；
（2）把条形统计图补画完整并注明人数；
（3）已知该校有 1000 名学生，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？
【解答】解：（1）1﹣44%﹣8%﹣28%=20%，所在扇形统计图中的圆心角的度数是：360×20%=72°，
故答案为：20%，72°；
（2）调查的总人数是：44÷44%=100（人），
则喜欢篮球的人数是：100×20%=20（人），
；
（3）全校喜欢乒乓球的人数是 1000×4 4%=440（人）．
答：根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是 440 人．
24．（ 8 分）如图，已知⊙O 的半径为 5，直 线 l 切⊙O 于 A，在直线 l 上取点 B，
AB=4．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点 B 作直线 m⊥l，交⊙O 于 C、D（点 D 在
点 C 的上方）；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求 BC 的长．
【解答】解：（1）如图，CD 为所作；
（2）作 OH⊥CD 于 H，连接 OA、OD，如图， 则 DH=CH，
∵直线 l 切⊙O 于 A，
∴OA⊥l，
易得四边形 OABH 为正方形，
∴OH=AB=4，BH=OA=5，
在 Rt△ODH 中，DH= =3，
∴CH=3，
∴BC=BH﹣CH=5﹣3=2．
故答案为 2．
25．（ 8 分）为了改善教室空气环境，某校九年级 1 班班委会计划到朝阳花卉基
地购买绿植．已知该基地一盆绿萝与一盆吊兰的价格之和是 12 元．班委会决定
用 60 元购买绿萝，用 90 元购买吊兰，所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍．
（1）分别求出每盆绿萝和每盆吊兰的价格；
（2）该校九年级所有班级准备一起到该基地购买绿萝和吊兰共计 90 盆，其中绿
萝数量不超过吊兰数量的一半，该基地特地对吊兰价格给出了如下的优惠政策，
一次性购买的吊兰超过 20 盆时，超过部分的吊兰每盆的价格打 8 折，根据该基
地的优惠信息，九年级购买这两种绿植各多少盆时总费用最少？最少费用是多少
元？
【解答】解：（1）设每 盆绿萝 x 元，则每盆吊兰（12﹣x）元，根据题意得：
= ×2，
解得：x=3，
经检验 x=3 是方程的解，
则 12﹣x=12﹣3=9（元），
答：每盆绿萝是 3 元，每盆吊兰 9 元；
（2）设购买吊兰 x 盆，总费用 y 元，根据题意得：
90﹣x≤ x， 解得：x≥60，
则 y=20×9+9×0.8（x﹣20）+3（90﹣x）=4.2x+306，
∵4.2＞0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴当 x=60 时，y 取得最小值，最小值为 4.2×60+306=558，
∴购买吊兰 60 盆，绿萝 30 盆时，总费用最少，为 558 元．
26．（ 8 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y=mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点
为 A，与 x 轴交于 B，C 两点（点 B 在点 C 左侧），与 y 轴正半轴交于点 D，连接
AD 并延长交 x 轴于 E，连 AC、DC．S△DEC：S△AEC=3：4．
（1）求点 E 的坐标；
（2）△AEC 能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数表达式；若不能，
请说明理由．
【解答】解：（1）如图所示：设此抛物线对称轴与 x 轴交于点 F，
∴S△DEC：S△AEC=DO：AF=3：4，
∵DO∥AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴E O：EF=DO：AF=3：4，
∴EO：OF=3：1，
由 y=mx2﹣2mx+n（m＜0）得：A（1，n﹣m）， D（0，n），
∴OF=1，
∴EO=3，
∴E（﹣3，0）；
（2）∵DO：AF=3：4， ∴ = ，
∴n=﹣3m，
∴y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x2﹣2x﹣3）
=m（x﹣3）（ x+1），
∴B（﹣1，0）， C（3，0）， A（1，﹣4m），
由题意可知，AE，AC 不可能与 x 轴垂直，
∴若△AEC 为直角三角形，则∠EAC=90°，
又∵AF⊥EC，可得△EFA∽△AFC，
∴ = ，即 = ，
∵m＜0，
∴m=﹣ ，
∴二次函数解析式为：y=﹣ x2+ x+ ．
27．（ 10 分）如图 1，等边△ABC 的边长为 3，分别以顶点 B、A、C 为圆心，BA
长为半径作 、 、 ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然
莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点 l 为对称轴的交点．
（1）如图 2，将这个图形的顶点 A 与线段 MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周
后点 A 与端点 N 重合，则线段 MN 的长为 3π ；
（2）如图 3，将这个图形的顶点 A 与等边△DEF 的顶点 D 重合，且 AB⊥DE，DE=2π，
将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形
在运动过程中所扫过的区域的面积； （3）如图 4，将这个图形的顶点 B 与⊙O 的圆心 O 重合，⊙O 的半径为 3，将它
沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第 n 次回到起始位置时，点 I 所经过的路径
长为 2 nπ （请用含 n 的式子表示）
【解答】解：（1）∵等边△ABC 的边长为 3，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ，
∴ = = =π，
∴线段 MN 的长为 =3π，
故答案为：3π；
（2）如图 1，
∵等边△DEF 的边长为 2π，等边△ABC 的边长为 3，
∴S 矩形 AGHF=2π×3=6π，
由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，
∴∠BAG=120°，
∴S 扇形 BAG= =3π，
∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为 3（S 矩形 AGHF+S 扇形 BAG）=3（6π+3π）
=27π；
（3）如图 2，
连接 BI 并延长交 AC 于 D，
∵I 是△ABC 的重心也是内心， ∴∠DAI=30°，AD= AC= ，
∴OI=AI= = ，
∴当它第 1 次回到起始位置时，点 I 所经过的路径是以 O 为圆心，OI 为半径的圆
周，
∴当它第 n 次回到起始位置时，点 I 所经过的路径长为 n•2π• =2 nπ，
故答案为 2 nπ．
28．（ 10 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点 P 在 AB 上，
AP=10cm，点 E 从点 P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从
点 P 出发沿线段 PB 以 1cm/s 的速度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度
沿线段 AB 向点 B 运动，在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它
与△ABC 在线段 AB 的同侧，设点 E、F 运动的时间为 t（s）（ 0＜t＜20）．
（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为 S．①试求 S 关于 t 的函数表达
式；②以点 C 为圆心， t 为半径作⊙C，当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此
时 S 的值．
【解答】解：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意 AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，
t=2
如图 2 中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10，
综上所述，t=2s 或 10s 时，点 H 落在 AC 边上．
（2）①如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t）2=9t2
如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN，
S=（3t）2﹣ （5t﹣10）2=﹣ t2+50t﹣50．
如图 5 中，当 5＜t＜10 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（20﹣t）2﹣ （30
﹣3t）2=﹣ t2+50t﹣50．
如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
综上所述，S= ．
②如图 7 中，当 0＜t≤5 时， t+3t=15，解得 t= ，此时 S=100cm2，
当 5＜t＜20 时， t+20﹣t=15，解得 t=10，此时 S=100，
综上所述，当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值为 100cm2
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