第19章矩形、菱形与正方形
一、选择题
1.下列命题正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2.若菱形的两条对角线长分别为6和8, 则这个菱形的周长为( )
A. 20 B. 16 C. 12 D. 10
3.正方形具备而菱形不具备的性质是（）
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AB∥CD； ②AB=CD； ③OA=OC；④OB=OD； ⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．则下列各组组合中，不能推出四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. ①②④ B. ③④⑤ C. ①②⑤ D. ①②⑥
5.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A. （， 1） B. （﹣1，） C. （﹣， 1） D. （﹣， ﹣1）
6.已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形
7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.5
8.正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
9.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
10.如图，四边形ABCD为菱形，AB=5，BD=8，AE⊥CD于E，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A. 30 B. 34 C. 36 D. 40
12.如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于（ ）
A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135°
二、填空题
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________使其成为菱形（只填一个即可）．
14.如图，剪两张等宽对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．
15.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为________
16.已知正方形的周长是8 ，则对角线长是________．
17.如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为________．
18.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA ， 对角线AC与BD相交于点O ， 若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________
19.已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC=________度．
20.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，则DE的长度是________ （结果用根号表示）．
三、解答题
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，E、F是对角线AC上两点，满足AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
22.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，求OH的长？
23.如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件“∠DAB=∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
24.四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．
①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；
（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）
参考答案
一、选择题
D A C A C B B C D C B A
二、填空题
13. AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 14. 菱形 15. 3
16. 4 17. 105°
18. AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
19. 112.5 20.
三、解答题
21. 证明：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，
即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
22. 解：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=DC，AO=OC，
∵菱形的周长为28，
∴AB=7，
∵H为AD边的中点，
∴OH为△ABD的中位线，
∴OH=AB=×7=3.5．
23. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：上述结论还成立． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
24. （1）解：①补全图形如图1所示，
②结论：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延长NB交AP于H，交OP于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形OPMN是正方形，
∴OP=ON，∠PON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
，
∴△APO≌△BNO，
∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°，
∵∠7=∠6，
∴∠4+∠7=90°，
∴∠PHK=90°，
∴AP⊥BN．
（2）解：解题思路如下：
a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1，
c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．
d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，
可证，△OTP≌△NSM，
∴PT=MS= ，
∴CN=BN﹣BC= ﹣1，
∴SC=SN﹣CN=2﹣ ，
在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2 ，
∴MC的长可求．
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