2018年吉林省长春市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
3．（3分）下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
5．（3分）已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
7．（3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，若∠ACE=25°，∠BDE=15°，则圆心角∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
8．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ﹣1（填“＞”、“=”或“＜”）
10．（3分）某种商品n千克的售价是m元，则这种商品8千克的售价是 元．
11．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴有 个交点．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 ．
13．（3分）如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，则OA的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点D的函数y=（x＞0）的图象上，DA垂直x轴于点A，点C为线段AD的中心，延长线段OC交函数y=（x＞0）的图象于点E，EB垂直x轴于点B，若直角梯形ABEC的面积为1，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x=．
16．（6分）一个不透明的袋子中装有3个球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他均相同，小刚从袋中随机取出1个小球，记下标号后放回；再从袋中随机取出1个小球记下标号．请用画树状图（或列表）的方法，求小刚两次摸出的小球标号之和等于4的概率．
17．（6分）如图，AC是▱ABCD的对角线，以点C为圆心，CD长为半径作圆弧，交AC与点E，连结DE并延长交AB于点F，求证：AF=AE．
18．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，AB=．
（1）在图①、图②中，按要求各画一个△ABC，且两个三角形不全等．
要求：在网格中画出线段AC=，且点C在格点上，连结线段BC．
（2）直接写出上述操作后所构成的三角形中最小角的正切值．
19．（7分）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，求教学楼的高度AB．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】
20．（7分）近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某社区为了调查本社区居民对雾霾天气主要成因的认识情况，随机对该社区部分居民进行了问卷调查，要求居民从五个主要成因中只选择其中的一项，被调查居民都按要求填写了问卷．社区对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表．被调查居民选择各选项人数统计表
雾霾天气的主要成因
频数（人数）
（A）大气气压低，空气不流动
m
（B）地面灰尘大，空气湿度低
40
（C）汽车尾气排放
n
（D）工厂造成的污染
120
（E）其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m= ，n= ，扇形统计图中C选项所占的百分比为 ．
（2）若该社区居民约有6 000人，请估计其中会选择D选项的居民人数．
（3）对于“雾霾”这个环境问题，请你用简短的语言发出倡议．
21．（8分）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
22．（9分）甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的路程分别为y甲（km），y乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）乙车休息了 h．
（2）求乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当两车相距40km时，求x的值．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点AB坐标分别为（1，1）、（1，2），经过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为L．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．
（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．
24．（12分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
2018年吉林省长春市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为“﹣”，
故选：B．
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
【解答】解：将632000用科学记数法表示为：6.32×105．
故选：B．
3．（3分）下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、C、D经过折叠均能围成正方体，B折叠后上边没有面，不能折成正方体．
故选：B．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
【解答】解：，
解①得：x＞3，
解②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞3．
故选：C．
5．（3分）已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，
∴y的值随x的值增大而减小，
∴在0≤x≤5范围内，
x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3．
故选：B．
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠4=75°，
∴∠2+∠3=∠4，
∵∠1=75°，∠2=40°，
∴∠3=75°﹣40°=35°．
故选：C．
7．（3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，若∠ACE=25°，∠
BDE=15°，则圆心角∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．85° C．80° D．40°
【解答】解：连接OE，
∵∠ACE=25°，∠BDE=15°，
∴∠AOE=50°，∠BOE=30°，
∴∠AOB=80°．
故选：C．
8．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
【解答】解：由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°．
∵AB=AB1，∠BAB1=100°，
∴∠B=∠BB1A=40°．
∴∠AB1C1=40°．
∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ＜ ﹣1（填“＞”、“=”或“＜”）
【解答】解：|﹣|≈1.4，|﹣1|=1，
∵1.4＞1，
∴﹣＜﹣1．
故答案为：＜．
10．（3分）某种商品n千克的售价是m元，则这种商品8千克的售价是 元．
【解答】解：根据题意，得：，
故答案为：．
11．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴有 2 个交点．
【解答】解：∵△=32﹣4×2×（﹣2）=25＞0，
∴二次函数y=2x2+3x﹣2的图象与x轴有2个交点．
故答案为2．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 22 ．
【解答】解：∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，
∴BE=EC，BC=2BD=8；
又∵△ABE的周长为14，
∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；
故答案是：22．
13．（3分）如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，则OA的长为 10 ．
【解答】解：
连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO=90°，
∵∠A=∠B，
∴OA=OB，
∴AC=BC=AB=16=8，
∵OC=6，
∴由勾股定理得：OA===10，
故答案为：10．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点D的函数y=（x＞0）的图象上，DA垂直x轴于点A，点C为线段AD的中心，延长线段OC交函数y=（x＞0）的图象于点E，EB垂直x轴于点B，若直角梯形ABEC的面积为1，则k的值为 4 ．
【解答】解：∵S△OAD=S△OBE=k，
而S△OAD=S△OAC+S△ODC，S△OBE=S△OAC+S梯形ABEC，
∴S△ODC=S梯形ABEC=1，
∵C为AD的中点，
∴S△OAC=S△ODC，
∴S△OAD=2S△ODC=2，
∴k=2，
∴k=4．
故答案为4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x=．
【解答】解：÷（x﹣）
=÷
=
=，
当x=，原式=．
16．（6分）一个不透明的袋子中装有3个球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他均相同，小刚从袋中随机取出1个小球，记下标号后放回；再从袋中随机取出1个小球记下标号．请用画树状图（或列表）的方法，求小刚两次摸出的小球标号之和等于4的概率．
【解答】解：用下表列举所有可能：
第二次
第一次
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
∴P（小刚两次所记的数字之和等于4）==．
17．（6分）如图，AC是▱ABCD的对角线，以点C为圆心，CD长为半径作圆弧，交AC与点E，连结DE并延长交AB于点F，求证：AF=AE．
【解答】证明：由题可得，CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AFD=∠CDE，
∵∠AEF=∠CED，
∴∠AFD=∠AEF，
∴AE=AF．
18．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，AB=．
（1）在图①、图②中，按要求各画一个△ABC，且两个三角形不全等．
要求：在网格中画出线段AC=，且点C在格点上，连结线段BC．
（2）直接写出上述操作后所构成的三角形中最小角的正切值．
【解答】解：（1）如图所示：AC即为所求；
（2）如图①：tanB=，
如图②：tanB=．
19．（7分）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，求教学楼的高度AB．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】
【解答】解：过A作AF⊥CD于点F，
∴DE∥AF，CD=31米，BC=16米，AB=CF，AF=BC=16米，
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，
tan∠DAF=，
∴DF=AF•tan∠DAF=16×0.81=12.96（米），
∴AB=CF=DC﹣DF=31﹣12.96=18.04≈18.0（米）．
答：教学楼的高度AB约为18.0米．
20．（7分）近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某社区为了调查本社区居民对雾霾天气主要成因的认识情况，随机对该社区部分居民进行了问卷调查，要求居民从五个主要成因中只选择其中的一项，被调查居民都按要求填写了问卷．社区对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表．被调查居民选择各选项人数统计表
雾霾天气的主要成因
频数（人数）
（A）大气气压低，空气不流动
m
（B）地面灰尘大，空气湿度低
40
（C）汽车尾气排放
n
（D）工厂造成的污染
120
（E）其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m= 80 ，n= 100 ，扇形统计图中C选项所占的百分比为 25% ．
（2）若该社区居民约有6 000人，请估计其中会选择D选项的居民人数．
（3）对于“雾霾”这个环境问题，请你用简短的语言发出倡议．
【解答】解：（1）根据题意，本次调查的总人数为40÷10%=400（人），
∴m=400×20%=80，n=400﹣（80+40+120+60）=100，
则扇形统计图中C选项所占的百分比为×100%=25%，
故答案为：80，100，25%；
（2）6000×=1800（人），
答：会选择D选项的居民人数约为1800人；
（3）根据所抽取样本中持C、D两种观点的人数占总人数的比例较大，
所以倡议今后的环境改善中严格控制工厂的污染排放，同时市民多乘坐公共汽车，减少私家车出行的次数．
21．（8分）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= 3 ．
【解答】证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
解：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ=BC=3，
故答案为：3．
22．（9分）甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的路程分别为y甲（km），y乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）乙车休息了 0.5 h．
（2）求乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当两车相距40km时，求x的值．
【解答】解：（1）设甲车与B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y=kx+b，
可得：，
解得：．
所以函数解析式为：y=﹣80x+400；
把y=200代入y=﹣80x+400中，可得：200=﹣80x+400，
解得：x=2.5，
所以乙车休息的时间为：2.5﹣2=0.5小时；
故答案为：0.5；
（2）设乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式为：y乙=k1x+b1，
y乙=k1x+b1图象过点（2.5，200），（5，400），
得，
解得，
乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式y乙=80x；
（3）设乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式y乙=kx，图象过点（2，200），
解得k=100，
∴乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式y乙=100x，
0≤x＜2.5，y甲减y乙等于40千米，
即400﹣80x﹣100x=40，解得 x=2；
2.5≤x≤5时，y乙减y甲等于40千米，
即2.5≤x≤5时，80x﹣（﹣80x+400）=40，解得x=，
综上所述：x=2或x=．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点AB坐标分别为（1，1）、（1，2），经过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为L．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．
（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵B（1，2），BC⊥y轴于C，
∴C（0，2），将点A（1，1），C（0，2）代入y=x2+bx+c中，
得到：b=﹣2，c=2．
∴抛物线所对应的函数表达式为：y=x2﹣2x+2；
（2）∵PE∥y轴，矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分，
∴P、F点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵F点的横坐标为0，
∴m=2；
（3）∵点P的横坐标为m，点P为第一象限内抛物线上的点且不与点A重合，
∴P（m，m2﹣2m+2）（m＞0，且m≠1）．
∵四边形ABCD为正方形，且A（1，1），
∴D（0，1），B（1，2），F（0，m2﹣2m+2），
∴PF=m，FD=m2﹣2m+2﹣1=m2﹣2m+1，
根据点P在点A的左右不同分两种情况（如图1）：
当0＜m＜1时，L=2×（PF+FD）=2×（m+m2﹣2m+1）=2m2﹣2m+2；
当1＜m＜2时，L=2×（AD+FD）=2×（1+m2﹣2m+1）=2m2﹣4m+4．
（4）连接BD，如图2所示．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
将D（0，1）、B（1，2）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线BD的解析式为y=x+1．
联立直线BD与抛物线解析式得：，
解得：或（舍去）．
当0＜m＜时，若要△FDQ为等腰直角三角形，
只需FD=DQ=2PF，即m2﹣2m+1=2m，
解得：m=2﹣或m=2+（舍去），
∴∠FQD=90°，此时，△FDQ为等腰直角三角形；
当≤m＜1时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ为等腰直角三角形；
当1＜m≤2时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ为等腰直角三角形；
当m＞2时，线段BD与矩形PFOE的边只有一个交点D，没有点Q，
∴不存在△FDQ．
综上可知：当△FDQ为等腰直角三角形时，m的取值范围为≤m＜1和1＜m≤2或m=2﹣．
24．（12分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，
∵PE∥AB，
∴=，
∴=，
解得x=，
∴PE=，CE=4﹣=，
∴PC==，
∴t==s；
（3）①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．
∵PC=5t，则HC=4t，PH=3t，
在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（3t）2+（4﹣4t）2=25t2﹣32t+16．
∴S=PB2=t2﹣16t+8．
②如图3中，当1＜t＜时，
∵PB=8﹣5t，
∴S=PB2=t2﹣40t+32．
综上所述，S=；
（4）①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．
②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．
③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．
易知EB平分∠ABC，
∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形内切圆半径公式），
∴PB=2OB=2，
∴AP=1，
∴t=s，
综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 s 或1s或 s；
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