期末专题复习：浙教版九年级数学上册 第四章 相似三角形 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A. 32 B. 8 C. 4 D. 16
3.在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（ ）
A. 1:20 B. 1：20000 C. 1：200000 D. 1：2000000
4.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB： FG=2 ：3，则下列结论正确的是( )
A. 2DE=3MN B. 3DE=2MN C. 3∠A=2∠F D. 2∠A=3∠F
5.如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（ ）
A. 5：7 B. 3：5 C. 2：3 D. 2：5
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若 ADDB = 32 ，则 AEAC 的值等于（ ）
A.32 B.3 C.23 D.35
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7.已知，直角坐标系中，点E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点 的坐标为（ ）
A. （2，-1）或（-2，1） B. （8，-4）或（-8，4） C. （2，-1） D. （8，-4）
8.如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A. 两个三角形是位似图形 B. 点A是两个三角形的位似中心
C. AE︰AD是位似比 D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点
9.如图，▱ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2 ， 则S△CBF等于( )
A. 12 cm2 B. 24 cm2 C. 54 cm2 D. 15 cm2
10.如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ）
A. 385 B. 2813 C. 285 D. 4813
二、填空题（共10题；共30分）
11.两个相似三角形的周长的比为 23 ，它们的面积的比为________．
12.如图，点 P 在 ΔABC 的边 AC 上，请你添加一个条件，使得 ΔAPB ∽ ΔABC ,这个条件可以是 ________.
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13.如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=________ ．
14.如图，点 D 为 △ABC 的 AB 边上一点， AD=2 ， DB=3 .若 ∠B=∠ACD ，则 AC= ________.
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若 SΔDEC=3 ，则 SΔBCF= ________．
16.如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________ s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．
17.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么FGAG=________ ．
18.已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB="3" , BF⊥BP，垂足是点B, 若在射线BF上找一点M，使以点B, M, C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为________ .
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19.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝________ ．
20.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=________．
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ， ∠BAD=∠CAE ， 求证：△ABC∽△ADE ．
22.如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1 ， 请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2 ， 使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2 ．
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23.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
24.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
25.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想 BCDE 可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
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26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC
方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
27.如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
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28.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=42．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．
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答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】4：9
12.【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
13.【答案】203
14.【答案】10
15.【答案】1
16.【答案】34
17.【答案】14
18.【答案】3或163
19.【答案】13
20.【答案】65 或 43
三、解答题
21.【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE ， 即∠DAE=∠BAC ．
又∵∠B=∠D ，
∴△ABC∽△ADE ．
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22.【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1 ， 即为所求，点B1的坐标为：（5，5）
（2）解：如图所示：△A2B2C2
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
即四边形AFGE为正方形．
∴ AFAB ＝ FGBC ＝ GECD ＝ AEAD ，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
24.【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
①当CP与CA是对应边时， CPAC=CQBC ，
即 8-x8=2x16 ，
解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， CPBC=CQAC ，
即 8-x16=2x8 ，
解得x= 85 秒；
故经过4或 85 秒，两个三角形相似
25.【答案】解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE，
∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC，
又∵∠DAE=∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA，
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∴ BECD = AEAD ，
即BE·AD=CD·AE；
②猜想 BCDE = ACAD 或（ ABAE ），
由△BEA∽△CDA可知， ABAC = AEAD ，即 ABAE = ACAD ，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△BAC∽△EAD，
∴ BCDE = ACAD 或（ ABAE ）
26.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜32）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则 DEEG=ACBC或 DEEG=BCAC，
∴3-2t2=34或 3-2t2=43，
∴t=34或t= 16；
当AD＞AE（即t＞32）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则 DEEG=ACBC或 DEEG=BCAC，
∴2t-32=34或 2t-32=43，
解得t=94或t=176；
综上所述，当t=34或 16或 94或 176时，△DEG与△ACB相似．
27.【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
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∴∠ODA=∠OAD，
∵AD∥OC，
∴∠OAD=∠COD，∠ODA=∠COD，
∴∠COD=∠BOC，
在△COD和△BOC中： {OC=OC∠COD=∠COBOD=OB ，
∴△COD≌△BOC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵△COD≌△COB，∴BC=CD，
∵DE=2BC，
∴DE=2CD，
∵AD∥OC，
∴△DAE∽△COE，
∴AD：OC=ED：AC=2：3．
28.【答案】解：（1）当0＜t≤4时，S=14t2 ， 当4＜t≤163时，S=-34t2+8t-16，当163＜t＜8时，S=34t2-12t+48；
（2）存在，
理由：当点D在线段AB上时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=45°．
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∴∠BDP=45°，
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=12BC=4，AH=BH=4，
∴PH=BH-BP=4-t，
在Rt△APH中，AP=AH2+PH2=t2-8t+32；
（ⅰ）若AP=PQ，则有t2-8t+32=2t．
解得：t1=47-43，t2=-47-43（不合题意，舍去）；
（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图（1），
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∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP，
∴PGAH=PQAP，即PG4=2tt2-8t+32，
∴PG=8tt2-8t+32，
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=12AP，
即8tt2-8t+32=12t2-8t+32．
解得：t1=12-47，t2=12+47（不合题意，舍去）；
（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图（2），
易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=12PQ，
即4=12×2t．解得t=4．
当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．
综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1=47-43秒或t2=（12-47）秒；
（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵等腰直角三角形PQE，
∴∠EPQ=45°，
∵
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等腰直角三角形PQF，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，
连接AP，如图（3），
∵此时t=4秒，
∴BP=4×1=4=12BC，
∴点P为BC的中点．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=12BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=12∠BAC=45°，
∴∠APC=90°，∠C=45°，
∴∠C=∠BAP=45°，
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM，
∴△CPN≌△APM，
∴S△CPN=S△APM ，
∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=12×CP×AP=12×4×4=8．
∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．
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