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2018秋高三期中考试试卷(一)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2018．11
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设集合A＝{x|x是小于4的偶数}，B＝{－3，1，2，4}，则A∩B＝________．
2. 命题“∀x＞0，x2≥0”的否定为______________．
3. 若复数z＝(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则a＝________．
4. 函数y＝log7(x2－4x＋3)的定义域为________．
5. (文)点M(－3，4)到直线l：x－y＋3＝0的距离为________．
(理)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝45°，C＝75°，a＝1，则b＝________．
6. (文)经过点P(1，2)，且与直线3x＋4y－100＝0垂直的直线的方程是________．
(理)已知函数f(x)＝a＋是奇函数，则f(－1)＋f(0)＝________．
7. (文)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f(2)的取值范围是________．
(理)已知e为自然对数的底数，函数y＝ex－ln x在[1，e]上的最小值为________．
8. (文)已知向量a与b，满足|a|＝1，|b|＝，a⊥(a－b)，则向量a与b的夹角为________．
(理)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f(2)的取值范围是________．
9. (文)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn.若a1＋a4＋a7＝0，则的值为________．
(理)将函数y＝5sin(2x＋)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度后，所得函数图象关于直线x＝对称，则φ＝________．
10. 在△ABC中，已知(tan A＋1)(tan B＋1)＝2，则cos C＝________．
11. 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则＋的最小值为________．
12. 已知函数f(x)＝x(2x－2－x)，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集为________．
13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tan A＋tan B)＝＋，则cos C的最小值为________．
14. 已知函数f(x)＝若函数y＝2f2(x)＋3mf(x)＋1－2m有6个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1) 求角C的值；
(2) 若sin(B－)＝，求cos A的值．
16. (本小题满分14分)
已知k∈R，函数f(x)＝x2＋(1－k)x＋2－k.
(1) 解关于x的不等式f(x)＜2；
(2) 对任意x∈(－1，2)，f(x)≥1恒成立，求实数k的取值范围．
17. (本小题满分14分)
(文)如图，已知点A(1，1)，B(－1，1)，过点A作直线l，使得直线l与y轴正半轴交于点C，与射线BO交于点D.
(1) 若直线l的斜率为－3，
① 求·的值；
② 若＝λ＋μ，求实数λ－μ的值；
(2) 求△OCD面积的最小值及此时直线l的方程．
(理)已知函数f(x)＝logax＋log4x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数f(x)的定义域为[m，n]，值域为？如果存在，求出所有的m，n；如果不存在，请说明理由．
18. (本小题满分16分)
如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2.
(1) 求S关于θ的函数关系式；
(2) 求S的最小值．
19. (本小题满分16分)
(文)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n，n∈N*，记bn＝an＋3.
(1) 求证：数列{bn}为等比数列；
(2) 设数列{b}的前n项和为Tn，求证：为定值；
(3) 判断数列{2n－an}中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．
(1) 若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2) 若对任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)＜m在x∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围；
(3) 若f(x)在x＝x0处取得极小值，且x0∈(0，3)，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，g(x)＝mx2，m∈R，e为自然对数的底数．
(1) 如果函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求m的取值范围；
(2) 若直线y＝kx＋1是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数k的值；
(3) 设x1，x2∈R，且x1＜x2，求证：＞.
2018秋高三期中考试试卷(一)
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. (本小题满分10分)
求曲线y＝ln(x2－2x)在x＝3处的切线方程．
22.(本小题满分10分)
已知n为自然数，当n≥4时，用数学归纳法证明：2n＞.
23. (本小题满分10分)
已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
(1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和；
(2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．
24.(本小题满分10分)
高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.
(1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率；
(2) 求ξ的分布列和数学期望．
2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)
数学参考答案及评分标准
1. {2} 2. ∃x＞0，x2＜0 3. 2 4. (－∞，1)∪(3，＋∞) 5. (文)2 (理)
6. (文)4x－3y＋2＝0 (理) 7. (文)[12，＋∞) (理)e 8. (文) (理)[12，＋∞)
9. (文)－ (理) 10. － 11. 12. (0，)∪(100，＋∞) 13. 14. m＜－3
15. 解：(1) 在△ABC中，因为＝，由＝得(1分)
＝，(2分)
所以cos C＝.(4分)
又C∈(0，π)，(5分)
所以C＝.(6分)
(2) 因为C＝，B∈(0，)，B－∈(－，)，则cos(B－)＞0.(8分)
又sin(B－)＝，则cos(B－)＝＝＝.(10分)
又A＋B＝，即A＝－B，
所以cos A＝cos(－B)＝cos(12分)
＝cos·cos(B－)＋sin·sin(B－)＝×＋×＝.(14分)
16. 解：(1) 由f(x)＜2得不等式可变形为(x－k)(x＋1)＜0，(1分)
① 若k＝－1，则(x＋1)2＜0，解集为∅；(3分)
② 若k＞－1，解集为(－1，k)；(5分)
③ 若k＜－1，解集为(k，－1)．(7分)
(2) 由对任意x∈(－1，2)，f(x)≥1恒成立，即x2＋(1－k)x＋1－k≥0恒成立，
即x2＋x＋1≥k(x＋1)，对任意x∈(－1，2)恒成立，(8分)
k≤＝(x＋1)＋－1.(10分)
因为(x＋1)＋－1≥2－1＝2－1＝1.(12分)
当x＋1＝，即x＝0∈(－1，2)时，(13分)
＝1，故实数k的取值范围是(－∞，1]．(14分)
17. (文)解：(1) 因为直线l过A(1，1)，且斜率为－3，
所以直线l：y－1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋4.(1分)
令x＝0得C(0，4)；令y＝－x得D(2，－2)．(2分)
① 因为＝(1，1)，＝(1，3)，所以·＝1×1＋1×3＝4.(4分)
② 因为＝λ＋μ，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分)
即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分)
所以λ－μ＝3.(7分)
(2) 由图中两直线相交位置可得，直线l的斜率k存在，且k＜－1，(8分)
设直线l：y－1＝k(x－1)．
令x＝0得C(0，1－k)；令y＝－x得D(，)．(9分)
则S△OCD＝OC·|xD|＝·(10分)
＝≥＝4，(13分)
当且仅当－k－1＝，即k＝－3∈(－∞，－1)时，(S△OCD)min＝4.
此时直线l：y＝－3x＋4.(14分)
(理)解：(1) (解法1)因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
则f′(x)＝＋＝(＋)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分)
则＋≥0，≤0，解得a＞1或0＜a≤.(4分)
又当a＝时，f(x)＝0为常数函数，不合题意．(5分)
所以a＞1或0＜a＜.(6分)
(解法2)因为f(x)＝logax＋log4x＝＋log4x＝log4x(＋1)，(2分)
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则＋1＞0，即＞0，
所以log4a＜－1或log4a＞0，(4分)
即a＞1或0＜a＜.(6分)
(2) 当a＝4时，f(x)＝2log4x在(0，＋∞)上为增函数．(7分)
因为函数f(x)在定义域为[m，n]，值域为，
则有f(m)＝2log4m＝，f(n)＝2log4n＝，
所以m，n为方程log2x＝在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分)
显然m＝2，n＝4符合方程．(11分)
令h(x)＝log2x－，由h′(x)＝－＝＝0，得x＝.(12分)
当x∈(0，)时，h′(x)＞0，h(x)为增函数，在(0，)上至多有一个零点；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)为减函数，在(，＋∞)上至多有一个零点．
所以h(x)＝log2x－至多只有两个实数解．(13分)
故存在唯一正实数m＝2，n＝4符合题意．(14分)
18. 解：(1) 在△ABE中，∠ABE＝θ，∠A＝，则∠AEB＝－θ.
由＝，得BE＝.(2分)
在△BCF中∠C＝，∠CBF＝－θ，则∠BCF＝＋θ.
同理可得，BF＝.(4分)
则S＝BE·BF＝.(7分)
(2) 设f(θ)＝cos θ·sin(－θ)＝cos θ·(sincos θ－cossin θ)
＝cos2θ＋sin θcos θ＝·＋sin 2θ＝＋sin(2θ＋)．(11分)
因为＋θ＜，所以θ∈(0，)．(12分)
则当θ＝时，f(θ)max＝，则Smin＝＝60 000(2－)．(14分)
答：(1) 函数关系式为S＝；
(2) 当θ＝时，面积S的最小值为60 000(2－)m2.(16分)
19. (文)(1) 证明：因为Sn＝2an－3n ①，当n＝1时，a1＝2a1－3，则a1＝3.
当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－3(n－1) ②，
①－②得an＝2an－2an－1－3n＋3(n－1)，即an＝2an－1＋3，(2分)
则an＋3＝2(an－1＋3)，即bn＝2bn－1，又b1＝a1＋3＝6≠0，(3分)
所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分)
(2) 证明：由(1)知bn＝6×2n－1＝3×2n，an＋3＝bn＝3×2n，则有an＝3×2n－3.
同时b＝9×4n，即数列{b}是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分)
得Tn＝＝12(4n－1)．(6分)
因为Sn＝2an－3n，所以S2n＝2a2n－6n＝6(4n－1)－6n，(8分)
则＝＝为定值．(10分)
(3) 解：令cn＝2n－an＝3－2n，若存在m＜p＜n，使得cm，cp，cn成等差数列，
则cp－cm＝cn－cp，2cp＝cm＋cn，即2·2n＝2m＋2p (*)．(12分)
等式两边同时除以2m得2n＋1－m＝1＋2p－m.
因为m＜p＜n，所以n＋1－m，p－m均为正整数，(14分)
故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立．
故数列{2n－an}中不存在三项成等差数列．(16分)
(理)解：(1) (解法1)因为函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)对一切实数恒成立，
即x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a＝－[(－x)3＋3a(－x)2＋(3－6a)(－x)＋12a]，
即6a(x2＋4)＝0对一切实数x恒成立，(2分)
所以a＝0.(3分)
(解法2)因为函数f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，
所以f(0)＝0，得a＝0.(1分)
此时f(x)＝x3＋3x，f(－x)＝(－x)3＋3(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故a＝0.(3分)
(2) f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a＝a(3x2－6x＋12)＋x3＋3x.
设函数g(a)＝(3x2－6x＋12)a＋x3＋3x，
因为3x2－6x＋12＝3(x－1)2＋9＞0，所以函数g(a)在[－1，1]上单调递增．
令h(x)＝g(a)max＝g(1)＝x3＋3x2－3x＋12，(5分)
由h′(x)＝3x2＋6x－3＝3[x＋(1＋)][x－(－1)]，令h′(x)＝0得x＝－1.
当x∈(－1，－1)时，h′(x)＜0，函数h(x)为减函数；
当x∈(－1，1)时，h′(x)＞0，函数g(x)为增函数．(7分)
而h(1)＝13，h(－1)＝17，所以h(x)max＝17，则m＞17.(8分)
(3) 因为f(x)在x＝x0∈(0，3)处取得极小值 (*)，
则令f′(x)＝3[x2＋2ax＋(1－2a)]＝0，令s(x)＝x2＋2ax＋(1－2a) ①.
则方程①有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，
所以Δ＝4a2－4(1－2a)＞0，解得a＞－1＋或a＜－1－ ②.(9分)
设s(x)＝(x－x1)(x－x2)，则f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．
当x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
所以f(x)的极小值在较大根x2处取得，令x2＝x0∈(0，3)．(10分)
(解法1)1° 当x1＜0，x0∈(0，3)时，
因为x1＜0＜x0＜3，则s(0)＝x1x0＝1－2a＜0，s(3)＝(3－x1)(3－x0)＝10＋4a＞0，
解得a＞.(11分)
反之，当a＞时，Δ＝4a2－4(1－2a)＞0，方程①有两个实根x1，x0；
且满足s(0)＝1－2a＜0，s(3)＝10＋4a＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x0；
又s(0)＝x1x0＝1－2a＜0，而x0＞0，所以x1＜0.
所以满足条件(*)．此时a＞ ③.(12分)
2° 当x1，x0∈(0，3)时，s(x)的对称轴为x＝－a＝∈(0，3) ④，
s(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，3)上为增函数．
因为0＜x1＜－a＜x0＜3，所以s(0)＝1－2a＞s(x1)＝0，s(3)＝10＋4a＞s(x0)＝0.
结合②④，解得－＜a＜－1－.(13分)
反之，当－＜a＜－1－时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x1，x0.
又1＋＜－a＜，所以对称轴x＝－a∈(0，3)，而函数s(x)min＝s(－a)＜0，
因为s(x)在(0，－a)上为减函数，且s(0)＝1－2a＞0，则s(x)在(0，－a)上必有一根x1；
s(x)在(－a，3)上为增函数，且s(3)＝10＋4a＞0，则s(x)在(－a，3)上必有一根x0，
显然x1＜x0.所以满足条件(*)．此时－＜a＜－1－ ⑤.(14分)
3° 当方程有一根分别为0时，此时s(x)的两根分别为－1，0，不合题意．(15分)
综上，由③⑤得－＜a＜－1－或a＞.(16分)
(解法2)此时方程s(x)＝0有两个实根x1，x0，x1＜x0，
则x1＝－a－＜x0＝－a＋，(12分)
则0＜－a＋＜3，即a＜＜3＋a ⑥.
1° 当a＞－1＋时，⑥平方得a2＜a2＋2a－1＜(3＋a)2，解得a＞.(13分)
2° 当a＜－1－时，a＜恒成立．
由＜3＋a，平方解得－＜a＜－1－.(15分)
综上，由1°，2°可得a＞或－＜a＜－1－.(16分)
20. (1) 解：因为h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－mx2在(0，＋∞)上为增函数，
则h′(x)＝ex－2mx≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≤恒成立．(2分)
设函数k(x)＝，x∈(0，＋∞)，则k′(x)＝＝0，得x＝1.
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
k′(x)
—
0
＋
k(x)
所以k(x)min＝k(1)＝e，所以m≤.(4分)
(2) 解：设切点为(x0，ex0)．因为f′(x)＝ex，所以ex0＝k，ex0＝kx0＋1，(6分)
所以ex0(x0－1)＋1＝0.令l(x)＝ex(x－1)＋1，l′(x)＝ex·x＝0，得x＝0.
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
l′(x)
—
0
＋
l(x)
所以l(x)min＝l(0)＝0，所以x0＝0，所以k＝1.(8分)
(3) 证明：因为f(x)＝ex在(－∞，＋∞)上单调递增，且x2－x1＞0，ex2－ex1＞0，(9分)
所以＞⇔＞⇔＞
⇔(x2－x1)＞⇔(x2－x1)＞1－ (*)．(12分)
令x2－x1＝t＞0，F(t)＝＋－1，F′(t)＝－＝.(14分)
因为t＞0，所以F′(t)＞0，所以F(t)在(0，＋∞)上单调递增，
所以F(t)＞F(0)＝0，(*)式成立，则＞.(16分)
2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)
数学附加题参考答案及评分标准
21. 解：y′＝(x2－2x)′＝，(4分)
则切线在x＝3处的斜率k＝＝.(6分)
当x＝3时，y＝ln 3，(8分)
则切线方程为y－ln 3＝(x－3)，即4x－3y－12＋3ln 3＝0.(10分)
22. 证明：① 当n＝4时，24＝16＞＝15，则结论成立．(2分)
② 假设当n＝k(k≥4)时，满足2k＞，(4分)
则当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＞2×＝.(6分)
因为k≥4，
则－＝＞0，
所以＞.(8分)
即当n＝k＋1时，有2n＞成立．(9分)
综合①②，当n≥4，n∈N时，有2n＞.(10分)
23. 解：(1) 记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019x2 019.
令x＝－1，得f(－1)＝a0＋a1(－1)＋a2(－1)2＋…＋a2 019(－1)2 019＝－1，
即a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 018－a2 019＝－1 ①.(2分)
令x＝1，得f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝22 018＋32 019，
即a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分)
由①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2 018)＝－1＋22 018＋32 019，
则a0＋a2＋…＋a2 018＝(22 018＋32 019－1)．(6分)
(2) 根据题意得C＋2C＝11，则m＋2n＝11，(7分)
则x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)(8分)
＝＋(11－m)(－1)＝(m－)2＋.(9分)
因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(10分)
24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A，B，C，
对应的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，P(C)＝z.(1分)
因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，
则P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＝x(1－y)(1－z)＝0.08 ①；(2分)
因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，
则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝xy(1－z)＝0.12 ②；(3分)
因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88，
则P(A＋B＋C)＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88 ③.(4分)
由①②③，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5.
答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分)
(2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分)
P(ξ＝－3)＝(1－x)(1－y)(1－z)＝0.12，
P(ξ＝0)＝x(1－y)(1－z)＋(1－x)y(1－z)＋(1－x)(1－y)z＝0.38，
P(ξ＝3)＝xy(1－z)＋x(1－y)z＋(1－x)yz＝0.38，
P(ξ＝6)＝xyz＝0.12.(8分)
ξ的分布列为
ξ
－3
0
3
6
P
0.12
0.38
0.38
0.12
(9分)
数学期望E(ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)
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