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2018秋高三期中考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2018．11
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，则复数z＝________．
2. 函数y＝的定义域为________．
3. 已知x，y∈R，直线(a－1)x＋y－1＝0与直线x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．
4. 已知函数f(x)为偶函数，且x>0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－1)＝________．
5. 已知向量m＝(1，a)，n＝(，3a＋1)．若m∥n，则实数a＝________．
6. 设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝6，cos B＝－，则角A的大小为________．
7. 设实数x，y满足则3x＋2y的最大值为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．
9. 已知条件p：x>a，条件q：>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为__________．
11. 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0b>0)的右准线方程为直线x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 假设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．
① 若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连结OM并延长交椭圆C于点N，且＝，求OB的长；
② 若原点O到直线l的距离为1，并且·＝λ，当≤λ≤时，求△OAB的面积S的范围．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝，g(x)＝x2－2x.
(1) 求f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若关于x的不等式f2(x)＋tf(x)>0有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；
(3) 若h(x)＝g(x)＋4xf(x)存在两个正实数x1，x2，满足h(x1)＋h(x2)－xx＝0，求证：x1＋x2≥3.
2018秋高三期中考试试卷(二)
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1在矩阵对应的变换下得到的直线过点P(3，2)，求实数k的值．
22. (本小题满分10分)
假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．
(1) 求连续命中2次的概率；
(2) 设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
23. (本小题满分10分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系．
(1) 求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；
(2) 求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．
24. (本小题满分10分)
已知正项数列{an}满足an＋1＝an－a(n∈N*)．求证：
(1) 00.
① 当t>0时，f(x)>0或f(x)0且x≠1，满足条件的整数解有无数个，舍去；
③ 当t0)在t＝1时，取得最小值，最小值为3.(14分)
因为存在两个正实数x1，x2，满足h(x1)＋h(x2)－xx＝0，所以(x1＋x2)2－2(x1＋x2)≥3，
即(x1＋x2)2－2(x1＋x2)－3≥0，所以x1＋x2≥3或x1＋x2≤－1.
因为x1，x2为正实数，所以x1＋x2≥3.(16分)
2018秋高三期中考试试卷(二)(扬州)
数学附加题参考答案及评分标准
21. 解：设直线y＝kx＋1上任意点M(x，y)在矩阵对应的变换下得到的点M′(x′，y′)，则
＝＝，即∴(5分)
代入直线方程y＝kx＋1得x′＝k(－x′＋y′)＋1，将P(3，2)代入上式，解得k＝－2.(10分)
22. 解：(1) 设Ai(i＝1，2，3)表示第i次投篮命中，Ai表示第i次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3＋A1A2A3)＝××＋××＝.(4分)
(2) 命中的次数X可取0，1，2，3，则
P(X＝0)＝(1－)3＝，P(X＝1)＝C()1(1－)2＝，P(X＝2)＝C()2(1－)1＝，P(X＝3)＝()3＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(8分)
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
答：X的数学期望为2.(10分)
23. 解：(1) 根据题中空间直角坐标系可知A(0，－1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，)，(1分)
∴＝(2，2，0)，＝(0，1，－)，
∴ cos〈，〉＝＝＝.(3分)
设异面直线AB与A1C所成的角为α，则α∈(0，]，
∴ cos α＝|cos〈，〉|＝.(4分)
(2) 由(1)得＝(2，1，－)，＝(－2，0，0)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴∴取z＝1，则n＝(0，，1)．(7分)
∴ cos〈，n〉＝＝＝.(9分)
设直线AB与平面A1BC所成的角为β，β∈(0，]，则sin β＝|cos〈，n〉|＝.(10分)
24. 证明：(1) 由a1－a＝a2＞0，解得0＜a1＜1.(1分)
下面用数学归纳法证明：当n≥2时，an≤.
① 当n＝2时，a2＝a1－a＝－(a1－)2＋≤，所以不等式成立；
② 假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即ak≤，
则当n＝k＋1时，有
ak＋1＝ak－a＝－(ak－)2＋≤－(－)2＋＝＜＝.
则当n＝k＋1时，不等式也成立．
综合①②，当n≥2时，都有an≤.(5分)
(2) 记f(x)＝ln(1＋x)－(x＞0)，(6分)
当x＞0时，f′(x)＝－＝＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即ln(1＋x)＞.(8分)
令x＝(i∈N*)，则＜ln＜ln，
从而有ai＜＜[ln(i＋1)－ln i]＝ln(n＋1)－ln 2＜ln(n＋1)．(10分)
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