【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第24章 解直角三角形 单元测试卷
一、单选题（共10题；共29分）
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A. 34 B. 43 C. 35 D. 45
2.如图，在 RtΔABC 中， ∠C=90∘ ， AB=10 ， AC=8 ，则 sinA 等于（ ）
A. 35 B. 45 C. 34 D. 43
3.若点B在点A的北偏东30度，则点A在点B的（ ）
A. 南偏西30度 B. 北偏东60度 C. 南偏西60度 D. 西南方向
4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A. 12 B. 22 C. 32 D. 33
5.如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 AB 上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A. （sinα，sinα） B. （cosα，cosα） C. （cosα，sinα） D. （sinα，cosα）
6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 1.7 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=310 ， 则点D到地面的距离CD是（ ）
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A. 2.7米 B. 3.0米 C. 3.2米 D. 3.4米
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，cos∠BCD=23，BD=1，则边AB的长度是（ ）
A. 910 B. 109 C. 2 D. 95
8.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°,∠A＝30°, E为AB上一点，且AE︰EB＝4︰1，EF⊥AC于F ， 连结FB ， 则tan∠CFB的值等于（ ）
A. 33 B. 233 C. 533 D. 53
9.（2017•绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）
A. 10m B. 12m C. 12.4m D. 12.32m
10.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF ， 上述结论中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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二、填空题（共11题；共33分）
11.计算3tan30°tan45°=________
12.计算（﹣1）2005﹣| 3 ﹣2|+（﹣ 13 ）﹣1﹣2sin60°的值为________．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DC=5cm，则AB=________．
14.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．
15.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为________．
16.如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是________ 米．
17.世纪中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，则建筑物C到公路AB的距离为________．
18.在扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，OA=4，将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，则 BE 的长度为________．
19.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为________．
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20.如图，如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1= 23 ，则m的值是________．
21.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．
三、解答题（共8题；共58分）
22.计算：|2﹣2|+2cos45°+（π﹣3.14）0﹣（﹣1）2015 ．
23.图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m .当起重臂 AC 长度为 9m ，张角 ∠HAC 为 118∘ 时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据： sin28∘≈0.47 ， cos28∘≈0.88 ， tan28∘≈0.53 ）.
24.如图，某河大堤上有一棵树ED，ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿着坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，求树ED的高度．（精确到1米）
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，5=2.236）
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25.如图所示，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′．如果A、B两地同时开工，那么在B地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？
26.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）
（参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710）
27.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
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28.如图1，已知 O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F ， OD 到点 E ，使 OF=2OA ， OE=2OD ，连结 EF ，将△ FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 角得到△ F'OE' （如图2）．连结 AE' 、 BF' ．
（Ⅰ）探究 AE' 与 BF' 的数量关系，并给予证明；
（Ⅱ）当 α=30° ， AB=2 时，求：
① ∠AE'O 的度数；
② BF' 的长度．
29.如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
（1）探索发现
当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
（2）延伸拓展
当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
（3）应用推广
如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
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答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】1
12.【答案】﹣6
13.【答案】10cm
14.【答案】4
15.【答案】22
16.【答案】26
17.【答案】500（ 3 ﹣1）m
18.【答案】2π3
19.【答案】2或3或 135
20.【答案】2
21.【答案】4
三、解答题
22.【答案】解：原式=2﹣2+2+1+1
=4．
23.【答案】如图，过点C作CE⊥DH交于点E，过点A作AF⊥CE交于点F，
又∵AH⊥BD，
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∴四边形AFEH是矩形，
∴∠HAF=90°，EF=AH=3.4m，
∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°，
在Rt△ACF中，∵AC=9m，∠CAF=28°，
∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23（m），
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）.
答：操作平台 C 离地面的高度为7.6m．
24.【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，
∵坡度为1：2，
∴CG：AG=1：2，
∴AG：AC=2：5，
∵AC=20米，
∴AG=85米，CG=45米，
设CD=x米，
∵∠ECD=76°，
∴ED=CD•tan76°=4.01x（米），
∵ED⊥CD，CD∥AB，
∴点E，D，F共线，
∵∠EAF=45°，
∴tan∠EAF=tan45°=EFAF=1，
∴4.01x+4585+x=1，
∴x≈2.99米，
∴ED=4.01×2.99≈12（米）．
答：树ED的高度是12米．
25.【答案】解：在B地按北偏东68°28′施工，就能使公路在山腹中准确接通． ∵指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，
∴这样就构成了一对同旁内角，
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∴∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补），
∴可得在B地按北偏东180°﹣111°32′=68°28′施工
26.【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
∴tan∠ACD=ADCD，
∴xx+100=710，
解得，x≈233m．
27.【答案】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，
∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）．
答：旗杆CD的高度约13.9米．
28.【答案】解：如图:
（Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
又∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，则OE′=OF′，
在△AOE′和△BOF′中，
{OE'=OF'∠AOE'=∠BOF'OA=OB
∴△AOE′≌△BOF′
∴AE′=BF′；
（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．
∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，
∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，
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∴△OME′是等边三角形，
又∵AM=OA，
∴AE′⊥OM，
则∠E′AO=90°，
∴∠AOE′=90°﹣α=60°，
∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；
②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，
∴∠AOF′=30°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOF′=60°，
又∵等腰直角△AOB中，OB= 22 AB= 2 ，
∴在Rt△ABE'中得到AE'= 3 OA= 6 ，
又BF'=AE'
∴BF′= 6 ．
29.【答案】（1）解：PB⊥AK，PB=PK+AK；
理由：如图2中，
∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
{BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．
（2）以上两个结论仍然成立，
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理由如下：如图1中，
∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
{BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．
（3）如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD．
∵FD∥BD，
∴△FDK∽△CBK．
又DK：BK=1：3，
∴FD：BC=1：3．
∵FD：AD=1：3，
∴BC=AD．
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∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD，
∴四边形ABCD为正方形．
∵PB=PK+AK，
即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF，
∴BE=FK+AK．
在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3，
∴BE= AE2+AB2 = 10 ．
∵AG⊥BE（上一问结论），
∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比为1：3，
设EG=t，AG=3t，BG=9t，
∴BE=10t= 10 ，
∴ t=1010 ．
∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）﹣AG+EG
=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= 1+4510 ．
过点K作AD垂线，垂足为H，
∵HK∥AB且DK：DB=1：4，
∴KH= 14 AB= 34 ，
∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= 12 •AF•KH﹣ 12 •AG•EG= 12 •2• 34 ﹣ 12 •3t•t= 35 ．
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