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天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试 高三数学(理)试题参考答案与评分标准 一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A B C C B A D D 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)‎ ‎9． 10．240 11． 12．‎ 2‎2‎+2‎ 13．‎1 ‎ 14．‎‎-∞,6‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）‎ ‎15．解：（Ⅰ）因为 ,‎ 由正弦定理，得，………………2分 由余弦定理， ………………4分 又因为，所以. …………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 所以，……………6分 所以 ‎………8分 ‎……………………………………………10分 因为，所以 ………………………………11分 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ 故 ……………………………………………12分 ‎ 所以的取值范围为……………………………13分 ‎16．解：（Ⅰ）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为（人），1分 从参加问卷调查的‎10‎名学生中随机抽取两名的取法共有（种），……2分 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），……………4分 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为. …………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在参加问卷调查的名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3人、2人， ‎ 所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0,1,2………………7分 所以，，…10分 ‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ …………………………………………………12分 ‎ 所求X的期望. ……………………………13分 ‎17．解：（Ⅰ）连接，交于点，则点为的中点，‎ ‎ 因为为的中点，所以∥. ……………………………………………2分 ‎ 又平面，平面，‎ 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ ‎ 所以∥平面. ……………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为平面，∥，‎ 所以平面，又 D A1‎ B1‎ C1‎ B C A x z y 故以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向 建立空间直角坐标系（如右图所示），………………5分 则， ‎ 所以‎=‎,0,-‎,=‎‎0,1,‎.‎ 设平面C‎1‎BD的法向量为，‎ 则有‎∙=0,‎‎∙=0‎即‎+x=0,‎‎+y=0 ‎………………7分 令z=1‎，则得.‎ 又平面的法向量为，且二面角为锐角，‎ 故二面角的余弦值为…9分 ‎（Ⅲ）设因为，所以，‎ ‎. …………………………………………10分 ‎ 又‎=‎‎,0,-‎,‎ BD=‎‎,-1,0‎,‎ ‎平面，‎ ‎ 所以 解得.…………………12分 ‎ 所以，且点P在线段AB‎1‎的三等分点处，即AP=AB‎1‎. …………13分 ‎ ‎18．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，‎ 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ 依题意有，即，…………………2分 解得或（舍）…………………………………4分 ‎∴，‎ ‎∴数列的通项公式为，数列的通项公式为………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ‎ ‎∴ ①…………………………………7分 ‎∴=，②…………………………………8分 ‎①-②得 ‎……………………………9分 ‎…………………………………………10分 ‎……………………………………………………………12分 ‎∴……………………………………………………13分 ‎19．解：（Ⅰ）由已知，得‎ a=‎3‎b. ……………………………………………1分 ‎ 因为‎2c=8,a‎2‎=b‎2‎+‎c‎2‎，‎ ‎ 易解得a=2‎6‎,‎b=2‎‎2 ‎. ……………………………………………………………3分 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ ‎ 所以，所求椭圆C的标准方程为 …………………………………4分 设点的坐标为 当时，与轴垂直为的中点平分显然成立……5分 当由已知可得：‎ 则直线的方程为：…………………7分 设 消去得：‎ 中点的坐标为…………………………9分 又在直线上.‎ 综上平分线段 …………………………………………10分 当时，则 …………11分 当时，由可知 ‎………………12分 ‎(当且仅当，即时等号成立)……………………13分 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ ‎∴点的坐标为 …………………………………………………14分 ‎20．解：（Ⅰ）当a=1‎时，fx=x‎2‎-4x+lnx+‎ (其中x>0‎)，‎ ‎ 所以f‎1‎=-4+=-2‎，‎ ‎ f'x=x-4+‎，‎ f'‎1‎=-2‎. ………………………………………1分 ‎ 所以，曲线在点处的切线方程为y+2=-2‎x-1‎，‎ ‎ 即‎2x+y=0‎. ………………………………………………………2分 ‎ （Ⅱ）由‎=x‎2‎-4ax+alnx+a+‎，得 ‎ ‎=x-4a+‎ (x>0‎). …………………………………………………3分 ‎ 依题意，知 ‎ x‎2‎‎-4ax+alnx+a+0‎对任意实数x∈‎‎1,+∞‎恒成立. ……………………5分 ‎ 令‎=x‎2‎-2alnx-1‎（x>1‎），‎ ‎ 所以‎=2x-=‎.（x>1‎） ………………………………6分 ① 当a≤1‎时，‎>0‎，此时函数在‎1,+∞‎上单调递增，‎ ‎ 所以， 所以，a≤1‎时，符合题意. …………………………7分 ② 当a>1‎时，令，得x=‎a (‎-‎a舍去).‎ ‎ 所以，当x∈‎‎1,‎a时，，此时函数在‎1,‎a单调递减，‎ 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ ‎ 所以，此与题意相矛盾， 所以，a>1‎不符合题意. ……8分 ‎ 综上所述，所求实数a的取值范围是. ……………………………9分 ‎（Ⅲ）据题意，有gx=x‎2‎-4ax+alnx+3a+‎（x>0‎），‎ 所以‎ g'x=x-4a+=‎（x>0‎）. ………………………10分 因为函数gx存在两个极值点x‎1‎‎,‎x‎2‎，‎ 所以x‎1‎‎,‎x‎2‎是方程x‎2‎‎-4ax+a=0‎的两个不等的正根，‎ 则有x‎1‎‎+x‎2‎=4a>0, ‎x‎1‎x‎2‎‎=a>0, ‎‎∆=‎-4a‎2‎-4a>0‎，解得a>‎. ……………………………………11分 所以gx‎1‎+gx‎2‎=x‎1‎‎2‎-4ax‎1‎+alnx‎1‎+3a++x‎2‎‎2‎-4ax‎2‎+alnx‎2‎+3a+‎ ‎ ‎‎=x‎1‎‎2‎‎+‎x‎2‎‎2‎-4ax‎1‎‎+‎x‎2‎+alnx‎1‎+lnx‎2‎+6a+1‎ ‎ ‎‎ =x‎1‎‎+x‎2‎‎2‎‎-2‎x‎1‎x‎2‎-4ax‎1‎‎+‎x‎2‎+alnx‎1‎+lnx‎2‎+6a+1‎ ‎ ‎‎ =-8a‎2‎+alna+5a+1‎ ‎ g'x‎1‎x‎2‎=x‎1‎x‎2‎-4a+=1-3a， ‎ 又据gx‎1‎+gx‎2‎≥g'‎x‎1‎x‎2‎，可得‎-8a‎2‎+alna+5a+1≥1-3a， …12分 ‎ 即‎8a‎2‎-8a-alna≤0‎. （※）‎ ‎ 因为a>‎，所以不等式（※）可化简为‎8a-8-lna≤0‎（a>‎‎1‎‎4‎），‎ ‎ 令φa=8a-8-lna（a>‎），‎ 则φ'a=8->>0‎，‎ 所以φa在‎,+∞‎上单调递增.‎ 又φ‎1‎=0‎，……………………………………………………………………13分 高三数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）‎ 所以不等式‎8a-8-lna≤0‎的解为‎