理科数学评分标准.pdf

1 湖北省２０１９年元月高考模拟调研考试理科数学 评分标准 一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A A A C C A B D B D 二、填空题： 13. .5 ; 14 :10 ; 15： 3 ; 16：(1，+∞) 三、解答题： 17【解析】(1)对于数列{an}， 4 2 9 11 11 1 1 1 () 2( ) 5n n n a q a q a q a q a q    (a1q≠0，n∈N*) 即 1 1 2 2 aq q   或 ……………………………………………………………………………………2 分 注意到{an｝为递增数列 则 1 2 2 a q    ∴an=2n…………………………………………………………………………………………3 分 对于数列{bn}，由 bnbn＋1＝4Sn－1 得 bn－1bn＝4Sn－1－1 相减得 bn(bn+1－bn－1)=4bn 又∵bn≠0 ∴bn+1－bn－1=4 为定值 ∴数列{b2n－１}和{b2n}都是以４为公差的等差数列…………………………………………5 分 又∵b1＝1 ∴在 bnbn＋1＝4Sn－1 中令 n=1 得 b2=3 ∴b2n－1=1+(n－1)×4=2(2n－1)－1，b2n=3+(n－1)×4=2(2n)－1 ∴an=2n，bn=2n－1………………………………………………………………………………7 分 (2)由(１)得 Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n－1)×2n ∴2Tn= 1×22+3×23+…+(2n－3)×2n+(2n－1)×2n+1 ∴Tn=－1×2－2×22－2×23－…－2×2n+(2n－1)×2n+1 =－2－ 312 (1 2 ) 12 n  +(2n－1)×2n+1………不论对错，会用错位相减法就给 2 分…………9 分 =(2n－3)×2n+1+6……………………………………………………………………………12 分 2 18【解析】(1)∵在底面ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ⊥ＣＤ 且ＢＣ＝２ＡＤ＝２ＣＤ＝２ 2 ∴ＡＢ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝２ ∴ＡＢ⊥ＡＣ…………………………………………………………………………………1 分 又∵ＡＢ⊥ＰＣ，ＡＣ∩ＰＣ＝Ｃ，ＡＣ 平面ＰＡＣ，ＰＣ 平面ＰＡＣ ∴ＡＢ⊥平面ＰＡＣ…………………………………………………………………………3 分 又∵ＰＡ 平面ＰＡＣ ∴ＡＢ⊥ＰＡ ∵ＰＡ＝ＡＣ＝２，ＰＣ＝２ ∴ＰＡ⊥ＡＣ…………………………………………………………………………………4 分 又∵ＰＡ⊥ＡＢ，ＡＢ∩ＡＣ＝Ａ，ＡＢ 平面ＡＢＣＤ，AＣ 平面ＡＢＣＤ ∴PA⊥平面ＡＢＣＤ…………………………………………………………………………5 分 (2)方法一：在线段ＡD 上取点Ｎ，使ＡＮ＝２ＮＤ 则ＭＮ∥ＰＡ 又由(１)得 PA⊥平面ＡＢＣＤ ∴ＭＮ⊥平面ＡＢＣＤ 又∵ＡＣ 平面ＡBＣD ∴ＭＮ⊥ＡＣ…………………………………………6 分 作ＮＯ⊥ＡＣ于Ｏ 又∵ＭＮ∩ＮＯ＝Ｎ，ＭＮ 平面ＭＮＯ，ＮＯ 平面ＭＮＯ ∴AC⊥平面ＭＮＯ 又∵ＭＯ 平面ＭＮＯ ∴AC⊥ＭＯ 又∵AC⊥NＯ ∴∠ＭＯＮ是二面角Ｍ—ＡＣ—Ｄ的一个平面角…………………………………………8 分 设 PM PD ＝x 则ＭＮ＝(1－x)AP=2－2x，ON= 2 2 AN= xAD=x 这样，二面角Ｍ—ＡＣ—Ｄ的大小为６０° 即 tan∠ＭＯＮ= MN ON = 22x x  =tan６０°= 3 即 ＝x=4－2 ∴满足要求的点Ｍ存在，且 ＝4－2 ………………………………………………12 分 方法二：取ＢＣ的中点Ｅ，则ＡＥ、ＡＤ、ＡＰ三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线ＡＥ、ＡＤ、ＡＰ为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系…………………6 分 3 且由(Ⅰ)知 AP ＝(０，０，２)是平面ＡＣＤ的一个法向量…………………………………7 分 设 PM PD ＝x∈(０，１) 则ＭＮ＝(1－x)AP=2－2x，AN=xAD= 2 x ∴ AM ＝(０， x，2－2x)， AC ＝( ， ，0) 设 AQ =(a，b，c)是平面ＡＣＭ的一个法向量 则 2 (2 2 ) 0 2 2 0 AQ AM xb x c AQ AC a b           ∴ 2 22 ab xcbx    令 b=2x－2，则 =(－２x＋２，2x－2， x)，它背向二面角…………………………9 分 又∵平面ＡＣＤ的法向量 ＝(０，０，２)，它指向二面角 这样，二面角Ｍ—ＡＣ—Ｄ的大小为６０° 即 cos＜ ， ＞= | | | | AP AQ AP AQ   = 2 2 2 22 2 ( 2 2 ) (2 2 ) ( 2 ) x x x x      ＝cos６０°＝ 1 2 即 x=4－2 3 ∴满足要求的点Ｍ存在，且 ＝4－2 ………………………………………………12 分 19【解析】(1)由题得如下的列联表 有兴趣 无兴趣 男生 50 10 60 女生 25 15 40 总计 75 25 100 …………………………………………………………………………………………………1 分 ∴k=K2= 2() ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d      = 2100(50 15 25 10) 60 40 75 25       ≈5.556＜6.635………3 分 ∴没有…………………………………………………………………………………………4 分 (2)记事件 Ai=从这６名学生中随机抽取的３人中恰好有 i 人有兴趣，i=0，1，2，3 则Ａ2+A3＝从这６名学生中随机抽取的３人中至少有２人有兴趣 4 且Ａ2 与 A3 互斥…………………………………………………………………………………6 分 ∴所求概率Ｐ＝Ｐ(Ａ2+A3)＝Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(A3)＝ 21 33 3 6 CC C ＋ 30 33 3 6 CC C ＝ 10 20 = 1 2 ……………7 分 (3)由题意，可知ξ 所有可能取值有 0，1，2，3…………………………………………………8 分 22 34 22 55 9( 0) 50 CCP ξ CC   1 1 2 2 1 2 3 4 3 4 22 55 12( 1) 25 C C C C CP ξ CC    2 2 1 1 1 2 4 3 2 4 22 55 3( 2) 10 C C C C CP ξ CC    21 24 22 55 1( 3) 25 CCP ξ CC   ………………………………………………………………………10 分 所以ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 9 50 24 50 15 50 2 50 …………………………………………………………………………………………………11 分 ∴E(ξ )=0× +1× +2× +3× = 6 5 ……………………………………………12 分 20【解析】(1)由题得 2 2 2 2 1 1 22 212 2 c bc b ca a b c          (a＞b＞0，a＞c＞0) 解得 2 1 1 a b c       ∴椭圆Γ 的方程为 2 2 x +y2=1…………………………………………………………………3 分 (2)方法一:由题知直线 m 的斜率存在 5 ∴可设 m:y=kx+t 由 222 2 0 y kx t xy     消去 y 得(2k2+1)x2+4ktx+(2t2－2)=0……………………………………4 分 ∵直线 m 与椭圆有且只有一个公共点 ∴Δ =(４kt)2－4(2k2+1)(2t2－2)=0 即 t2=2k2+1………………………………………………………………………………………6 分 ∵直 ml:y=kx+t 与直线 x=１交于Ｍ ∴M(1，k+t)……………………………………………………………………………………8 分 同理 N(2，2k+t)…………………………………………………………………………………9 分 ∴ || || MF NF = 22 22 (1 1) ( 0) (2 1) (2 0) kt kt         = 22 22 2 1 (4 4 ) k kt t k kt t     = 2 2 为定值……………………12 分 方法二:设切点为Ｐ(x0，y0)(y0≠0) 则 m： 0 2 xx+y0y=1……………………………………………………………………………5 分 令 x=1 得 y= 0 0 2 2 x y  即 M(1， )…………………………………………………………7 分 令 x=2 得 y= 0 0 1 x y  即 N(2， )……………………………………………………………8 分 ∴ || || MF NF = 220 0 220 0 2(1 1) ( 0)2 1(2 1) ( 0) x y x y       = 2 0 22 00 (2 ) 4(1 ) 4 x xy   = 2 0 2 2 0 0 (2 ) 4(1 ) 4(1 )2 x xx     = 为定值 …………………………………………………………………………………………………12 分 21.【解析】(1) 解法一 :由题得 xxaaxxaxf 2ln2)1(ln)('  (x＞0)………………………1 分 ∴f＇＇ (x)= a x －2=－ 2( )2 ax x  (x＞0) 1°当 a＜0 时， (x＞0)是减函数 且 f＇( 2 ae )=aln －2 =2(1－ )＞0 f＇(1)=－2＜0 ∴此时 f＇(x)有且只有一个零点………………………………………………………………2 分 2°当 0a 时， 0)(' xf ，此时 f＇(x)没有零点………………………………………………3 分 6 3°当 a＞0 时 x (0， 2 a ) ( ，+∞) f＇＇ (x) + 0 － f＇(x) ↗ 极大值 ↘ ∴[f＇(x)]max=f＇( )=a(ln －1) (i)若 0＜a＜2e 则[f＇(x)]max=a(ln －1)＜0 此时，函数 f＇(x)没有零点……………………………………………………………………4 分 (ii)若 a=2e 则[f＇(x)]max=a(ln －1)=0 此时，函数 f＇(x)有且只有 =e 一个零点……………………………………………………5 分 (iii)若 a＞2e 则[f＇(x)]max=a(ln －1)＞0 且 f＇(1)=－2＜0,下面证明存在 t∈（ ，+∞）使 f＇(t)a+1> 下面证明 f＇(ea)=alnea－2ea=a2－2ea＜0， 证明：设 g(x)=x2－2ex 则 g＇(x)=2x－2ex，g＇＇ (x)=2(1－ex) ∴g＇＇ (x)=2(1－ex)在[0，+∞)上恒负 ∴g＇(x)=2(x－ex)在[0，+∞)上是减函数 ∴在[0，+∞)上，恒有 g＇(x)=2(x－ex) ≤g＇(0)=－2＜0 ∴g(x)=x2－2ex 在[0，+∞)上是减函数 ∴f＇(ea)=alnea－2ea=a2－2ea=g(a)＜g(0)=－2＜0，得证 或②取 t= 2a 2 2 aa 下面证明 f＇(a2)=alna2－2a2=2a(lna－a)＜0， 证明:设 g(x)=lnx－x(x＞1) 则 g＇(x)= 1 x －1＜0(x＞1) ∴g(x)在(1，+∞)上是减函数 ∴f＇(a2)=2a(lna－a)=2ag(a) ＜2ag(1)=－2a＜0，得证 7 （说明 1：此处的自变量 ea、a2 和 1°中的选点 2 ae 用来判断 g(x)的正负，这里给出两个不同自变 量取值，就是例证自变量取值都不是唯一的,其它的取值只要讲明了道理,都给全分） ∴此时，函数 f＇(x)有且只有两个个零点 综上，函数 )(' xf 的零点个数= 0 0 2 1 0 2 22 ae a a e ae      或 ……………………………………6 分 解法二 由题得 xxaaxxaxf 2ln2)1(ln)('  (x＞0) …………………………1 分 1°当 0a 时， 0)(' xf ，此时没有零点…………………………………………………3 分 2°当 0a  时 导函数 )(' xf 的零点个数等于函数 ay 1 与函数 x xy 2 ln 图象的交点个数 设 x xxg 2 ln)(  则 2 ' 2 ln1)( x xxg  (x＞0) 当 ex 0 时， 0)(' xg ；当 x＞e 时， ' ()gx＜0 ∴ )(xg 在 ),0( e 上单调递增，在 ),( e 上单调递减 ∴[g(x)]max=g(e)= 1 2e 又∵当 x→0+时，g(x)→－∞，当 x→+∞时，g(x)→0(即 0 lim ( ) x gx =－∞， lim ( ) x gx  =0) ………………………………………………用极限说明,给全分（否则扣 1 分） ∴图象如图 ∴当 01 a 即 0a 时，有 1 个交点；当 ea 2 110  即 ea 2 时，有 2 个交点；当 ea 2 11  即 ea 2 时，有 1 个交点；当 ea 2 11  即 ea 20  时，没有交点. 综上，函数 的零点个数= ……………………………………6 分 （说明 2 ：关于（1）的两个解法 解法一 推理论证严谨，说理充分。选取特定自变量判断函数值正负的方法对考生数学构造能8 力提出较高要求。这是近年来高考试题的解答趋势。 解法二 是流行的一个常规解法，其本质是借助函数变化趋势和图形几何直观。基于现阶段高 中学生的实际，这个解法也给了满分。需要说明的是这个解法不严谨，也可能被扣分的） (2)设 h(x)=f(x)－ )(' xf －2=( 22ln 1) ( ln 2 ) 2ax x x ax a a x x       xaaxaxxax ln1)2(ln 22  (x≥1) ∴h＇(x)=(alnx+ax· 1 x )-2x-(a-2)-a· =alnx-2x+2- a x (x>1) ∴h＇＇ (x)=a· -2+ 2 a x =a( + 2 1 x )-2(x>1) 1°题设成立的一个必要条件是 0)1()1(  aah 即 10  a ……………………………9 分 2°当 时  x∈(1,+∞），h＇＇ (x)=a( + )-2