【初数】一元二次方程_章节测试（超越篇）
总分:100 答题时间:100分钟 日期____________班级____________姓名____________
一、单选题(每小题3分，共8题，共24分)
1、若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．﹣57
B．63
C．179
D．181
2、方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3、方程的解是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4、设，都是正实数且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5、已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6、若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（ ）
A．﹣15
B．﹣16
C．15
D．16
7、已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8、若a＜b＜c，设方程（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－a）（x－c）＝0的两个根分别为x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A．a＜x1＜b，b＜x2＜c
B．x1＜a，a＜x2＜b
C．b＜x1＜c，x2＞c
D．x1＜a，x2＞c
二、填空题(每小题3分，共6题，共18分)
9、若关于的方程是一元二次方程，则__________
10、从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．
11、设方程的较大根为，方程的较小根为，则的值为__________
12、设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=____．
---- 11 ----
13、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个
14、已知：，是关于x的方程的两个实数根，，其中n为正整数，且．
（1）的值为__________；
（2）当n分别取1，2，……，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为的值，则___________．
三、解答题(每小题1分，共11题，共58分)
15、若是关于的一元二次方程，求、的值．
16、已知：a是方程的一个根，求代数式的值
17、用直接开平方法解方程
18、晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程．
解：原方程可变形，得：
---- 11 ----
直接开平方并整理，得：
，．
我们称晓东这种解法为“平均数法”
（1）下面是晓东用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：
直接开平方并整理，得：
☆，¤．
上述过程中““，”“，”☆“，”¤“的表示的数分别为________，________，________，________．
（2）请用“平均数法“解方程：．
19、阅读并回答问题：
小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数i，使，那么当时，有i，从而i是方程的两个根．
据此可知：(1)可以运算，例如：，则 ，
______________，__________________；
(2)方程的两根为 （根用表示）．
20、已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求m的取值范围.
---- 11 ----
21、设实数分别满足，并且，求的值
22、已知关于x的方程，其中a、b为实数．
（1）若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
23、已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？
24、已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根
25、在一次活动课中，老师请每位同学自己做一个有盖的长方体纸盒，长方体的长、宽、高分别为，，，小明在展示自己做的纸盒时，告诉同学们说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现他们满足，.”请同学们算一算，做一个这样的纸盒至少需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？
---- 11 ----
答案解析
一、单选题(每小题3分，共8题，共24分)
1
【答案】D
【解析】x2﹣2x﹣3599=0，
移项得：x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3599+1，
即（x﹣1）2=3600，
x﹣1=60，x﹣1=﹣60，
解得：x=61，x=﹣59，
∵一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=61，b=﹣59，
∴2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181，
故选D．
2
【答案】C
【解析】当，即或时，原方程成立；
当时，当或．由，得是原方程的解；
当或时，有，得，，从而知原方程整数解的个数是4．
故选C．
3
【答案】D
【解析】当时，原方程变形为，利用公式法求解得，（舍去），当时，原方程变形为，利用求根公式解得（舍去），方程的根，，故答案为D选项．
4
【答案】C
【解析】原式可化简为，解得或（舍去）
5
【答案】D
【解析】三个式子相加得，因为，所以，所以，故答案为D选项．
6
【答案】A
---- 11 ----
【解析】∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根，
∴可得a+b=4，ab=t﹣2，
（a2﹣1）（b2﹣1）=（ab）2﹣（a2+b2）+1=（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，
∴（a2﹣1）（b2﹣1），
=（t﹣2）2﹣16+2（t﹣2）+1，
=（t﹣1）2﹣15，
∵（t﹣1）2≥0，
∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是﹣15，
7
【答案】B
【解析】∵方程有实数根，∴．
由题意，得 ⑴ 或 ⑵
令，则方程⑴可化为：，方程⑵化为：
∵是方程⑴或⑵的解，
∴方程⑴、⑵的判别式非负，即，∴，故答案为B选项．
8
【答案】A
二、填空题(每小题3分，共6题，共18分)
9
【答案】
【解析】满足，且，解得
10
【答案】-2
【解析】∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
解得：﹣＜m＜，
∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，
∴m2﹣4（m+1）≥0，
∴m≥2+2或m≤2﹣2，
∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣1，﹣2，
∵是关于x的一元二次方程，
∴m+1不等于0，即m不等于﹣1，
∴m的值为﹣2
11
【答案】
【解析】，所以，，所以，故
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12
【答案】47
【解析】方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，
∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，
∴α+β=3，αβ=1，
∴（α+β）2=α2+β2=7，（α2+β2）2=α4+β4=47，
∴=47，
13
【答案】5
【解析】当时，得；当时，得，当时，解得，，当时，是整数，这时；当时，是整数这时综上所述，时原方程的解为整数
14
【答案】2；8048
【解析】该题考查的是一元二次方程的综合．
（1）当时，将代入方程得：，
解得：，，
则；
故答案是2；
（2）由求根公式得： ，
据，得到，
当时，，；
当时，，，
当时，，，
依此类推，
当时，，，
当时，，，
∴根由小到大排列为：，，…，，，…，，共4026项，
∵等差且，
∴．
故答案是2和8048．
三、解答题(每小题1分，共11题，共58分)
15
【答案】，或，或，
【解析】分以下几种情况考虑：
（1），，此时，；
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（2），，此时，；
（3），，此时，；
16
【答案】1
【解析】该题考查的是整式计算及整体代入法求值．
∵a是方程的一个根，
∴，
∴
∴原式，
，
17
【答案】当时，，当时，，当时，为任意实数
【解析】原方程可化为，故或，化简得或；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数，综上可得，当时，，当时，，当时，为任意实数．
18
【答案】（1）4；2；；（2），
【解析】该题考查的是解一元二次方程．
（1）
根据“平均数法”变形得：，
可得到方程组，解得．
∴解方程如下：
变形得：，
，
，
解得：，．
∴“”，“”，“☆”，“¤”的表示的数分别为4，2，，．
（2）
变形得：，
，
，
解得：，．
19
【答案】（1）1；；1（2）和
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【解析】该题考查的是求一元二次方程的根
（1）根据可将化为；；进行计算即可；
∵，
∴
∴；
∴．
∴，，……3分
（2）先根据求出的值，再由公式法求出的值即可．
∵，
∴，
∴方程的两根为，即或…5分
20
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）----------------------------------1分
无论取任何实数时，
无论取任何实数，原方程总有两个实数根．----------------------------------------------2分
（2）解关于的一元二次方程得
，-----------------------------------------------------------------------------------3分
由题意得或----------------------------------------------------------------4分
分别解两个不等式组得无解或
---------------------------------------------------------------------------------------------5分
21
【答案】
【解析】由可知，，故．
又，，故、是方程的两根，从而可知，，故．
注意：此处方程是构造成还是主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含，构造方程更快．
其实构造成也可，不过此时两根变为和，由根系关系可知
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，，故
22
【答案】（1）（2）
【解析】该题考察一元二次方程的根与判别式的关系．
（1）∵ 方程有一个根为，
∴，整理得．
∵ ，∴，即． ---------------------------------------------3分
（2）方程有实数根，必有．
对于次方程，．
∵ 对于任何实数此方程都有实数根，
∴ 对于任何实数都有 ，即．
∴ 对于任何实数都有．
∵ ，
当 时，有最小值．
∴ b的取值范围是． ----------------------------------------------7分
23
【答案】存在，
【解析】．
可见，为任意实数，方程都有实数根，
记这两个实数根为、，则，．
．
由方程得，解得，．
若为整数，则，从而，．
当时，是整数．当时，不是整数，舍去．
若为整数，则，从而．
当时，不是整数，舍去．
综上可知，当时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根
24
【答案】当时，方程的三个根为，和；当时，方程的三个根为，和
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【解析】观察易知方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得：．
因为是正整数，所以关于的方程： ……①
的判别式，它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，
因此它的判别式应该是一个完全平方数．
设(其中为非负整数)，
则，即：．
显然与的奇偶性相同，且，．
而，所以：
，或，或
解得，或，或．
而是正整数，所以只可能，或．
当时，方程①即，它的两根分别为和．
此时原方程的三个根为，和．
当时，方程①即，它的两根分别为和．
此时原方程的三个根为，和．
25
【答案】
【解析】因为，所以，又，，都是正整数，则有或；
（1）当时，由，即，整理得，解得，，故长方体纸盒的表面积是（）或者（）（舍去）
（2）当时，由，即，整理得，此方程无实数解，故做一个这样的纸盒至少需要的纸板
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