【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. m≤-1 B. m≤1 C. m≤4 D. m≤12
【答案】B
【考点】根的判别式
【解析】【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【解答】∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．
2.用配方法解方程，x2+4x=6下列配方正确的是（ ）
A. x+22=10 B. x+42=22 C. x+22=8 D. x+22=6
【答案】A
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【解析】【分析】由题意方程两边都加上一次项一半的平方，再根据完全平方公式分解因式即可.
【解答】x2+4x=6
x4+4x+4=6+4
x+22=10
故选A。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，即可完成。
3.方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 3，﹣4，﹣2 B. 3，2，﹣4 C. 3，﹣2，﹣4 D. 2，﹣2，0
【答案】B
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】解：方程3x2﹣4=﹣2x可变形为方程3x2+2x﹣4=0，
二次项系数是3、一次项系数是2、常数项是﹣4，
故选：B．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4.解方程4（3x+2）2=3x+2时，较恰当的解法是（ ）
A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
第 11 页 共 11 页
【答案】D
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【分析】提公因式即可得出答案．
【解答】方程4（3x+2)2=3x+2变形得4（3x+2)2-（3x+2)=0，其中公因式是（3x+2)，
所以最适合的解法是提公因式因式分解法．故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法的应用，主要考查学生的理解能力
5.已知一元二次方程x2-2x+1=0，下列判断正确的是（ ）。
A. 该方程无实数根 B. 该方程有一个实数根
C. 该方程有两个不相等的实数根 D. 该方程有两个相等的实数根
【答案】D
【考点】根的判别式
【解析】【分析】一元二次方程x2-2x+1=0，因为Δ=b2-4ac=-22-4×1×1=0，所以该方程有两个相等的实数根。
所以选D。
【点评】本题考查一元二次方程，要求考生掌握一元二次方程的判别式，能通过判别式判断一元二次方程根的情况。
6.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（ ）
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x)2=288
（1+x)2=1.44
∵1+x＞0，
∴1+x=1.2，x=0.2=20%．
故选C．
7.关于x的一元二次方程x2+3x=0的根的说法正确的是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=b2﹣4ac=32﹣4×1×0=9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值，代入公式判断出△的符号．
8.用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
第 11 页 共 11 页
A. x2+2x﹣99=0化为（x+1）2=100 B. m2-7m-4化为(m-72)2=654
C. x2+8x+9=0化为（x+4）2=25 D. 3x2-4x-2=0化为(x-23)2=109
【答案】C
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【解析】【解答】解：A、由原方程，得x2+2x=99，
等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得
（x+1）2=100；
故本选项正确；
B、由原方程，得
m2﹣7m=4，
等式的两边同时加上一次项系数﹣7的一半的平方 494 ，得
(m-72)2=654 ；
故本选项正确；
C、由原方程，得
x2+8x=﹣9，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得
（x+4）2=7；
故本选项错误；
D、由原方程，得
3x2﹣4x=2，
化二次项系数为1，得
x2﹣ 43 x= 23
等式的两边同时加上一次项系数﹣ 43 的一半的平方 49 ，得
(x-23)2=109 ；
故本选项正确．
故选C．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
9.已知二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有（ ）个交点．
A. 1个 B. 2 个 C. 无交点 D. 无法确定
【答案】B
【考点】根的判别式，抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】根据一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的判别式的符号进行判定二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴交点的个数．
第 11 页 共 11 页
【解答】二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴交点的纵坐标是零，即当y=0时，x2-mx+m-2=0，
∵△=（-m)2-4（m-2)=（m-2)2+4＞0，
∴一元二次方程x2-mx+m-2=0有两个不相等是实数根，即二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有2个交点．
故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10.已知关于x的方程x2-6x+a-2x-3+9-2a=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A. a=-2 B. a>0 C. a=-2或a>0 D. a≤-2或a>0
【答案】C
【考点】根的判别式
【解析】【分析】将原方程变形为|x-3|2+（a-2）|x-3|-2a=0，求出方程的△，分为两种情况，△=0，△＞0，代入后求出a的范围即可．
【解答】x2-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0，
（x-3）2+（a-2）|x-3|-2a=0，这是一个关于|x-3|的一元二次方程，
∵原方程有且仅有两个不相等的实根，
∴|x-3|只有一个大于0的实数根（因为当|x-3|＜0，无解；当|x-3|=0，有1个解；当|x-3|＞0，有2个解），
△=（a-2）2-4（-2a）=（a+2）2 ，
①当△=0时，|x-3|有唯一解；
△=0，
a=-2；
此时原方程为|x-3|2-4|x-3|+4=0，
|x-3|=2，
x=5，x=1；
②|x-3|的一个根大于0，另一个根小于0，
△＞0，
a≠-2，
x1•x2＜0，
根据根与系数的关系得：-2a＜0，
a＞0，
综合上述，a的取值分、范围是a＞0或者a=-2，
故选C．
二、填空题（共10题；共30分）
第 11 页 共 11 页
11.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
【答案】k＞-1且k≠0
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程kx²−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²−4ac=4+4k>0，且k≠0，
解得：k>−1且k≠0.
故答案为k>−1且k≠0.
【分析】首先根据方程是一元二次方程得到二次项系数k≠0，其次根据两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，综合可得到二次项系数k的取值范围。
12.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
【答案】x2+(x+3)2=65
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由较小的数为x，可知较大的数为x+3，
故它们的平方和为x2+(x+3)2
再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，
故答案为：x2+(x+3)2=65.
【分析】设最小的数，根据题意可知较大的数，然后算得它们的平方和，使其等于65即可得方程。
13.已知2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x-p=0 的一个根，则该方程的另一个根是________．
【答案】-6
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x-p=0 的一个根， ∴2+x1=-4, ∴x1=-6. ∴ 该方程的另一个根是-6．【分析】由根与系数的关系可求解。
14.（2017•淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为________．
【答案】0
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，
所以原式=a（α+β）﹣3α
=3α﹣3α
=0．
故答案为0．
【分析】根据根与系数的关系可得α+β=3，αβ=﹣4代入原式计算得出答案.
15.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为________．
【答案】1
【考点】因式分解﹣运用公式法，一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴1+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=1．
故答案为：1
第 11 页 共 11 页
【分析】将x=1代入原方程，可得出a+b=﹣1，再将代数式利用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值。
16.（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1 ， x2 ， 且满足1x1+1x2=3，则k的值是________ ．
【答案】2
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2 ，
∴x1+x2=6，x1x2=k，
1x1+1x2=x1+x2x1x2=6k=3，
解得：k=2，
故答案为：2．
【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
17.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
【答案】m＜ 94
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=m
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜ 94 ，
故答案为：m＜ 94 ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
18.解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________。
【答案】x-1=0或x+3=0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】（x-1）（x+3）=0，
x-1=0或x+3=0．
故答案为x-1=0或x+3=0
【分析】把方程左边分解，则原方程可化为x-1=0或x+3=0
19.若关于 x 的方程 (x-2)(x2-4x+m)=0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 m 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
第 11 页 共 11 页
②x2-4x+m=0， ∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+ 4-m
x3=2- 4-m
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2 ，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4
【分析】利用积为0的因数特点，可得出x-2=0或x2-4x+m=0，进而求出三个根，利用三角形构成条件，利用两根之和关系式，求出m的范围.
20.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是________%。
【答案】10
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设11、12两月平均每月降价的百分率是x ， 则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2 ， 由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【分析】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键
三、解答题（共8题；共60分）
21.解方程：（2x+3）2﹣25=0
【答案】解：移项得，（2x+3）2=25，
开方得，2x+3=±5，
解得x1=1，x2=﹣4．
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．
22.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设x1、x2方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求x12+x22+x1x2的值．
【答案】解：（1）根据题意得△=42﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜5；
（2）当m=1时，方程化为x2+4x=0，
则x1+x2=﹣4，x1x2=0，
所以x12+x22+x1x2=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣4）2﹣0=16．
第 11 页 共 11 页
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=42﹣4（m﹣1）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）的范围内取m=1，则根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣4，x1x2=0，再把x12+x22x1x2变形为（x1+x2）2﹣x1x2 ， 然后利用整体代入的方法计算．
23.如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．
（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；
（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？
【答案】（1）∵AB=2.5m，BC=O.7m，
∴AC=
∴A1C=AC-AA1=2.4-0.9=1.5m，
∴B1C=
∴BB1=B1C-BC=0.5m；
（2）梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为2x，
由勾股定理得：（2.4-x）2+（0.7+2x）2=2.52 ，
解得：x=，
答：梯子沿墙AC下滑的距离是米
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知∠C=90°，AB=2.5m，BC=0.7m，根据勾股定理可求出AC的长度，根据梯子顶端B沿墙下滑0.9m，可求出A1C的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出B1C的长度，进而求出BB1的长度．
（2）可设点B向外移动的距离的一半为2x，则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，根据勾股定理建立方程，解方程即可．
24.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．
第 11 页 共 11 页
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
【答案】解：①设道路的宽为x米．依题意得：
（35﹣2x）（20﹣2x）=600；
②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）=600；
③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）=540．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】①设道路的宽为x米．长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣2x；那么根据草坪的面积为600m2 ， 即可得出方程．
②如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为600m2 ， 即可得出方程．
③如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为540m2 ， 即可得出方程．
25.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
【答案】（1）（20+2x）；（40－x）
（2）（20+2x）（40－x）=1200，
解得 x1 =20 ，x2 =10 ，
答：每件童装降价20元或10元。
（3）（20+2x）（40－x）=2000 ，
800+60x-2x2=2000，
化简得x2-30x+600=0，
则b2-4ac=900-2400
微信/支付宝扫码支付