【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第25章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（ ）.
A. 15m B. 60m C. 20m D. 10 m
2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（ ）
A. 5-12 B. 3-52 C. 5-12 或 3-52 D. 不能确定
4.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝ 12 OD′，则A′B′∶AB为( )
A. 2∶3 B. 3∶2 C. 1∶2 D. 2∶1
5.如图，l1∥l2∥l3 ， 其中l1与l2、l2与l3间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③ADAE=ABAC ． 其中正确的有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A. 10m B. 9m C. 8m D. 7m
7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
第 29 页 共 29 页
A. 75cm，115cm B. 60cm，100cm C. 85cm，125cm D. 45cm，85cm
8.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM∶MC等于 ( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5
9.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若AD=4，DB=2，则DEBC的值为（ ）
A. 12 B. 23 C. 34 D. 2
10.（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是 12 ，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（共10题；共33分）
11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝10，BD＝5，AE＝6，则CE的长为________。
12.在某天的同一时刻，高为 1.5m 的小明的影长为 1m ，烟囱的影长为 20m ，则这座烟囱的高为________ m ．
13.如图，在△ABC中，DE∥BC， ADAB = 13 ，则 DEBC =________．
14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．
第 29 页 共 29 页
15.如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=102．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ________．
16.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．________ （判断对错）
17.如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC= 10 ，AC=5，那么△DBF的面积等于________．
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA，分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若OA=8，CF=4，则点E的坐标是________．
19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．
（1）如图，若tanB=2，则BEBC的值为________
（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若CC'BB'=325 ， 则tanB的值为________
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：
①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，
其中正确的序号是________．
三、解答题（共7题；共57分）
21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．
第 29 页 共 29 页
22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q和S ， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ． 如果测得QS=45m ， ST=90m ， QR=60m ， 求河的宽度PQ ．
23.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ADAC=13 ， AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
24.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．
（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；
（2）若正三角形ABC的边长为3+23 ， 则（1）中画出的正方形E′F′P′N′的边长 ．
第 29 页 共 29 页
25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且ÐAPQ=90°，AQ与BP相交于点T，则 BTTP 的值为多少？
26.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求：
（1）求BF和BD的长度．
（2）四边形BDEF的周长．
27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 ，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
第 29 页 共 29 页
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】3
12.【答案】30
13.【答案】13
14.【答案】4.8
15.【答案】25
16.【答案】×
17.【答案】4516
18.【答案】(-10，3)
19.【答案】13；34
20.【答案】①②③④
三、解答题
21.【答案】解答：由已知得，DG∥BC
∴△ADG∽△ABC ，
∵AH⊥BC
∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）
＝ ，
即DG＝ ＝50（m），
∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
22.【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ，
则△PQR∽△PST ，
第 29 页 共 29 页
故 = ，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
∴ = ，
解得：PQ=90（m），
∴河的宽度为90米．
23.【答案】证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵ADAC=13，
∴CD=2AD，
∴ADCD=AECB=12，
而∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD．
24.【答案】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′= 33x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+33x+33x=3+23，
∴解得：x=3，
第 29 页 共 29 页
故答案为：3．
25.【答案】解： 65
26.【答案】解：（1）∵AE=2CE，
∴CEAE=12，
∵EF∥AB
∴AEAC=BFBC=23，
∵BC=9，
∴BF=6，
∵DE∥BC
∴BDAB=CEAC=13，
∵AB=6，
∴BD=2；
（2）∵EF∥AB，DE∥BC
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF=2，DE=BF=6，
∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16．
27.【答案】（1）解：如图1，
设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵ PN∥BC ，
∴
第 29 页 共 29 页
△APN∼△ABC ，
∴ PNBC=AEAD ，即 x120=80-x80 ，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm
（2）解：如图2，
设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵ PN∥BC ，
∴ △APN∼△ABC ，
∴ PNBC=AEAD ，即 2x120=80-x80 ，
解得： x=2407 ，
∴ 2x=4807 ，
∴这个矩形零件的两条边长分别为 2407 mm， 4807 mm
（3）解：如图3，
设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S (mm2) ，
由条件可得 △APN∼△ABC ，
∴ PNBC=AEAD ，
即 x120=80-PQ80 ，
解得： PQ=80-23x ．
则 S=PN⋅PQ=x(80-23x)=-23x2+80x=-23(x-60)2+2400 ，
故S的最大值为 2400mm2 ，此时 PN=60mm ， PQ=80-23×60=40(mm)
第 29 页 共 29 页
【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第25章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（ ）.
A. 15m B. 60m C. 20m D. 10 m
【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】设这棵树的高度为xm，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的得： ＝ ，
∴x= =15
∴这棵树的高度是15m．
故选A．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解答：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC ， ∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；（3） = ，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD•BC ， ∴ = ，
∵∠B=∠B ，
∴△ABD∽△CBA ，
∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
故选 B
分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．
3.线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（ ）
A. 5-12 B. 3-52 C. 5-12 或 3-52 D. 不能确定
【答案】C
【考点】黄金分割
第 29 页 共 29 页
【解析】【解答】解：设MP=x，则PN=1﹣x，根据题意得 x1-x=1-x1 ， 解得，x= 3-52 或 3+52 ＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣ 3-52 = 5-12 ．
故选C．
【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可．
4.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝ 12 OD′，则A′B′∶AB为( )
A. 2∶3 B. 3∶2 C. 1∶2 D. 2∶1
【答案】D
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比.
∴A′B′：AB=OD′：OD=2：1.
故答案为：D.
【分析】由题，根据OD与OD′的数量关系，可以得出两个图形的位似比。
5.如图，l1∥l2∥l3 ， 其中l1与l2、l2与l3间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③ADAE=ABAC ． 其中正确的有（ ）
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
第 29 页 共 29 页
【答案】A
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：l1与l2、l2与l3间的距离为l，则△ADE和△ABC分别是l，2l，
∵l1∥l2∥l3 ，
∴△ADE∽△ABC，
∴故选项②正确．
∵△ADE∽△ABC，
∴ADAE=ABAC ，
∴故选项③正确，
∵△ADE∽△ABC，
DEBC=121=12 ，
即BC=2DE，
故正确的有3个，
故选：A．
【分析】根据l1∥l2∥l3判断△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质对所给命题进行判断．
6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A. 10m B. 9m C. 8m D. 7m
【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形， 若设旗杆高x米，
则 2.4x=88+22 ，
∴x=9．
故选B．
【分析】利用相似三角形对应边成比例解题．
7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A. 75cm，115cm B. 60cm，100cm C. 85cm，125cm D. 45cm，85cm
【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，
第 29 页 共 29 页
所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．
【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．
8.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM∶MC等于 ( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5
【答案】B
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据中位线定理证明△NDM∽△NBC后求解．
【解答】∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，
∴DM∥BC，DM=ME=14BC．
∴△NDM∽△NBC，DMBC=NMCN=14．
∴NMMC=13．
故选：B
【点评】本题考查了三角形中位线定理及相似三角形的性质．
9.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若AD=4，DB=2，则DEBC的值为（ ）
A. 12 B. 23 C. 34 D. 2
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由DE//BC可证得△ADE∼△ABC，再根据相似三角形的性质求解即可。
【解答】∵DE//BC
∴△ADE∼△ABC
∵AD=4，DB=2
∴DEBC=ADAB=46=23
故选B。
第 29 页 共 29 页
【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
10.（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是 12 ，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°， ∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2 ，
∴AN2+CM2=MN2 ， 故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
第 29 页 共 29 页
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，
∴△MNB的面积= 12 x（2﹣x）=﹣ 12 x2+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值 12 ，
此时S△OMN的最小值是1﹣ 12 = 12 ，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．
【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
二、填空题（共10题；共33分）
11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝10，BD＝5，AE＝6，则CE的长为________。
【答案】3
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】根据平行线分线段成比例定理即由DE∥BC，可直接得 ADBD=AEEC ，即 105=6CE ，解得EC=3．【分析】运用平分线分线段成比例，列出比例等式求CE的长即可。
12.在某天的同一时刻，高为 1.5m 的小明的影长为 1m ，烟囱的影长为 20m ，则这座烟囱的高为________ m ．
【答案】30
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解: 设烟囱的高为x， 由题意得： 1.51=x20 ，
∴x=30
∴烟囱的高为30米．
第 29 页 共 29 页
故答案为：30.
【分析】根据同一时刻，同一地点同一水平面上，不同物体的高度与影长成比例，即可列出方程，求解即可。
13.如图，在△ABC中，DE∥BC， ADAB = 13 ，则 DEBC =________．
【答案】13
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ DEBC = ADAB = 13 ．
故答案为： 13
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。
14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．
【答案】4.8
【考点】相似三角形的应用，平行投影
【解析】【解答】解：设此树的高度是hm，则 1.61.2 = h3.6 ，解得h=4.8（m）． 故答案为：4.8．
【分析】设此树的高度是hm，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
15.（2015•佛山市）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=102．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ________．
【答案】25
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 ，
∵AB=BC，AC=102．
∴2AB2=200，
第 29 页 共 29 页
∴AB=BC=10，
设EF=x，则AF=10﹣x
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC
∴EFBC=AFAB，即x10=10-x10，
∴x=5，
∴EF=5，
∴此正方形的面积为5×5=25．
故答案为25．
【点评】主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．
16.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．________ （判断对错）
【答案】×
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，
∴一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍，错误．
故答案为：×．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．
17.如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC= 10 ，AC=5，那么△DBF的面积等于________．
【答案】4516
【考点】相似三角形的性质，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△BDC∽△ABC， ∴ BCCD=ACBC ，∠CBD=∠A，
∴CD= BC2AC ，
∵BC= 10 ，AC=5，
∴CD=2，
∴AD=3，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，
第 29 页 共 29 页
∴∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，
∴∠EBF=∠CBD，
∴∠EBF=∠A，
∴BE∥AC，
∴∠ADF=∠E，
∴∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，
∴EF=BF，AF=DF，
∴AF+BF=EF+DF，
即AB=DE=AC=5，
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△BEF，
∴ DFEF = ADBE = 35 ，
∴ DFDE = 38 ，
过A 作AH⊥BC于H，
∴AH= 52-(102)2 = 3102 ，
∵S△BDE=S△ABC= 12 × 10 × 3102 = 152 ，
∴△DBF的面积= 38 S△ABC= 4516 ．
故答案为： 4516 ．
【分析】根据相似三角形的性质得到 BCCD=ACBC ，∠CBD=∠A，得到CD=2，AD=3，根据旋转的性质得到∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，得到∠EBF=∠A，根据平行线的判定和性质得到∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，根据等腰三角形的判定得到EF=BF，AF=DF，得到AB=DE=AC=5，根据相似三角形的性质得到 DFDE = 38 ，过A 作AH⊥BC于H，于是得到结论．
第 29 页 共 29 页
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA，分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若OA=8，CF=4，则点E的坐标是________．
【答案】(-10，3)
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCO中，
∴CE∥AO.
∴△CEF∽△OFA.
∴CEOF=CFOA.
又∵OA=8，CF=4.
∴OF=2CE.
设CE=x，则BE=8-x.
根据折叠的性质，可得EF=8-x.
∴x2+42=(8-x)2 ，
∴x=3，
∴OF=6，
∴OC=10，
∴点E的坐标为（-10，3）.
故答案为：（-10，3）
【分析】根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得 x 2 + 4 2 = ( 8 − x ) 2 ，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.
19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．
（1）如图，若tanB=2，则BEBC的值为________
（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若CC'BB'=325 ， 则tanB的值为________
【答案】13；34
第 29 页 共 29 页
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，
∴ED=EC，∠CED=90°，
在Rt△BDE中，∵tanB=DEBE=2，
∴DE=2BE，
∴
（2）连结DC、DC′，如图，
∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，
∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，
即
∴△DBB′∽△DCC′，
∴DBDC=CC'BB'=325
设DC=32x，BD=5x，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DE=3x，
在Rt△BDE中，BE=
∴tanB=
故答案为13 ， 34 ．
【分析】（1）由正方形的性质得ED=EC，∠CED=90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE=2BE，则CE=BE，所以BEBC=13；
（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，则可判断
第 29 页 共 29 页
△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得DBDC=CC'BB'=325 ， 则可设DC=32x，BD=5x，然后利用正方形性质得DE=3x，接着利用勾股定理计算出BE=4x，最后根据正切的定义求解．
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：
①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，
其中正确的序号是________．
【答案】①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
⑴结论①正确．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM与△ABF中，
{AC=AB∠CAM=∠B=45°AM=BF ，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；
⑵结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，
∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
第 29 页 共 29 页
∴CE⊥AF；
⑶结论③正确．理由如下：
证法一：∵CE⊥AF，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠7=∠2，
∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
∴NG=AG，
∴∠MNG=∠3，
∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG与△NCG中，
{AD=CN∠DAG=∠CNGAG=NG ，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，
又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
⑷结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，
∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°= 12 ∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
故答案为：①②③④
第 29 页 共 29 页
【分析】 结论①正确，证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确，由△ACM≌△ABF得出∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF，结论③正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等。
三、解答题（共7题；共57分）
21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．
【答案】解答：由已知得，DG∥BC
∴△ADG∽△ABC ，
∵AH⊥BC
∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）
＝ ，
即DG＝ ＝50（m），
∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF ， 此时有∠ADG=∠B ， ∠AGD=∠C ， 所以△ADG∽△ABC ， 利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q和S ， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ． 如果测得QS=45m ， ST=90m ， QR=60m ， 求河的宽度PQ ．
【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ，
则△PQR∽△PST ，
故 = ，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
第 29 页 共 29 页
∴ = ，
解得：PQ=90（m），
∴河的宽度为90米．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出 = ，进而代入求出即可．
23.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ADAC=13 ， AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
【答案】证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵ADAC=13，
∴CD=2AD，
∴ADCD=AECB=12，
而∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由ADAC=13得到CD=2AD，则ADCD=AECB ， 然后根据两边及其夹角法可得到结论．
24.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．
（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；
第 29 页 共 29 页
（2）若正三角形ABC的边长为3+23 ， 则（1）中画出的正方形E′F′P′N′的边长 ．
【答案】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′= 33x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+33x+33x=3+23，
∴解得：x=3，
故答案为：3．
【考点】位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长．
第 29 页 共 29 页
25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且ÐAPQ=90°，AQ与BP相交于点T，则 BTTP 的值为多少？
【答案】解： 65
【考点】平行线的判定，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ： 过点B作BE⊥AQ于点E，过点 P作PH⊥AQ于点H,
设正方形的边长是2.则DP=CP=1，AD=2.
∴AP=5
∵∠APQ=90∘,
∴∠APD+∠CPQ=90∘ ，
又∵∠APD+∠PAD=90∘ ，
∴∠PAD=∠CPQ,
∵∠C=∠D ;
∴△ADP∽△PCQ.
∴AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.
即2:1=5:PQ=1:CQ，
所以PQ=52 ， CQ=0.5.
BQ=2−0.5=1.5.
∴AQ=52
S△ABQ=12AB×BQ=12AQ×BE
BE=AB·BQAQ=65
S△APQ=12AP×PQ=12AQ×PH，
PH=AP·PQAQ=1;
第 29 页 共 29 页
又BE⊥AQ，PH⊥AQ，
∴BE∥PH;
∴△BET∽△PHT，
BT:PT=BE:PH=6:5.
【分析】 过点B作BE⊥AQ于点E，过点 P作PH⊥AQ于点H, 设正方形的边长是2.则DP=CP=1，AD=2.根据勾股定理得出AQ的长度，根据平角的定义，及直角三角形两锐角互余得出∠APD+∠CPQ=90∘，∠APD+∠PAD=90∘，根据同角的余角相等得出∠PAD=∠CPQ,从而判断出△ADP∽△PCQ.根据相似三角形对应边成比例得出AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.从而得出PQ.CQ,BQ,AQ,的长度，根据面积法得出BE,PH的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BE∥PH;根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，得出△BET∽△PHT，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出结论。
26.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求：
（1）求BF和BD的长度．
（2）四边形BDEF的周长．
【答案】解：（1）∵AE=2CE，
∴CEAE=12，
∵EF∥AB
∴AEAC=BFBC=23，
∵BC=9，
∴BF=6，
∵DE∥BC
∴BDAB=CEAC=13，
∵AB=6，
∴BD=2；
（2）∵EF∥AB，DE∥BC
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF=2，DE=BF=6，
∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；
（2）先证明四边形BDEF是平行四边形，得出对应边相等，即可得出结果．
第 29 页 共 29 页
27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 ，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）解：如图1，
设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵ PN∥BC ，
∴ △APN∼△ABC ，
∴ PNBC=AEAD ，即 x120=80-x80 ，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm
（2）解：如图2，
设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵ PN∥BC ，
∴ △APN∼△ABC ，
∴ PNBC=AEAD ，即 2x120=80-x80 ，
解得： x=2407 ，
∴ 2x=4807 ，
∴这个矩形零件的两条边长分别为 2407 mm
第 29 页 共 29 页
， 4807 mm
（3）解：如图3，
设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S (mm2) ，
由条件可得 △APN∼△ABC ，
∴ PNBC=AEAD ，
即 x120=80-PQ80 ，
解得： PQ=80-23x ．
则 S=PN⋅PQ=x(80-23x)=-23x2+80x=-23(x-60)2+2400 ，
故S的最大值为 2400mm2 ，此时 PN=60mm ， PQ=80-23×60=40(mm)
【考点】相似三角形的判定与性质，配方法的应用
【解析】【分析】（1）设正方形的边长为x，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，由△APN ∼ △ABC，根据相似三角形的性质可得PNBC=AEAD,代入可得x。
（2） 设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，由△APN∼△ABC，根据相似三角形性质可得，PNBC=AEAD ， 代入求得PQ，再求得PN。
（3） 根据相似三角形的性质可得PNBC=AEAD ， 用含有x的代数式表示PQ，再表示面积S，最后配方求得S的最大值。
第 29 页 共 29 页
微信/支付宝扫码支付