【易错题解析】浙教版九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 单元测试卷
一、单选题(共10题;共30分)
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=30°,则∠ACB的大小为( )
A. 60° B. 30° C. 45° D. 50°
【答案】A
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数,再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数.
【解答】△AOB中,OA=OB,∠ABO=30°;
∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°;
∴∠ACB=12∠AOB=60°;故选A.
【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用,涉及到的知识点还有:等腰三角形的性质以及三角形内角和定理
2.如图,水平地面上有一面积为30π㎝2的扇形AOB,半径OA=6㎝,且OA与地面垂直,在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则O点移动的距离为 ( )
A. 20cm B. 24cm C. 10πcm D. 30πcm
【答案】C
【考点】弧长的计算,扇形面积的计算
【解析】【分析】结合图形,则O点移动的距离即为优弧AB的长,根据扇形面积公式进行计算.
【解答】由题意可得出:点O移动的距离为扇形的弧长,
∵面积为30πcm2的扇形AOB,半径OA=6cm,
∴30π=12×l×6,
∴扇形弧长为:l=10π(cm).
故选:C.
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【点评】此题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式,利用S扇形=12×弧长×圆的半径求出弧长是解题关键.
3.一条水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC的的长是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【考点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解:∵OC⊥AB,
∴BC= 12AB=8 ,
在Rt△OBC中,OC= OB2-BC2=100-64=6 .
故答案为:C.
【分析】由OC⊥AB,符合垂径定理,即经过O,C的直径平分弦AB,即BC= 12AB ,再由勾股定理算出OC即可.
4.一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是( )
A. 24cm2 B. 63cm2 C. 123cm2 D. 83cm2
【答案】B
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】∵正六边形内接于半径为2cm的圆内,∴正六边形的半径为2cm,∵正六边形的半径等于边长,∴正六边形的边长a=2cm;
∴正六边形的面积S=6×12×2×2sin60°=63cm2 . 故选B.
【分析】根据正六边形的边长等于半径进行解答即可.
5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A. 15 B. 2 5 C. 2 15 D. 8
【答案】C
【考点】垂径定理
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【解析】【解答】解:作OH⊥CD于H,连结OC,如图,
∵OH⊥CD,
∴HC=HD,
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,
∴OA=4,
∴OP=OA﹣AP=2,
在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,
∴∠POH=60°,
∴OH= 12 OP=1,
在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,
∴CH= OC2-OH2 = 15 ,
∴CD=2CH=2 15 .
答案为:C.
【分析】过圆心作出垂线,连接半径,构造出直角三角形,求出弦的一半CH ,再求出全长.
6.已知⊙O是以坐标原点O为圆心,5为半径的圆,点M的坐标为(﹣3,4),则点M与⊙O的位置关系为( )
A. M在⊙O上 B. M在⊙O内 C. M在⊙O外 D. M在⊙O右上方
【答案】A
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解:OM==5,
OM=r=5.
故选:A.
【分析】根据勾股定理,可得OM的长,根据点与圆心的距离d,则d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.
7.如图,A,B,C三点在已知的圆上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是 BAC 的中点,连接DB,DC,则∠DBC的度数为( )
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A. 30° B. 45° C. 50° D. 70°
【答案】C
【考点】圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理
【解析】【解答】解:∵∠ABC=70°,∠ACB=30°, ∴∠A=80°,
∴∠D=∠A=80°,
∵D是 BAC 的中点,
∴ BD=CD ,
∴BD=CD,
∴∠DBC=∠DCB= 1800-∠D2 =50°,
故选C.
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°,根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°,根据等腰三角形的内角和即可得到结论.
8.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠DAB=64°,则∠BCD的度数是( )
A. 64° B. 90° C. 136° D. 116°
【答案】D
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠DAB+∠BCD=180°,又∠DAB=64°,
∴∠BCD=116°,
故选:D.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出算式,根据已知求出答案.
9.如图,在⊙O中,∠AOB=120°,P为弧AB上的一点,则∠APB的度数是( )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
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【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解:在优弧AB上取点C,连接AC、BC, 由圆周角定理得,∠ACB= 12∠ AOB=60°,
由圆内接四边形的性质得到,∠APB=180°﹣∠ACB=120°,
故选:C.
【分析】在优弧AB上取点C,连接AC、BC,根据圆周角定理和圆内接四边形的性质解答即可.
10.如图,AB切⊙O于点B,OA=23,∠A=30°,弦BC∥OA,则劣弧的弧长为
A. 33π B. 32π C. π D. 32π
【答案】A
【考点】弧长的计算
【解析】【分析】连接OB,OC,
∵AB为圆O的切线,
∴∠ABO=90°,
在Rt△ABO中,OA=23,∠A=30°,
∴OB=3,∠AOB=60°,
∵BC∥OA,
∴∠OBC=∠AOB=60°,
又OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,
∴∠BOC=60°,
则劣弧长为60π×3180=33π.
故选A.
二、填空题(共10题;共30分)
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11.已知扇形的半径为8 cm,圆心角为45°,则此扇形的弧长是________cm.
【答案】2π
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解:∵扇形中,半径r=8cm,圆心角α=45°,
∴弧长l= 45π×8180 =2πcm
故答案为:2π.
【分析】由弧长公式l=nπr180可求解。
12.如图:四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A=n°,则∠DCE=________°.
【答案】n
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为:n
【分析】根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可得出答案。
13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若⊙O的半径为6,∠A=130°,则扇形OBAD的面积为________.
【答案】10π
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连结OB、OD,如图,
∵∠A+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣130°=50°,
∴∠BOD=2∠C=100°,
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∴扇形OBAD的面积= 100×π×62360 =10π.
故答案为10π.
【分析】根据圆周角和圆心角的关系,求出∠BOD=2∠C的度数,根据面积公式求出扇形OBAD的面积.
14.如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,若∠C=22.5°,AB=6cm,则阴影部分面积为________.
【答案】92 π﹣9
【考点】垂径定理,扇形面积的计算
【解析】【解答】解:连接OA,OB, ∵∠C=22.5°,
∴∠AOD=45°,
∵AB⊥CD,
∴∠AOB=90°,
∴OE= 12 AB=3,OA=OB= 22 AB=3 2 ,
∴S阴影=S扇形﹣S△AOB= 90⋅π×(32)2360 ﹣ 12× 6×3= 92 π﹣9,
故答案为: 92 π﹣9.
【分析】连接OB,OA,根据圆周角定理得出∠AOD的度数,再根据弦AB⊥CD,得到OA,OE的长,然后根据图形的面积公式即可得到结论.
15.如图,线段AB的端点A、B分别在x轴和y轴上,且A(2,0),B(0,4),将线段AB绕坐标原点O逆时针旋转90°得线段A'B',设线段AB'的中点为C,则点C的坐标是________.
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【答案】(﹣1,0)
【考点】旋转的性质,坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解:如图,
由旋转可得,B'O=BO=4,
又∵AO=2,
∴AB'=6,
∵线段AB'的中点为C,
∴AC=3,
∴CO=3﹣2=1,即点C的坐标是(﹣1,0),
故答案为:(﹣1,0).
【分析】依据旋转的性质即可得到B'D=BO=4,根据线段AB'的中点为C,即可得到CO=1,即点C的坐标为(﹣1,0)。
16.在半径为6cm的圆中,圆心角为120°的扇形的面积是________ cm2 .
【答案】12π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解:由题意得,n=120°,R=6cm,
故圆心角为120°的扇形的面积= 120π×62360 =12π(cm2).
故答案为12π.
【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案.
17.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为________,则图中阴影部分的面积是________.
【答案】2π6;π6
【考点】扇形面积的计算,旋转的性质
【解析】【解答】解:∵∠ACB=90°,AC=BC=1, ∴AB= 12+12 = 2 ,
∴点B经过的路径长= 30π⋅2180 = 2π6 ;
由图可知,S阴影=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC ,
由旋转的性质得,S△ADE=S△ABC ,
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∴S阴影=S扇形ABD= 30π⋅(2)2360 = π6 .
故答案为: 2π6 ; π6 .
【分析】利用勾股定理列式求出AB,根据弧长公式列式计算即可求出点B经过的路径长,再根据S阴影=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC , 再根据旋转的性质可得S△ADE=S△ABC , 然后利用扇形的面积公式计算即可得解.
18.(2016•福州)如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r上 , 下方的弧半径为r下 , 则r上________r下 . (填“<”“=”“<”)
【答案】<
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,r上<r下 .
故答案为<.
【分析】利用垂径定理,分别作出两段弧所在圆的圆心,然后比较两个圆的半径即可.本题考查了弧长公式:圆周长公式:C=2πR (2)弧长公式:l= n·π·R180 (弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R);正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧不一定是等弧,只有在同圆或等圆中,才有等弧的概念,才是三者的统一.
19.在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,4),与原点的连线OA绕原点顺时针转90°,得到线段OB , 连接线段AB , 若直线y=kx-2与△OAB有交点,则k的取值范围是________.
【答案】k≤-3或k≥1.
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
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【解析】【解答】如图,点A(-2,4)绕原点顺时针转90°后的对应点B的坐标为(4,2),
直线经过点A时,-2k-2=4,
解得k=-3,
直线经过点B时,4k-2=2,
解得k=1,
所以,直线y=kx-2与△OAB有交点时k的取值范围是k≤-3或k≥1.
故答案为:k≤-3或k≥1.
【分析】作出图形,然后求出直线经过点A、B时的k值,再写出k的取值范围即可.
20.如图,在扇形OAB中,C是OA的中点, CD⊥OA ,CD与 AB 交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作 CE 交OB于点E,若 OA=4 , ∠AOB=120∘ ,则图中阴影部分的面积为________ .( 结果保留 π)
【答案】43π+23
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】如图,连接OD,AD,
∵ 点C为OA的中点,
∴OC=12OA=12OD ,
∵CD⊥OA ,
∴∠CDO=30∘ , ∠DOC=60∘ ,
∴△ADO 为等边三角形,
∴CD=23 ,
∴S扇形AOD=60π×42360=83π
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,
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形AOD-S△COD) ,
=120π×42360-120π×22360-(83π-12×2×23) ,
=163π-43π-83π+23 ,
=43π+23 ,
故答案为: 43π+23 .
【分析】连接OD,AD,先证明△ ADO 为等边三角形,从而求出扇形AOD的面积,再由阴影部分的面积=扇形AOB的面积-扇形COE的面积-(扇形AOD的面积-△COD的面积),求出答案.
三、解答题(共9题;共60分)
21.如图,已知AD是△ABC的中线.
(1)画出以点D为对称中心与△ABD成中心对称的三角形.
(2)画出以点B为对称中心与(1)所作三角形成中心对称的三角形.
(3)问题(2)所作三角形可以看作由△ABD作怎样的变换得到的?
【答案】(1)如图所示,△ECD是所求的三角形
(2)如图所示,△E'C'D'是所求的三角形
(3)△E'C'D'是由△ABD沿DB方向平移得到的
【考点】作图﹣旋转变换
【解析】【解答】解:(1)如图所示,△ECD是所求的三角形:(2)如图所示,△E'C'D'是所求的三角形:(3)△E'C'D'是由△ABD沿DB方向平移得到的.
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【分析】(1)延长AD到E,使AD=DE连接CE,则△ECD为所求作的三角形.(2)根据对应点连线经过对称中心,且对称中心平分对应点连线,可得出各点的对称点,顺次连接即可得出答案.(3)结合所画图形即可得到答案.
22.已知:如图所示,AD=BC。
求证:AB=CD。
【答案】解:
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
【分析】此题考查了圆心角弦弧的关系,利用好相关条件.
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23.如图,在⊙O中,=,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
【答案】证明:∵ =,∴AB=AC,△ABC为等腰三角形(相等的弧所对的弦相等)
∵∠ACB=60°
∴△ABC为等边三角形,AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA(相等的弦所对的圆心角相等)
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆内弧相等可得AB=AC,即△ABC为等腰三角形。再根据∠ACB=60°可判定△ABC为等边三角形,所以AB=BC=CA。最后根据相等的弦所对的圆心角相等可得AOB=∠BOC=∠COA。
24.如图,已知AB,CB为⊙O的两条弦,请写出图中所有的弧.
【答案】解:图中的弧为 BC,AB,AC,ACB,BAC,ABC.
【考点】圆的认识
【解析】【分析】根据圆上任意两点之间的部分叫弧即可解答。
25.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°.
(1)求∠BAC的度数;
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(2)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【答案】解:(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,
∴∠ABC=∠D=60°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=180°﹣90°﹣60°=30°;
(2)连结OC,
∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形
∴OC=BC=4,∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的长为120π×4180=83π
【考点】弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出∠ABC=60°,∠ACB=90°,根据三角形内角和定理求出即可;
(2)连接OC,得出等边三角形BOC,求出OC=4,∠BOC=60°,求出∠AOC,根据弧长公式求出即可.
26.已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,求F、C两点的距离.
【答案】解:顺时针旋转得到F1点,
∵AE=AF1,AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
∴△ADE≌△ABF1,
∴F1C=1;
逆时针旋转得到F2点,同理可得△ABF2≌△ADE,
∴F2B=DE=2,
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F2C=F2B+BC=5.
【考点】旋转的性质
【解析】【分析】题目里只说“旋转”,并没有说顺时针还是逆时针,而且说的是“直线BC上的点”,所以有两种情况,即一个是逆时针旋转,一个顺时针旋转,根据旋转的性质可知.
27.)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠CDB=30°,CD=23 , 求图中阴影部分的面积.
【答案】解:∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=3.
∵∠CDB=30°,
∴∠COE=60°,
在Rt△OEC中,OC=OEsin60°=332=2,
∵CE=DE,
∠COE=∠DBE=60°
∴Rt△COE≌Rt△DBE,
∴S阴影=S扇形OBC=16π×OC2=16π×4=23π.
【考点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,由垂径定理得CE=DE,再根据三角函数的定义即可得出OC,可证明Rt△COE≌Rt△DBE,即可得出S阴影=S扇形OBC .
28.如图,AD为△ABC的外接圆O的直径,AE⊥BC于E.求证:∠BAD=∠EAC.
【答案】证明:连接BD,
∵AD是△ABC的外接圆直径,
∴∠ABD=90°.
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∴∠BAD+∠D=90°.
∵AE是△ABC的高,
∴∠AEC=90°.
∴∠CAE+∠ACB=90°.
∵∠D=∠ACB,
∴∠BAD=∠EAC.
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】因为AD是△ABC的外接圆直径,所以∠ABD=90°,根据∠BAD+∠D=90°,∠AEC=90°,可知∠D=∠ACB,所以∠BAD=∠CAE.
29.如图,已知AB是半圆O的直径,点P是半圆上一点,连结BP,并延长BP到点C,使PC=PB,连结AC.
(1)求证:AB=AC.
(2)若AB=4,∠ABC=30°.
①求弦BP的长.②求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明:连接AP,
∵AB是半圆O的直径,
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BC.
∵PC=PB,
∴△ABC是等腰三角形,即AB=AC;
(2)解:①∵∠APB=90°,AB=4,∠ABC=30°,
∴AP=12AB=2,
∴BP=AB2-AP2=42-22=23;
②连接OP,
∵∠ABC=30°,
∴∠PAB=60°,
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∴∠POB=120°.
∵点O时AB的中点,
∴S△POB=12S△PAB=12×12AP•PB=14×2×23=3,
∴S阴影=S扇形BOP﹣S△POB
=120π×22360﹣3
=43π﹣3.
【考点】扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)连接AP,由圆周角定理可知∠APB=90°,故AP⊥BC,再由PC=PB即可得出结论;
(2)①先根据直角三角形的性质求出AP的长,再由勾股定理可得出PB的长;
②连接OP,根据直角三角形的性质求出△PAB的度数,由圆周角定理求出∠POB的长,根据S阴影=S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论.
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