【易错题解析】浙教版九年级数学上册 第一章 二次函数 单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A. 2米 B. 3米 C. 5米 D. 6米
【答案】C
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：∵h=﹣3（t﹣2）2+5， ∴当t=2时，h取得最大值，此时h=5，
故选C．
【分析】根据二次函数的解析式，可以得到二次函数的最大值，从而可以解答本题．
2.要得到二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y=﹣2x2的图象（ ）
A. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 D. 向左平称1个单位，再向上平移3个单位
【答案】C
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（1，﹣1），
y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
所以，要得到二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y=﹣2x2的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的几何变换分别找出两个函数的顶点坐标，通过观察顶点坐标的变换特点即可得出平行规律。
3.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣1与x轴交点的个数（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∵b2﹣4ac=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0
∴二次函数y=x2﹣1的图象与x轴有两个交点．
故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先求出方程的判别式的值大于0，根据二次函数的图象与一元二次方程的联系可得答案.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
第 17 页 共 17 页
4.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t＞﹣5 B. ﹣5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. ﹣5＜t≤4
【答案】D
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-m2·-1=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
5.如果一个实际问题的函数图象的形状与y= 的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，那么它的函数解析式为( )．
A. y= B. y= 或y=
C. y= D. y= 或y=
【答案】B
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系
第 17 页 共 17 页
【解析】【解答】设函数的解析式为y=a（x—h）+k, 因为函数图象的形状与y=— 的形状相同，所以a为 或是— ，然后把顶点坐标（4，—2）代入解析式，即可得到答案. 【分析】此题考查学生对函数图象特征及二次函数解析式的确定，注意而函数图象形状相同时开口分为向上和向下两种，知道顶点时设函数解析式为顶点式比较容易.
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A. ①② B. 只有① C. ③④ D. ①④
【答案】D
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵﹣ b2a ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣ b2a =﹣1，即2a﹣b=0，②错误；
∴x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③错误；
∴x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选D．
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
7.二次函数y=2（x+1）2-3的图象的对称轴是（ ）
A. 直线x=3 B. 直线x=1 C. 直线x=-1 D. 直线x=-2
【答案】C
【考点】二次函数的性质
第 17 页 共 17 页
【解析】【分析】二次函数的顶点式为：y=a（x-h)2+k，其中a的正负确定抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k)．
【解答】二次函数y=2（x+1)2-3，是二次函数的顶点式，对称轴是直线x=-1．
故选C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，把二次函数化为顶点式，根据顶点式可以知道二次函数的开口方向，对称轴以及顶点坐标．
8.把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. -14 D. 10
【答案】B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】先化解析式y=x2-2x+3为顶点式，再根据二次函数的平移规律求解即可.
y=x2-2x+3=(x-1)2+2
则把抛物线y=(x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的解析式为
y=(x+2)2+4=x2+4x+8
所以b=4,c=8,b+c=12
故选B.
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A. y=60（300+20x） B. y=（60﹣x）（300+20x）
C. y=300（60﹣20x） D. y=（60﹣x）（300﹣20x）
【答案】B
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
10.如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ；②2a+b=0；③a+b+c＞0 ；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的个数为（ ）
第 17 页 共 17 页
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）
【解析】【分析】由图象知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象开口向下，所以a0即a+b+c＞0，所以③正确；
由图知当-1＜x＜3时图象在X轴的上方，函数值大于0，即y＞0，所以④正确。
【点评】考查二次函数的知识，掌握二次函数的性质是解本题的关键，比如开口方向，对称轴等。
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为________．
【答案】y=x2﹣ 12 x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，
∴这条边上的高为：2x﹣1，
根据题意得出：y= 12 x（2x﹣1）=x2﹣ 12 x．
故答案为：y=x2﹣ 12 x．
【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可．
12.如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是________．（精确到0.1）
【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
第 17 页 共 17 页
13.将二次函数y=2x2-1的图像沿y轴向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为________．
【答案】y=2x2+1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由二次函数 y=2x2-1 的图象沿y轴向上平移2个单位，因此所得图象对应的函数表达式为： y=2x2-1+2=2x2+1【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
14.若A（ -134 ， y1 ），B（ -54 ， y2 ），C（1， y3 ）为二次函数y= x2 +4x﹣5的图象上的三点，则 y1 、 y2 、 y3 的大小关系是________．
【答案】y2 ＜ y1 ＜ y3
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】将二次函数y= x2 +4x﹣5配方得 y=(x+2)2-9 ，所以抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，因为A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，所以 y2 ＜ y1 ＜ y3 ．
故答案为： y2 ＜ y1 ＜ y3 ．
【分析】先将抛物线配成顶点式，，然后根据抛物线的开口向上，对称轴判断出A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，从而得出 y2＜ y1＜ y3 ．
15.将抛物线 y=2(x-1)2+4 ，绕着它的顶点旋转 180∘ ，旋转后的抛物线表达式是________．
【答案】y=-2(x-1)2+4
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 y=2(x-1)2+4 的顶点为（1,4），
∵原抛物线是绕顶点（1,4）旋转，
∴旋转后的抛物线的顶点依然是（1,4）.
∵旋转了180°，
∴原来开口向上变成开口向下，但开口形状不变，∴二次项系数为-2，
∴旋转后的抛物线表达式为 y=-2(x-1)2+4 ，
故答案为： y=-2(x-1)2+4
【分析】求抛物线的几何变化中的解析式，需要将解析式化成顶点式；根据顶点变化，及二次项系数的变化，可得到新的解析式.以顶点为中心旋转，∴顶点不变，但抛物线的开口方向变了.
16.（2016•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是________．
【答案】（﹣2，0）
【考点】抛物线与x轴的交点
第 17 页 共 17 页
【解析】【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x= m2 ， 设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x= m2 ，得
x+m+22 = m2 ，
解得x=﹣2，
即A点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．
17.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当x=3时，y=________．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
7
3
1
1
3
…
【答案】13
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意得： {9a-3b+c=74a-2b+c=3a-b+c=1 ，
解得： {a=1b=1c=1 ，
则二次函数的解析式是y=x2+x+1，
当x=3时，y=9+3+1=13．
故答案是：13．
【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，把x=3代入解析式，求出y的值.
18.飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t﹣2t2 ， 飞机着陆后滑行的最远距离是________m．
【答案】800
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵﹣2＜0，
∴函数有最大值．
当t=﹣ 802×(-2) =20时，
s最大值= 8024×(-2) =800（米），
即飞机着陆后滑行800米才能停止．
故答案为：800．
【分析】求出抛物线的顶点坐标，即可得出结果。
19.定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x2﹣2x，当x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为________．
第 17 页 共 17 页
【答案】m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∵x≤3时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
当f（x）=0时，由x2﹣2x=0得x=0或x=2，
∴抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
∵x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24=（x﹣5）2﹣1，
∴此时抛物线的顶点坐标为（5，﹣1），
当f（x）=0时，由x2﹣10x+24=0得x=4或x=6，
∴此时抛物线与x轴的交点为（4，0）和（6，0），
由 {f(x)=x2-2xf(x)=x2-10x+24 可得 {x=3f(x)=3 ，即两抛物线交点坐标为（3，3），
如图所示：
直线f（x）=2x+m可看作直线y=2x平移得到，
①当直线f（x）=2x+m过点（3，3），即6+m=3，得m=﹣3时，
直线f（x）=2x+m与f（x）=x2﹣2x的图象有两个交点；
②当直线f（x）=2x+m与f（x）=x2﹣2x有一个交点，即x2﹣2x=2x+m只有一个解时，方程f（x）=2x+m有且只有两个解，
解得：m=﹣4，
当直线f（x）=2x+m与f（x）=x2﹣10x+24只有1个交点时，即2x+m=x2﹣10x+24只有一个解，
解得：m=﹣12，
由图象可知当m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4时，方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，
故答案为：m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4．
【分析】分别画出x≤3和x＞3的函数图象，得出两抛物线的交点坐标（3，3），结合函数图象知①直线f（x）=2x+m过点（3，3）时；②当直线f（x）=2x+m与f（x）=x2﹣2x只有一个交点时，方程只有一个实数解，分别求出m的值，结合函数图象可得m的取值范围．
第 17 页 共 17 页
20.（2017•玉林）已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论： ①b＜1；②c＜2；③0＜m＜ 12 ；④n≤1．
则所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4）， ∴ {a-b+c=14a+2b+c=4 ，
∴b=﹣a+1，c=﹣2a+2．
∵a＞0，
∴b＜1，c＜2，
∴结论①②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（m，n），
∴m=﹣ b2a =﹣ -a+12a = 12 ﹣ 12a ，
∴m＜ 12 ，结论③不正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），
∴n≤1，结论④正确．
综上所述：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=﹣a+1、c=﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=﹣ b2a ，可得出m= 12 ﹣ 12a ，即m＜ 12 ，结论③不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论．
三、解答题（共9题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴ {c=-3-4+2b+c=1 ，解得 {b=4c=-3 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将 y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
第 17 页 共 17 页
22.已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，3)，
∴3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（ 2 ）令y=0，得：x2 -2x-3=0 ，
解得 x1=3 ， x2=-1 .
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.
23.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
24.图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB＝8米时，拱顶到水面的距离CD＝4米．如果水面上升1米，那么水面宽度为多少米？
第 17 页 共 17 页
【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2 ，
由已知抛物线过点B（4，-4），则-4=a×42 ，
解得：a=-14，
∴抛物线解析式为：y=-14x2 ，
当y=-3，则-3=-14x2 ，
解得：x1=23，x2=-23，
∴EF=43，
答：水面宽度为43米．
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，图象法求一元二次方程的近似根，二次函数的应用
【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，进而求出解析式，即可得出EF的长．
25.根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3
（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣1，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴﹣3=a（0+1）2﹣1，
解得a=﹣2．
∴抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
即y=﹣2x2﹣4x﹣3
（2）解：∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2）， ∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=k（x﹣1）（x﹣5），
则﹣2=k（3﹣1）（3﹣5）
解得k= ，
第 17 页 共 17 页
∴抛物线解析式为y= （x﹣1）（x﹣5），
即y= x2﹣3x+
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】应用待定系数法，求出每个二次函数的解析式各是多少即可．
26.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．
甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；
乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
【答案】解：甲、乙两同学的解法都可行，但是乙的方法更简单，因为画抛物线远比画直线困难，
所以只要事先画好抛物线y=x2的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】利用函数图象求一元二次方程的解的方法，从画图角度比较两种方法即可．
27.如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c (a≠0)经过点A、C.
（1）求抛物线的解析式;
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;
（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）令x=0，则y=4，
令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，
∴-2×4+2b+c=0c=4，
解得b=2c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；
（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（x-12）2+92，
第 17 页 共 17 页
∴点P的坐标为（12，92），
如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），
∴PD=12，CD=92-4= 12，
∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD=12×（12+2）×92-12×2×4-12×12×12=458-4-18=32，
令y=0，则-2x2+2x+4=0，
解得x1=-1，x2=2，
∴点B的坐标为（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴12×3h=4×32，
解得h=4，
∵4＜92，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或-4，
当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，
解得x1=0，x2=1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，
解得x1=1+172，x2=1-172，
此时点Q的坐标为（1+172，-4）或（1-172，-4）
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（1+172，-4）或（1-172，-4）；
第 17 页 共 17 页
（3）存在．
理由如下：如图，
∵点M在直线y=-2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=43或a=4，
∴点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=12|-2a+4|，
即a=12（-2a+4），
解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a=-12（-2a+4），此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
第 17 页 共 17 页
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD ， 列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
28.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元． （Ⅰ）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；求x为何值时y的值为1920？
（Ⅱ）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（Ⅰ）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）； 令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800
x2﹣8x+12=0，
（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得x=2或x=6，
∵0≤x≤5，
∴x=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x= =4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值； （Ⅱ）利用公式法结合（Ⅰ）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
29.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
（Ⅰ）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx﹣1解析式；
（Ⅱ）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理
第 17 页 共 17 页
由．
【答案】解：
（Ⅰ）联立两直线解析式可得 {y=-xy=-2x-1 ，
解得 {x=-1y=1 ，
∴B点坐标为（﹣1，1），
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为（1，﹣1），
∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，﹣1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得 {c=-1a-b+c=1a+b+c=-1 ，
解得 {a=1b=-1c=-1 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1；
（Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，
∵直线BC解析式为y=﹣x，
∴直线PQ解析式为y=x，
联立抛物线解析式可得 {y=xy=x2-x-1 ，
解得 {x=1-2y=1-2 或 {x=1+2y=1+2 ，
∴P点坐标为（1﹣ 2 ，1﹣ 2 ）或（1+ 2 ，1+ 2 ）；
②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．
理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，
则S四边形
第 17 页 共 17 页
PBQC=2S△PBC=2× 12 BC•PD=BC•PD，
∵线段BC长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，
又∠PED=∠AOC（固定不变），
∴当PE最大时，PD也最大，
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为（t，t2﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t），
∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，
∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；（Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．
第 17 页 共 17 页
微信/支付宝扫码支付