【期末专题复习】青岛版九年级数学上册 第四章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. ax2+bx+c=0 B. x2=xx+1 C. 1x2+x=3 D. 4x2=9
2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A. x1=1，x2=2 B. x1=1，x2=﹣2 C. x1=﹣1，x2=﹣2 D. x1=﹣1，x2=2
3.下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ 中，一元二次方程的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定
5.方程mx2-3x=x2-mx+2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（ ）
A. ｍ≠０ B. ｍ≠１ C. ｍ≠－１ D. ｍ≠±１
6.若关于x的方程x2﹣ 2 x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
7.若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜2 B. k≠0 C. k＜2且k≠0 D. k＞2
8.已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2﹣2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在⊙O外 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O内 D. 无法确定
9.把方程x2﹣10x=﹣3左边化成含有x的完全平方式，其中正确的是（ ）
A. x2﹣10x+（﹣5）2=28 B. x2﹣10x+（﹣5）2=22 C. x2+10x+52=22 D. x2﹣10x+5=2
10.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为( )
A. 1或－1 B. 1 C. －1 D. 12
二、填空题（共10题；共30分）
11.当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．
12.若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a=________．
13.受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为________．
14.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是________．
15.关于x的一元二次方程 x2-3x+m=0 有两个不相等的实数根，m的取值范围为________.
16.已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根为m和n，则代数式m3﹣2m2﹣n+ 1n ﹣mn2=________．
17.如果关于x的一元二次方程2x2+6x+3=0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的值是________．
18.已知方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根为1，则k的值为________．
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19.若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．
20.如图所示，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，设修建的路宽为x米，根据题意，可列方程为________ ．
三、解答题（共9题；共60分）
21.解方程：
（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）
22.已知关于x的方程14x2-m-2x+m2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
23.甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？
24.某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？
25.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
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26.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
27.泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
（1）填表：
月份
九月
十月
清仓
销售单价（元）
100
50
销售量（件）
200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
28.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
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29.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 x2-5x+2=0 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 x2-5x+2=0 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 m1 ， n1 ， m2 ， n2 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ m1 ， n1 ），Q（ m2 ， n2 ）就是符合要求的一对固定点？
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答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】-2
12.【答案】2
13.【答案】20%
14.【答案】2
15.【答案】m＜ 94
16.【答案】0
17.【答案】14
18.【答案】3
19.【答案】k≥﹣1且k≠0
20.【答案】（30﹣x）（20﹣x）=551
三、解答题
21.【答案】解：（1）方程整理得：x2+2x=9999，
配方得：x2+2x+1=10000，即（x+1）2=10000，
开方得：x+1=100或x+1=﹣100，
解得：x1=99，x2=﹣101；
（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，
∵△=36+12=48，
∴x=6±436=3±233，
解得：x1=3+233，x2=3-233．
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22.【答案】解：（1）∵a=14，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4×14×m2=﹣4m+4=0，
∴m=1．
原方程化为：14x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，
∴x1=x2=﹣2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x1+x2=﹣ba=4m﹣8，x1x2=ca=4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，
即：8m2﹣64m﹣160=0，
解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），
又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
23.【答案】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，
根据题意可得： ax-y + ax+y = 4ay ，
∵a＞0，
∴ 1x-y + 1x+y = 4y ，
去分母并整理得：2x2﹣xy﹣2y2=0，
∵y＞0，
∴2•（ xy ）2﹣ xy ﹣2=0，
解得： xy = 1+174 或 xy = 1-174 （舍负）．
答：甲的速度是乙的 1+174 倍
24.【答案】解：设应将售价下调x元，由题意得 （36﹣20﹣x）（40+10x）=750，
解得：x1=1，x2=11，
当x=11时，36﹣11=25，不在28元～38元的范围内，不合题意，舍去，
答：应将每盒百合花在售价下调1元．
25.【答案】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
26.【答案】解：设这个增长率为x．
依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8，
解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）．
0.2=20%．
答：这个增长率是20%
27.【答案】解：（1）填表如下：
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时间
九月
十月
清仓时
销售单价（元）
100
100﹣x
50
销售量（件）
200
200+2x
800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得
100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200
解这个方程，得x1=20 x2=﹣70
当x=20时，100﹣x=80＞50．
答：第十个月的单价应是80元．
28.【答案】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ= 12 BP，
即t= 12 （3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP= 12 BQ，
3﹣t= 12 t，t=2（秒）．
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
29.【答案】（1）解：如图2所示：
（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.
根据题意可证△AOC∽△CDB.
∴AOCD=OCBD.
∴15-m=m2.
∴m（
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5-m）=2.
∴m2-5m+2=0.
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.
（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+bax+ca=0.
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-ba，ca）或A（0，1a），B（-ba，c）等.
（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为x，根据三角形相似可得.n1x-m1=m2-xn2.
上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又ax2+bx+c=0,
即x2+bax+ca=0.
比较系数可得：m1+m2=-ba.
m1m2+n1n2=ca.
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