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荆门市2019年高三年级元月调考
数学（文科）参考答案
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
C
A
A
D
C
B
B
D
A
二、填空题：
13． 14．8850 15． 16．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）由正弦定理：，又由已知，
所以，…………………………………………………………………3分
， 因为，所以．……………………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得，，则，
中，由余弦定理，，
则 ……………………………………………………………………………10分
故，
所以的周长为．…………………………………………12分
18. 解：（Ⅰ）取中点，连结，
因为为等边三角形，所以． …………………………………………2分
因为四边形为菱形，所以，
又因为，所以为等边三角形，
所以． … ………………………………………………………………………3分
因为，所以平面，
因为平面，所以． ………………………………………………6分
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以为三棱锥的高． ………………………………………………………7分
所以，
所以，
又因为，
所以……………9分
因为，
所以． …………………………………………………10分
设三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，解得． ………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
7
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
…………………3分
所以，估计120人中有人答对第5题． ………………………………4分
（Ⅱ）记编号为的学生为，
从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．
其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种． ………………………………………………………………………6分
所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，
恰好有1人答对第5题的概率为． ……………………………………………8分
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
． ………………………………………………………………………………………………………………11分
因为 ，
所以，该次测试的难度预估是合理的． ………………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）∵点，∴，解得，…………………………………… 2分
故抛物线的方程为：，当时，，
∴的方程为，联立可得，，………………………… 3分
又∵，，∴． ………………………… 5分
（Ⅱ）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，
设 ，则，，① …………………………7分
由得：，
整理得，② ………………………………………… 9分
将①代入②解得，∴直线， ……………………………………10分
法一：∵圆心到直线的距离，∴，
显然当时，，的长为定值． ……………………………………………………12分
法二：直线过定点，而圆心，当直线过圆心时，的长为直径，即为定长，则．
法三：因为圆的半径为定值，要使得的长为定长，只需要圆心到直线的距离与无关，则．
21.解：（Ⅰ）， …………………………………2分
∵在区间上有两个极值点，∴在上有两个根．…………3分
∴，即在上有两个根，
即与在上有两个交点，
则，故的取值范围为． …………………………………5分
（Ⅱ）设切点为，则，，，
∴ ①
且 ② ………………………………………………………………7分
由①得代入②得
即． ………………………………………………………………8分
令，则，
∵的，∴恒成立．
∴在上恒为正值，∴在上单调递增，
∵，∴代入①式得． ……………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为 ……………………2分
由极坐标与直角坐标互化公式得
化简得. …………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）直线的参数方程（为参数）， ………………………………6分
即（为参数）代入圆方程得：， ………………………8分
设、对应的参数分别为、，则，，
于是． …………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）依题意有：， ………………………………………1分
若，则， ，
若，则， ，
若，则，无解， ………………………………………………4分
综上所述，的取值范围为． ……………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可知，当时恒成立，
恒成立，即，当时恒成立，
． ……………………………………………………………………………10分
命审：市龙泉中学 崔冬林 易小林 吴金玉
市教研室 方延伟
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