期末复习：浙教版九年级数学学上册期末综合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.把标有1~10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是（ ）
A. 310 B. 710 C. 35 D. 25
2.已知圆锥侧面积为10πcm2 ， 侧面展开图的圆心角为36º，圆锥的母线长为（ ）
A. 100cm B. 10cm C. 10cm D. 1010cm
3.已知⊙O的半径是10cm， AB 是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）
A. 5cm B. 53 cm C. 103 cm D. 523 cm
4.某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，则他抽取的座位号为10号的概率是
A. 140 B. 139 C. 12 D. 14
5.经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
A. 19 B. 16 C. 13 D. 12
6.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A. 83 B. 32 C. 3 D. 83或32
7.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，∠APD=30°，则∠ADP的度数为（ ）
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
8.四位同学在研究函数 y=ax2+bx+c （b，c是常数）时，甲发现当 x=1 时，函数有最小值；乙发现 -1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 x=2 时， y=4 ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（ ）
A. 1：3 B. 1：9 C. 1：3 D. 1：1.5
10.已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（ ）
A. 3 3 cm B. 3 5 cm C. 9cm D. 6cm
二、填空题（共10题；共30分）
11.将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是________．
12.质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
13.若A（ -134 ， y1 ），B（ -54 ， y2 ），C（1， y3 ）为二次函数y= x2 +4x﹣5的图象上的三点，则 y1 、 y2 、 y3 的大小关系是________．
14.（2015•上海）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于________ ．（只需写出一个符合要求的数）
15.如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m（0°＜m＜360°），得到线段AP，连接PB，PC．当△BPC是等腰三角形时，m的值为________
16.已知抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣3，把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C2 ，
将抛物线C1和抛物线C2这两个图象在x轴及其上方的部分记作图象M．若直线y=kx+ 12 与图象M至少有2个不同
的交点，则k的取值范围是________．
17.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为________．
18.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么 BCCE 的值等于________．
19.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=________°．
20.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= 2 AE2；④S△ABC=2S△ADF ． 其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．
22.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
23.一个口袋中有黑球10个，白球若干个，小明从袋中随机一次摸出10只球，记下其中黑球的数目，再把它们放回，搅均匀后重复上述过程20次，发现共有黑球18个，由此你能估计出袋中的白球是多少个吗？
24.已知一抛物线与抛物线y=- 12 x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式.
25.如图，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC ． 求证：AF：FD=AD：DB ．
26.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式．
27.如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点”.乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为 524 S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.
28.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【解答】∵所有机会均等，共有10种结果，而号码小于7的奇数有1，3，5共3种情况，
∴号码为小于7的奇数的概率为：310.
故答案为：A.
【分析】根据概率公式即可求出答案.
2.【答案】B
【考点】扇形面积的计算，圆锥的计算
【解析】【分析】圆锥侧面是一个扇形，扇形的面积公式=nπr2360，代入求值即可。
【解答】设母线长为r，圆锥的侧面积nπr2360 =10π，
∴R=10cm.
故选B．
【点评】本题利用了扇形的面积公式求解。
3.【答案】A
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 Rt△OAC 和 Rt△OBC 中，
AC=BC，OA=OB
△OAC≌△OBC.
∴∠AOC=∠BOC=60∘.
∴∠OAC=30∘.
∴OC=12OA=5.
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=60°，由直角三角形的性质可得OC=12OA即可求解。
4.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【分析】小明同学从40张票中随机抽取一张为独立事件，故抽到任何一个号的概率都会140.
【点评】本题难度较低，主要考查学生对随机概率和知识点的掌握,判断每个抽取为独立事件为解题关键.
5.【答案】A
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】
【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
【解答】列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是19
， 故选A．
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
6.【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当 AEAB=ADAC即 AE8=26时，△AED∽△ABC，
解得：AE=32；
当 AEAC=ADAB即AE6=28时，△ADE∽△ABC，
解得：AE=32 ，
∴AE的长为：83或32 ．
故选D．
【分析】由∠A是公共角，分别从当 AEAB=ADAC即 AE8=26时，△AED∽△ABC与当 AEAC=ADAB即AE6=28时，△ADE∽△ABC，去分析求解即可求得答案．
7.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=60°，
∴∠PAD=120°，
又∵∠APD=30°，
∴∠ADP=180°﹣120°﹣30°=30°．
故答案为：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，得到∠DAB的值，再根据三角形内角和定理得到∠ADP的度数.
8.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3
∴a+3=4
解之：a=1
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x2-2x+4
当x=-1时，y=7，
∴乙说法错误
故答案为：B
【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。
9.【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9．
故选B．
【分析】由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
10.【答案】B
【考点】勾股定理，弧长的计算，圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则： nπr180 = 12 ×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP= AB2+AP2 =3 5 cm，
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3 5 cm．
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，根据弧长公式求出展开扇形的圆心角的度数，由题意可知
AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△ABP中，运用勾股定理，求出BP的长，即可求出蚂蚁从B爬到P处的最短距离。
二、填空题
11.【答案】y=x2-1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x2-2+1，即y=x2-1．【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减上加下减”即可求解。
12.【答案】516
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】由树状图
可知共有4×4=16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是 516 ．
故答案为： 516 ．
【分析】列表法与树状图法可以不重不漏的列出所有等可能结果是16种，再找出符合第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的结果有5种，概率=可能结果数比所有情况数，即是P=516
13.【答案】y2 ＜ y1 ＜ y3
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】将二次函数y= x2 +4x﹣5配方得 y=(x+2)2-9 ，所以抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，因为A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，所以 y2 ＜ y1 ＜ y3 ．
故答案为： y2 ＜ y1 ＜ y3 ．
【分析】先将抛物线配成顶点式，，然后根据抛物线的开口向上，对称轴判断出A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，从而得出 y2＜ y1＜ y3 ．
14.【答案】14（答案不唯一）
【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴AC=BD=13，
∵点A在⊙B上，
∴⊙B的半径为5，
∵如果⊙D与⊙B相交，
∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，
∵点B在⊙D内，
∴R＞13，
∴13＜R＜18，
∴14符合要求，
故答案为：14（答案不唯一）．
【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．
15.【答案】30°或60°或150°或300°
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1，当m=30°时，
BP=BC，△BPC是等腰三角形；
如图2，当m=60°时，
PB=PC，△BPC是等腰三角形；
如图3，当m=150°时，
PB=BC，△BPC是等腰三角形；
如图4，当m=300°时，
PB=PC，△BPC是等腰三角形；
综上所述，m的值为30°或60°或150°或300°，
故答案为30°或60°或150°或300°．
【分析】分别画出m=30°或60°或150°或300°时的图形，根据图形即可得到答案．
16.【答案】0≤k＜ 710
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点（2，1）
则将抛物线y=﹣x2+4x﹣3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y=（x﹣5）2+4．
∴顶点（5，4），
把（2，1）代入y=kx+ 12 （k≥0）得，1=2k+ 12 ，
解得k= 14 ，
把（5，4）代入y=kx+ 12 （k≥0）得，4=5k+ 12 ，
解得k= 710 ，
∴直线y=kx+ 12 （k≥0）与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是0≤k＜ 710 ．
故答案为：0≤k＜ 710 ．
【分析】首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线C1的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律得出抛物线C2 ， 求得顶点坐标，把两点顶点坐标代入即可求得．
17.【答案】110°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为：110°．
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=100°，再由外角性质得∠BDC=70°，再邻补角的定义即可求得∠ADC的度数.
18.【答案】35
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ BCCE=ADDF=AG+GDDF=35 ，故答案为： 35 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例；计算即可.
19.【答案】58
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
答案为58．
【分析】要运用圆周角定理，需构造出弧所对的圆心角，因此需连接半径OB，再利用等腰三角形的内角和，求出∠AOB，进而求出∠C=58°．
20.【答案】①②③
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= 12 AB，
∵点F是AB的中点，
∴FE= 12 AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE。
在△AEH和△BEC中，
∵∠AEH=∠CEB,
AE=BE,
∠EAH=∠CBE，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ BEAD=CBAB ，即BC·AD=AB·BE，
∵ 2 AE2=AB·AE=AB·BE，
∴BC·AD= 2 AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF ． ④错误；
故答案为：①②③．
【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且点F是斜边AB上的中点，由斜边上的中线长是斜边的一半可知；
②要证明AH=2CD，则可猜想BC=2CD，AH=BC；要证明BC=2CD，结合AD⊥BC，则需要证明AB=AC；要证明AH=BC，则需要证明△AEH≌△BEC；
③由2AE2=AB·AE=AB·BE，则BC·AD=2AE2 ， 可转化为BC·AD=AB·BE，则BEAD=BCAB ， 那么只需证明△ABD～△BCE即可；
④由三角形的中线平分三角形的面积，依此推理即可。
三、解答题
21.【答案】解：如图，连接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BD= 12 BC=6
在Rt△ABD中，AD= AB2-BD2 = 100-36 =8．
设圆的半径是R．
则OD=8﹣R．
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2
解得：R= 254 ．
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
22.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x= -14002×（-20） =35时，才能在半月内获得最大利润.
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式，利用公式法可得二次函数的最值.
23.【答案】解：黑球概率近似等于频率，设白球有m个，则10100+m=1820×10解得m=101.11
故袋中的白球大约有101个．
【考点】利用频率估计概率
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据题中条件求出黑球的频率，再近似估计白球数量．
24.【答案】解：∵顶点坐标是(-5，0)，
∴可设函数解析式为y=a(x+5)2 ，
∵所求的抛物线与y=- 12 x2+3形状相同，开口方向相反，
∴a= 12 ，
∴所求抛物线解析式为y= 12 (x+5)2
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据顶点坐标设出抛物线的顶点式，再根据抛物线的图像与系数的关系，由抛物线与抛物线y=- 12x2+3形状相同，开口方向相反，故得出所求抛物线二次项系数的值，从而得出答案。
25.【答案】证明：∵EF∥CD， DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ，
即AF：FD=AD：DB．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，推出 即可．
26.【答案】解：∵点B在y轴上，且△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0）， ∴点B的坐标为（0，2）或（0，﹣2），
根据题意设平移后抛物线解析式为y=x2+bx+c，
将（﹣2，0）、（0，2）代入得：
，
解得： ，
∴此时抛物线解析式为y=x2+3x+2；
将（﹣2，0）、（0，﹣2）代入得：
，
解得： ，
∴此时抛物线解析式为y=x2+x﹣2，
综上，平移后抛物线解析式为y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换，等腰直角三角形
【解析】【分析】利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式．
27.【答案】解:甲和乙的结论都成立，理由如下：
①∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△BEQ∽△DAQ，
又∵点P、Q是线段BD的三等分点，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴点E是BC的中点，即结论①正确；
②和①同理可得点F是CD的中点，
∴EF∥BD，EF= 12 BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF= 14 S△CBD= 18 S平行四边形ABCD= 18 S，
∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF= 12 S平行四边形ABCD= 12 S，
∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF= 38 S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF= 12 BD，PQ= 13 BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP= 49 S△AEF= 16s ，
∴S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP= 38 S- 16s = 524 S，即结论②正确.
综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 ① 利用平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，易证△BEQ∽△DAQ，再由点P、Q是线段BD的三等分点，可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，继而可证得E是BC中点；易证F是CD的中点，利用三角形的中位线定理，可得出EF∥BD，EF=12 BD，再证明△CEF∽△CBD，利用相似三角形的性质，可推出S△CEF= 18 S，S△AEF= 38S，然后再证明S△AQP=16 s，根据S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP ， 可求出结果，可对 ②作出判断，即可得出结论。
28.【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t， ∴S= PB•BQ= PB•（BE+EQ）
= （6﹣t）（6+t）
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18（0≤t＜6）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】△BPQ的面积= 12 BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．
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