2017-2018学年八年级数学下期中试题（武冈市带答案）.pdf

第 1 页，共 15 页 2017-2018 学年湖南省邵阳市武冈市八年级（下）期中数 学试卷 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ B=54°，则 ∠ A 的度数是（ ） A. B. C. 56 D. 2. 在 Rt △ ABC 中， ∠ C=30°，斜边 AC 的长为 5cm，则 AB 的长为（ ） A. 2 cm B. 2.5 cm C. 3 cm D. 4 cm . 以下四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. 8，15，17 . 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到设计 方案有等腰三角形、正三角形、平行四边形、菱形等四种图案，你认为符合条件的 是（ ） A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 5. 等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为（ ） A. 12 B. 7 C. 5 D. 6 . 能判定四边形 ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A. 䁞䁞쳌 ， 쳌  B. ∠ ∠ ， ∠ ∠쳌C. 쳌 ， 쳌  D. 쳌 ，  쳌 7. 正八边形的每个内角为（ ） A. 12䁥 B. 15 C. 1䁥 D. 1 8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 9. 如图，已知在 △ ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分 ∠ ABC 交 CD 于点 E，BC＝5，DE＝2，则 △ BCE 的面积 等于（） A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 1䁥. 已知，G 是矩形 ABCD 的边 AB 上的一点，P 是 BC 边上的一个动点，连接 DG、 GP，E、F 分别是 GD、GP 的中点，当点 P 从 B 向 C 运动时，EF 的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增大 C. 逐渐减少 D. 不能确定第 2 页，共 15 页 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 11. 在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90°，D 是 AB 的中点，CD=4cm，则 AB=______cm． 12. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3，4，则第三边的长为______． 1. 一个等腰三角形一边长为 6cm，另一边长为 3cm，那么这个等腰三角形的周长是 ______cm． 1. 若菱形的对角线长为 24 和 10，则菱形的边长为______． 15. 若矩形的对角线长为 2cm，两条对角线相交所成的一个夹角为 60°，则该矩形的面 积为______． 1. △ ABC 的周长为 12，点 D、E、F 分别是 △ ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，连接 DE、 EF、DF，则 △ DEF 的周长是______． 17. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20、3、 2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想 到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路 程是______． 18. 如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm， P 是对角线 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是______cm． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66.0 分） 19. 如图，点 B，E，C，F 在同一直线上， ∠ A= ∠ D=90°， BE=FC，AB=DF．求证： ∠ B= ∠ F． 2䁥. 若 a、b、c 为 △ ABC 的三边长，且 a、b、c 满足等式（a-5）2+（b-12）2+|c-13|=0， 求 △ ABC 的面积． 21. 如图所示，在▱ABCD 中，点 M、N 分别在 BC、AD 上，且 BM=DN． 求证：四边形 AMCN 是平行四边形．第 页，共 15 页 22. 如图，在菱形 ABCD 中， ∠ ABC 与 ∠ BAD 的度数比为 1： 2，菱形 ABCD 的周长是 48．求： （1）菱形 ABCD 两条对角线的长度． （2）菱形 ABCD 的面积． 2. 如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AD，BD， BC，AC 上的中点，AB=5，CD=7．求四边形 EFGH 的周 长． 2. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点， 连接 AE、BF，交点为 G． 求证：AE ⊥ BF． 25. 如图，以 △ ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等 边三角形，即 △ ABD、 △ BCE、 △ ACF，请回答下列问题，第 页，共 15 页 并说明理由． （1）四边形 ADEF 是什么四边形？ （2）当 △ ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？ （3）当 △ ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在．第 5 页，共 15 页 答案和解析 1.【答案】B 【解析】 解： ∵ Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ B=54°， ∴∠ A=90°- ∠ B=90°-54°=36°； 故选：B． 根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出 ∠ A 的度数． 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角 三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 2.【答案】B 【解析】 解： ∵△ ABC 为直角三角形， ∠ C=30°， ∴ AB= AC=2.5cm． 故选：B． 由题意可得， ∠ B 是直角，AB= AC，直接代入即可求得 AB 的长． 此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一 半． 3.【答案】C 【解析】 解：A、32+42=52，是勾股数； B、52+122=132，是勾股数； C、42+52≠62，不是勾股数； D、152+82=172，是勾股数． 故选：C． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平 方和是否等于最长边的平方． 考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数称为勾股数， 并能够熟练运用．第 页，共 15 页 4.【答案】D 【解析】 解：A、等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、正三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、菱形，既是中心对称图形又是轴对称图形． 故选：D． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 5.【答案】A 【解析】 解：如图： ∵△ ABC 中，AB=AC，AD ⊥ BC； ∴ BD=DC= BC=5； Rt △ ABD 中，AB=13，BD=5； 由勾股定理，得：AD= = =12． 故选：A． 在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求 得底边上高线的长度． 本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质， 由勾股定理求出 AD 是解决问题的关键． 6.【答案】C 【解析】 解：如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有 C 符合条件． 故选 C． 平行四边形的判定： ① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ② 两组对第 7 页，共 15 页 边分别相等的四边形是平行四边形； ③ 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形； ④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤ 一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可． 此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形 的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平 行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们 的区别与联系． 7.【答案】B 【解析】 解：根据正八边形的内角公式得出：[（n-2）×180]÷n=[（8-2）×180]÷8=135°． 故选：B． 根据正多边形的内角求法，得出每个内角的表示方法，即可得出答案． 此题主要考查了正多边形的内角公式运用，正确的记忆正多边形的内角求法 公式是解决问题的关键． 8.【答案】B 【解析】 解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：B． 利用特殊四边形的性质进而得出符合题意的答案． 此题主要考查了多边形，正确掌握多边形的性质是解题关键． 9.【答案】C 【解析】 解：作 EF ⊥ BC 于 F， ∵ BE 平分 ∠ ABC，ED ⊥ AB，EF ⊥ BC， ∴ EF=DE=2， ∴ S △ BCE= BC•EF= ×5×2=5，第 8 页，共 15 页 故选：C． 作 EF ⊥ BC 于 F，根据角平分线的性质求得 EF=DE=2，然后根据三角形面积公 式求得即可． 本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的 高是解题的关键． 10.【答案】C 【解析】 解：连接 PD， ∵ E、F 分别是 GD、GP 的中点， ∴ EF 是中位线， ∴ EF= DP， 当点 P 从 B 向 C 运动时， DP 长度逐渐减小， 故 EF 的长度也逐渐减小． 故选：C． 连接 PD，根据 E、F 分别是 GD、GP 的中点，即 EF 是中位线，可得 EF= DP， 当点 P 从 B 向 C 运动时，DP 长度逐渐减小，于是判断出 EF 长度的变化． 本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理的知识点，解答本题的关键是 熟练运用三角形中位线定理，此题比较简单． 11.【答案】8 【解析】 解： ∵ D 是斜边 AB 的中点， ∴ CD 是斜边 AB 上的中线； 故 AB=2CD=8cm． 由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知了中线 CD 的长，即可 求出斜边的长．第 9 页，共 15 页 此题主要考查的是直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． 12.【答案】5 或 7 【解析】 解：设第三边为 x， （1）若 4 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理得： 32+42=x2， ∴ x=5； （2）若 4 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理得： 32+x2=42， ∴ x= ； ∴ 第三边的长为 5 或 ． 故答案为：5 或 ． 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此 两条边中的较长边 4 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必 须分类讨论，即 4 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是 斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 13.【答案】15 【解析】 解：分两种情况： 当腰为 3cm 时，3+3=6，所以不能构成三角形； 当腰为 6cm 时，3+6＞6，所以能构成三角形，周长是：3+6+6=15（cm）． 故答案为：15． 题目给出等腰三角形有两条边长为 3cm 和 6cm，而没有明确腰、底分别是多 少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边第 1䁥 页，共 15 页 的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成 三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14.【答案】13 【解析】 解：如图，BD=10，AC=24， ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ OA= AC=12，OB= BD=5，AC ⊥ BD， ∴ AB= =13， 故答案为：13． 首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得 OA、OB 的长，又因 为 AC ⊥ BD，继而利用勾股定理，求得这个菱形的边长． 本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质， 考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求 AB 的值是解题的 关键． 15.【答案】 【解析】 解：如图所示： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC=90°，OA= AC=1，OB= BD，AC=BD， ∴ OA=OB， ∵∠ AOB=60°， ∴△ AOB 是等边三角形， ∴ AB=OA=1， ∴ BC= = = ， ∴ 矩形 ABCD 的面积=AB•BC=1× = ； 故答案为： ． 由矩形的性质得出 OA=OB，再证明 △ AOB 是等边三角形，得出 AB=OA=1，第 11 页，共 15 页 由勾股定理求出 BC，矩形的面积=AB•BC，即可得出结果． 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形 的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 16.【答案】6 【解析】 解： ∵ D、E 分别是 △ ABC 的边 AB、BC 的中点， ∴ DE= AC， 同理，EF= AB，DF= BC， ∴ C △ DEF=DE+EF+DF= AC+ BC+ AB= （AC+BC+AC）= ×12=6． 故答案是：6． 利用三角形的中位线定理可以得到：DE= AC，EF= AB，DF= BC，则 △ DEF 的周长是 △ ABC 的周长的一半，据此即可求解． 本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得： △ DEF 的 周长是 △ ABC 的周长的一半是关键． 17.【答案】25 【解析】 解：如图所示， ∵ 三级台阶平面展开图为长方形，长为 20，宽为（2+3） ×3， ∴ 蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对 角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得：x=25． 故答案为 25． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．第 12 页，共 15 页 本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意 判断出长方形的长和宽即可解答． 18.【答案】2 【解析】 解：如图所示：连接 BD，DE，BP， 由题意可得：B，D 点关于直线 AC 对称，则 P 点是 ED 与 AC 的交点， ∵ 正方形 ABCD 的边长为 10cm，BE=4cm， ∴ AE=6cm，AD=10cm， 则 EP+BP=ED= =2 （cm）． 故答案为：2 ． 直接利用正方形的性质，得出 B，D 点关于直线 AC 对称，连接 BD，ED，BP， 进而利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及正方形的性质，正确得出 P 点位 置是解题关键． 19.【答案】证明： ∵ BE=FC， ∴ BE+CE=FC+CE， 即 BC=FE， ∵∠ A= ∠ D=90°， 在 Rt △ ABC 和 Rt △ DFE 中， 쳌  ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ DFE（HL）， ∴∠ B= ∠ F． 【解析】 先证出 BC=FE，由 HL 证明 Rt △ ABC ≌ Rt △ DFE，得出对应边相等即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法 是解决问题的关键． 20.【答案】解： ∵ （a-5）2+（b-12）2+|c-13|=0， ∴ a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴ a=5，b=12，c=13， ∵ 52+122=132， ∴△ ABC 是直角三角形，第 1 页，共 15 页 ∴ S △ ABC= 1 2 ×5×12=30． 【解析】 首先根据非负数的性质可得 a、b、c 的值，再利用勾股定理逆定理证明 △ ABC 是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可． 此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，关键是掌握 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 21.【答案】证明： ∵ ▱ABCD 中，AD ∥ BC，AD=BC， 又 ∵ BM=DN， ∴ AN ∥ CM 且 AN=CM， ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形． 【解析】 根据平行四边形的性质可以证明 AN ∥ CM 且 AN=CM，则依据一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形即可判断． 此题考查了平行四边形的性质与判定．注意选择适宜的判定方法． 22.【答案】解：（1） ∵ 在菱形 ABCD 中， ∠ ABC 与 ∠ BAD 的度数比为 1：2， ∴∠ ABC=60°， ∠ BAD=120°，AC ⊥ BD， ∴∠ ABO=30°， ∵ 菱形 ABCD 的周长是 48cm， ∴ AB=BC=DC=AD=12cm， ∴ AO=6cm，则 BO=6 cm， 故 AC=12cm，BD=12 cm； （2）则菱形 ABCD 的面积为： 1 2 ×12×12 =72 （cm2）． 【解析】 （1）直接利用菱形的性质得出 ∠ ABO=30°，进而求出 AO，BO 的长即可得出答 案； （2）直接利用菱形面积等于对角线乘积的一半，即可得出答案． 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，得出 ∠ ABO 的度数是解题关键． 23.【答案】解： ∵ E，F，G，H 分别是 AD，BD，BC，AC 上的中点，AB=5，CD=7． ∴ EF ∥ AB ∥ GH，EH ∥ CD ∥ FG，EF=2.5，EH=3.5， ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形， ∴ 四边形 EFGH 的周长为 2（EF+EH）=2×6=12． 【解析】第 1 页，共 15 页 利用三角形中位线定理，证明四边形 EFGH 是平行四边形即可解决问题； 本题考查中点四边形，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24.【答案】证明： ∵ E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， ∴ CF=BE， 在 Rt △ ABE 和 Rt △ BCF 中， ∵  ∠ ∠  ∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ BCF（SAS）， ∴∠ BAE= ∠ CBF， 又 ∵∠ BAE+ ∠ BEA=90°， ∴∠ CBF+ ∠ BEA=90°， ∴∠ BGE=90°， ∴ AE ⊥ BF． 【解析】 由 E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点知 CF=BE，证 Rt △ ABE ≌ Rt △ BCF 得 ∠ BAE= ∠ CBF，根据 ∠ BAE+ ∠ BEA=90°即可得 ∠ CBF+ ∠ BEA=90°，据此即可得证． 本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质与全等三角形 的判定与性质． 25.【答案】解：（1）四边形 ADEF 是平行四边形． 理由： ∵△ ABD， △ EBC 都是等边三角形． ∴ AD=BD=AB，BC=BE=EC ∠ DBA= ∠ EBC=60° ∴∠ DBE+ ∠ EBA= ∠ ABC+ ∠ EBA． ∴∠ DBE= ∠ ABC． 在 △ DBE 和 △ ABC 中 ∵ BD=BA ∠ DBE= ∠ ABCBE=BC， ∴△ DBE ≌△ ABC． ∴ DE=AC． 又 ∵△ ACF 是等边三角形， ∴ AC=AF． ∴ DE=AF． 同理可证：AD=EF， ∴ 四边形 ADEF 平行四边形． （2） ∵ 四边形 ADEF 是矩形， ∴∠ FAD=90°． ∴∠ BAC=360°- ∠ DAF- ∠ DAB- ∠ FAC=360°-90°-60°-60°=150°． ∴∠ BAC=150°时，四边形 ADEF 是矩形． （3）当 ∠ BAC=60°时， ∠ DAF=180°，此时 D、A、F 在同一条直线上，以 A，D，E，F第 15 页，共 15 页 为顶点的四边形就不存在． 【解析】 （1）四边形 ADEF 平行四边形．根据 △ ABD， △ EBC 都是等边三 DAE 角形容易 得到全等条件证明 △ DBE ≌△ ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形 的判定可以证明四边形 ADEF 是平行四边形． （2）若边形 ADEF 是矩形，则 ∠ DAE=90°，然后根据已知可以得到 ∠ BAC=150°． （3）当 ∠ BAC=60°时， ∠ DAF=180°，此时 D、A、F 三点在同一条直线上，以 A， D，E，F 为顶点的四边形就不存在． 此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形 的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．