2018年中考数学一模试卷（嘉兴市海宁市含答案解析）.pdf

2018 年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）﹣2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 解：根据相反数的定义，﹣2 的相反数是 2． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0 的 相反数是 0． 2．（3 分）如图是一个水晶笔筒（在一个底面为正方形的长方体内部挖去一个圆 柱），它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视 图中． 解：从上面看易得俯视图为正方形，中间有圆． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3．（3 分）若 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是（ ） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 【分析】直接利用二次根式的性质得出答案． 解：∵ 在实数范围内有意义，∴a﹣3≥0， 解得：a≥3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解 题关键． 4．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．x2+x2＝x4 B．2x3﹣x3＝x3 C．x2•x3＝x6 D．（x2）3＝x5 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算 法则分别化简求出答案． 解：A、x2+x2＝2x2，故此选项错误； B、2x3﹣x3＝x3，正确； C、x2•x3＝x5，故此选项错误； D、（x2）3＝x6，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算等 知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（3 分）两组数据：8，9，9，10 和 8.5，9，9，9.5，它们之间不相等的统计 量是（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】根据平均数的计算公式、众数和中位数的概念以及方差的计算公式计算， 判断即可． 解：数据 8、9、9、10 的平均数为 ＝9、中位数为 ＝9，众数为 9， 方差为 ×[（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+（10﹣9）2]＝0.5； 数据 8. 5，9，9，9.5 的平均数为 ＝9、中位数为 、众数为 9、方 差为 ×[（8.5﹣9）2+2×（9﹣9）2+（9.5﹣9）2]＝0.125； 由以上计算可知，两组数据的方差不同， 故选：D． 【点评】本题考查的是平均数、众数、中位数和方差，掌握它们的概念以及计算公式是解题的关键． 6．（3 分）已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P， 使 PA+PC＝BC，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】由 PB+PC＝BC 和 PA+PC＝BC 易得 PA＝PB，根据线段垂直平分线定 理的逆定理可得点 P 在 AB 的垂直平分线上，于是可判断 BN 选项正确． 解：∵PB+PC＝BC， 而 PA+PC＝BC， ∴PA＝PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上， 即点 P 为 AB 的垂直平分线与 BC 的交点． 故选：B． 【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉 基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图， 逐步操作． 7．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2，将△ABC 绕顶点 C 逆 时针旋转得到△A′B′C，使点 B′落在 AC 边上，设 M 是 A′B′的中点， 连接 BM，CM，则△BCM 的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作 MH⊥A′C 于 H，如图，利用旋转的性质得 CB′＝CB＝2，∠A′ CB′＝∠ACB＝90°，则可判断点 A′、C、B 共线，再利用三角形中位线性 质得 MH＝ CB′＝1，然后根据三角形面积公式计算． 解：作 MH⊥A′C 于 H，如图， ∵△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C，使点 B′落在 AC 边上， ∴CB′＝CB＝2，∠A′CB′＝∠ACB＝90°， ∴点 A′、C、B 共线， ∵M 点 A′B′的中点， ∴MH＝ CB′＝1， ∴△BCM 的面积＝ BC•MH＝ ×2×1＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8．（3 分）关于 x 的方程（x﹣3）（x﹣5）＝m（m＞0）有两个实数根 α ， β （ α ＜ β ），则下列选项正确的是（ ） A．3＜ α ＜ β ＜5 B．3＜ α ＜5＜ β C． α ＜2＜ β ＜5 D． α ＜3 且 β ＞5 【分析】根据平移可知：将抛物线 y＝（x﹣3）（x﹣5）往下平移 m 个单位可得 出抛物线 y＝（x﹣3）（x﹣5）﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结 论． 解：将抛物线 y＝（x﹣3）（x﹣5）往下平移 m 个单位可得出抛物线 y＝（x﹣3） （x﹣5）﹣m， 画出函数图象，如图所示． ∵抛物线 y＝（x﹣3）（x﹣5）与 x 轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线 y ＝（x﹣3）（x﹣5）﹣m 与 x 轴的交点坐标为（ α ，0）、（ β ，0），∴ α ＜3＜5＜ β ． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依 照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 9．（3 分）如图，雯雯开了一家品牌手机体验店，现在体验区（图 1 阴影部分） 摆放图 2 所示的正六边形桌子若干张，体验店平面图是长 9 米，宽 7 米的矩 形，通道宽 2 米，桌子的边长为 1 米，摆放时要求桌子至少离墙 1 米，且有 边与墙平行，桌子之间的最小距离至少 1 米，则体验区可以摆放桌子（ ） A．4 张 B．5 张 C．6 张 D．7 张 【分析】画出桌子的外接四边形是矩形，分别求出矩形的长和宽，然后根据摆放 时要求桌子至少离墙 1 米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少 1 米， 求出一张桌子所占的面积，用总面积除以一张桌子所占的面积即可得到结论． 解：由题意得，∠AEC＝30°，CE＝CD＝1，AC＝GF＝BD， 在 Rt△AEC 中，AE＝CEcos30°＝ ，AC＝ CE＝ ， ∴AG＝2AE＝ ，AB＝2AC+CD＝2， ∵摆放时要求桌子至少离墙 1 米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少 1 米， ∴一张桌子所占的面积为：3（1+ ）≈12，∵体验区的面积＝7×（9﹣2）＝49， ∴49÷12≈4， 故体验区可以摆放桌子 4 张， 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆，矩形的性质，正六边形的性质，正确的理解 题意是解题的关键． 10．（3 分）如图，△ABC 中，正方形 DEFG 的顶点 D，G 分别在 AB，AC 上， 顶点 E，F 在 BC 上，若△ADG、△BED，△CFG 的面积分别是 1、3、1，则 正方形的边长为（ ） A． B． C．2 D．2 【分析】过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，AM 交 DG 于点 N，根据正方形的性质结合 三角形的面积可得出 AN＝CF、BE＝3CF，由 DG∥EF 可得出△ADG∽△ABC， 根据相似三角形的性质可求出 DG＝2CF，再由△ADG 的面积是 1，即可求出 DG 的长度，此题得解． 解：过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，AM 交 DG 于点 N，如图所示． ∵四边形 DEFG 为正方形， ∴DG∥EF，DG＝DE＝GF＝EF． 根据题意得： ，∴AN＝CF，BE＝3CF． ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴DG＝2CF． ∵ DG•AN＝ × DG•DG＝1， ∴DG＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及正方形的性质， 根据三个三角形面积间的关系找出 DG＝2CF 是解题的关键． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）若 ＝ ，则 ＝ ． 【分析】根据等式的性质 1，等式两边都加上 1，等式仍然成立可得出答案． 解：根据等式的性质：两边都加 1， ， 则 ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查等式的性质，观察要求的式子和已知的式子之间的关系， 从而利用等式的性质进行计算． 12．（4 分）计算：（x3+2x2）÷x2＝ x+2 ． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 解：（x3+2x2）÷x2＝x+2． 故答案为：x+2． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．13．（4 分）清明节妈妈买了 5 只鲜肉粽、3 只豆沙粽和 2 只蛋黄肉粽，粽子除了 内部馅料不同外其它均相同．小王从中随机拿出 1 只，正好拿到鲜肉粽的概 率是 ． 【分析】让鲜肉粽的个数除以粽子的总个数即为小王拿到鲜肉粽的概率． 解：∵共有 5+3+2＝10 只粽子，其中鲜肉粽有 5 只， ∴小王从中随机拿出 1 只，正好拿到鲜肉粽的概率是 ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情 况数与总情况数之比． 14．（4 分）如图是一本折扇，其中平面图是一个扇形，扇面 ABDC 的宽度 AC 是管柄长 OA 的一半，已知 OA＝30cm，∠AOB＝120°，则扇面 ABDC 的周 长为 30 π +30 cm 【分析】根据题意求出 OC，根据弧长公式分别求出 AB、CD 的弧长，根据扇形 周长公式计算． 解：由题意得，OC＝AC＝ OA＝15， 的长＝ ＝20 π ， 的长＝ ＝10 π ， ∴扇面 ABDC 的周长＝20 π +10 π +15+15＝30 π +30（cm）， 故答案为：30 π +30． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 15．（4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，点 A、B 在 x 轴上，若函数 y＝ （x＞0）的图象过 D、E 两点，则矩形 ABCD 的面积为 12【分析】过 E 作 EF⊥AB 于 F，由三角形中位线定理可得 AD＝2EF，设点 D 的 横坐标为 m，D 点坐标为（m， ），得出 AD＝ ，即可得出 EF＝ ，根据图 象上的坐标特征得出 E 的横坐标为 2m，继而得出 AB＝2m， 然后根据矩形的面积公式即可求得． 解：过 E 作 EF⊥AB 于 F， ∵点 E 是矩形 ABCD 对角线的交点， ∴AE＝CE， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴AD＝2EF， 设点 D 的横坐标为 m，且点 D 在反比例函数 y＝ （x＞0）上， ∴D 点坐标为（m， ）， ∴AD＝ ， ∴EF＝ ， ∴F（2m， ）， ∴AF＝m， ∴AB＝2m， ∴矩形 ABCD 的面积＝2m• ＝12， 故答案为 12．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特 点、矩形的性质以及三角形中位线定理等相关知识，难度适中． 16．（4 分）如图，▱ ABCD 中，E 是 AD 边上一点，AD＝4 ，CD＝3，ED＝ ， ∠A＝45°，点 P、Q 分别是 BC，CD 边上的动点，且始终保持∠EPQ＝45°， 将△CPQ 沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时， 线段 BP 的长为 或 3 或 3 【分析】首先证明△BPE∽△CQP，然后分三种情形分别求解即可解决问题； 解：如图，作 BH⊥AE 于 H，连接 BE． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4 ，∠A＝∠C＝45°， ∴AH＝BH＝ ，HE＝AD﹣AH﹣DE＝ ， ∴BH＝EH， ∴∠EBH＝∠HEB＝∠EBC＝45°， ∵∠EBP＝∠C＝45°， ∵∠BPQ＝∠EPB+∠EPQ＝∠C+∠PQC，∠EPQ＝∠C， ∴∠EPB＝∠PQC， ∴△BPE∽△CQP． ① 如图所示，当 QP＝QC 时，△PQC 沿 PC 翻折，所得四边形为菱形， 此时△PQC 是等腰直角三角形， ∴△PEB 是等腰直角三角形， ∴∠EPB＝90°， ∴PB＝PE＝BH＝ ； ② 如图所示，当 CP＝CQ 时，△PCQPQF 翻折，所得四边形为菱形，此时，△AEF 为顶角为 45°的等腰三角形， ∴△EPB 为顶角为 45°的等腰三角形， ∴PB＝BE＝3； ③ 如图所示，当 PC＝PQ 时，△PQC 沿 QC 翻折，所得四边形为菱形， 此时，∠CQP＝45°，即 PCQ 是等腰直角三角形， ∴△BPE 是以 PB 为底边的等腰直角三角形， ∴PB＝ BE＝3 ； 故答案为： 或 3 或 3． 【点评】本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和性 质、菱形的定义和性质等有关知识的综合运用，解题的关键是判定△BPE 和 △PQC 相似，根据相似三角形的性质得出线段的长． 三、简答题（本题有 8 小题，第 17-19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分） 17．（3 分）计算：（ ）2﹣2﹣1×（﹣6） 【分析】直接利用负指数幂的性质和有理数的乘法运算法则化简得出答案． 解：原式＝3﹣ ×（﹣6） ＝3+3 ＝6． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（3 分）解不等式：5x+2≤3（2+x），并把解在数轴上表示出来． 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成 1，最后在数轴上表示出来即可． 解：去括号，得：5x+2≤6+3x， 移项，得：5x﹣3x≤6﹣2， 合并同类项，得：2x≤4， 系数化为 1，得：x≤2， 将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能 根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． 19．（6 分）如图，已知抛物线 y1＝x2﹣2x﹣3 与 x 轴相交于点 A、B（点 A 在 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，直线 y2＝kx+b 经过点 B，C （1）求直线 BC 的函数关系式； （2）当 y1＞y2 时，请直接写出 x 的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线的解析式求出 A、B、C 的解析式，把 B、C 的坐标代 入直线的解析式，即可求出答案； （2）根据 B、C 点的坐标和图象得出即可． 解：（1）抛物线 y1＝x2﹣2x﹣3， 当 x＝0 时，y＝﹣3， 当 y＝0 时，x＝3 或 1， 即 A 的坐标为（﹣1，0），B 的坐标为（3，0），C 的坐标为（0，﹣3）， 把 B、C 的坐标代入直线 y2＝kx+b 得： ， 解得：k＝1，b＝﹣3， 即直线 BC 的函数关系式是 y＝x﹣3； （2）∵B 的坐标为（3，0），C 的坐标为（0，﹣3）， ∴当 y1＞y2 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞3． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求 一次函数的解析式和二次函数与一次函数的图象等知识点，能求出 B、C 的坐 标是解此题的关键．20．（6 分）对于实数 m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n＝mn+m+n． （1）化简：（a+b）※（a﹣b）； （2）解关于 x 的方程：x※（1※x）＝﹣1． 【分析】（1）根据公式列式计算可得； （2）根据新定义计算左边可得关于 x 的一元二次方程，解之可得． 解：（1）∵m※n＝mn+m+n， ∴（a+b）※（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）+a+b+a﹣b＝a2﹣b2+2a； （2）∵x※（1※x）＝﹣1， ∴x2+2x+1＝0， ∴x1＝x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程和整式的运算，解题的关键是掌握新定义 及解一元二次方程的能力． 21．（8 分）如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径，C 是 ⊙ O 上一点，∠ACB 的平分线交 ⊙ O，作 PD∥AB，交 CA 的延长线于点 P，连结 AD，BD． 求证：（1）PD 是 ⊙ O 的切线； （2）△PAD∽△DBC 【分析】（1）欲证明 PD 是 ⊙ O 的切线，只要证明 OD⊥PD 即可； （2）利用相似三角形的判定证明即可． （1）证明：如图中，连接 OD．∴∵∠DCA＝∠DCB， ∴ ＝ ， ∴OD⊥AB， ∵AB∥PD， ∴OD⊥PD， ∴PD 是 ⊙ O 的切线． （2）∵∠PAD+∠CAD＝180°，∠DBC+∠CAD＝180°， ∴∠PAD＝∠DBC， 由（1）可得：∠PDA＝∠BCD＝45°， ∴△PAD∽△DBC． 【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 22．（8 分）某市共有一中、二中、三中等 3 所高中，有一天所有高二学生参加 了一次数学测试．阅卷后老师对第 10 题进行了分析，把每个学生的解答情况 归结为下列四类情况之一：A（概念错误）；B（计算错误）；C（基本正确）， 但不完整；D（完全正确），各校出现这四类情况的人数分别占本校高二学生 数的百分比如下面的条形统计图．已知一中高二学生有 400 名，这三所学校之间高二学生人数的比例见扇形统计图 如图． （1）求全市高二学生总数； （2）求全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比； （3）请你对三中高二数学老师提一个值得关注的数学建议，并说明理由． 【分析】（1）用一中高二学生除以其圆心角占 360°的比例可得； （2）先求出二中、三中的人数，再求出全市解答完全正确的高二学生数，据此 计算可得答案； （3）根据条形统计图给出合理建议即可． 解：（1）全市高二学生总数为 400÷ ＝1200 人； （2）∵二中的人数为 1200× ＝450 人， ∴三中的人数为 1200﹣400﹣450＝350 人， 则全市解答完全正确的高二学生数为 400×32%+450×36%+350×56%＝486， 所以全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比为 ×100% ＝40.5%； （3）建议三中高二数学老师要关注学生的概念学习， 因为三中学生出现概念错误的学生百分比达到 12%，而一中、二中分别只有 2%、 4%． 【点评】本题考查了扇形统计图及统计表的知识，难度一般，注意掌握在扇形统 计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360°的比． 23．（10 分）有一只拉杆式旅行箱（图 1），其侧面示意图如图 2 所示，已知箱体 长 AB＝50cm，拉杆 BC 的伸长距离最大时可达 35cm，点 A、B、C 在同一条 直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒 ⊙ A， ⊙ A 与水平地面切于点 D，在拉杆 伸长至最大的情况下，当点 B 距离水平地面 38cm 时，点 C 到水平面的距离 CE 为 59cm．设 AF∥MN．（1）求 ⊙ A 的半径长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在 C 端拉旅行箱时，CE 为 80cm，∠CAF＝64°．求此时拉杆 BC 的伸长距离 （精确到 1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.39，tan64°≈2.1） 【分析】（1）作 BH⊥AF 于点 K，交 MN 于点 H，则△ABK∽△ACG，设圆形滚 轮的半径 AD 的长是 xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求 得 x 的值； （2）求得 CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得 AC 即可解决问题； 解：（1）作 BH⊥AF 于点 K，交 MN 于点 H． 则 BK∥CG，△ABK∽△ACG． 设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm． 则 ＝ ，即 ＝ ， 解得：x＝8． 则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm； （2）在 Rt△ACG 中，CG＝80﹣8＝72（cm）． 则 sin∠CAF＝ ， ∴AB＝80，（cm） ∴BC＝AC﹣AB＝80﹣50＝30（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质，锐角三角函数等知识，关 键把实际问题转化为数学问题加以计算． 24．（10 分）某公司对一款新高压锅进行测试，放入足量的水和设定某一模式后， 在容积不变的情况下，根据温度 t（℃）的变化测出高压锅内的压强 p（kpa） 的大小，压强在加热前是 100pa，达到最大值后高压锅停止加热，为方便分析， 测试员记 y＝p﹣100，表示压强在测试过程中相对于 100kpa 的增加值，部分 数据如下表： 温度 0 10 20 30 40 50 60 …… 压强增大值 y （kpa） 0 9.5 18 25.5 32 37.5 42 …… （1）根据表中的数据，在给出的坐标系中画出相应的点（坐标系已画在答卷上）； （2）y 与 t 之间是否存在函数关系？若是，请求出函数关系式；否则请说明理由； （3） ① 在该模式下，压强 p 的最大值是多少？ ② 当 t 分别为 t1，t2（t1＜t2）时，对应 y 的值分别为 y1，y2，请比较 与 的大 小，并解释比较结果的实际意义． 【分析】（1）利用描点法即可解决问题； （2）设解析式为 y＝ax2+bx，利用待定系数法即可解决问题； （3）利用一次函数的性质即可判断；解：（1）坐标系中描点如图所示： （2）观察图象可知函数是二次函数，设解析式为 y＝at2+bt， 把（10.9.5），（20，18）代入得到 ， 解得 ， ∴y＝﹣ t2+t， 经验证，其他各个点的坐标都返回该函数关系式． （3） ① 由 y＝﹣ t2+t 可得，当 t＝100 时，y 有最大值 50， ∴在该模式下，压强 p 的最大值是 50kpa． ② 由上式可得： ＝﹣ t1+1， ＝﹣ t2+1， ∵t1＜t2， ∴ ＞ ． 实际意义：从加热起到 t1℃，平均每摄氏度增加的压强，要大于从加热到 t2℃时， 平均每摄氏度增加的压强； 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（12 分）小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是： ① 对折矩形纸片 ABCD （AB＞BC），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； ② 沿折痕 BG 折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的点 P 处，再折出 PB、PC，最后用笔画出△ PBC（图 1） （1）求证：图 1 中的△PBC 是正三角形； （2）如图 2，小明在矩形纸片 HIJK 上又画了一个正三角形 IMN，其中 IJ＝6cm， 且 HM＝JN ① 求证：IH＝IJ； ② 请求出 NJ 的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为 6cm，当另一边的长度 a 变化时， 在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的 发现，画出不同情形的示意图（作图工具不限，能说明问题即可），并直接写 出对应的 a 的取值范围． 【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出 PB＝PC，PB＝CB，得出 PB＝PC＝CB 即可； （2） ① 利用“HL”证 Rt△IHM≌Rt△IJN 即可得； ② IJ 上取一点 Q，使 QI＝ QN，由 Rt△IHM≌Rt△IJN 知∠HIM＝∠JIN＝15°，继而可得∠NQJ＝30°， 设 NJ＝x，则 IQ＝QN＝2x、QJ＝ x，根据 IJ＝IQ+QJ 求出 x 即可得； （3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形 即可． 解：（1）由题意知，直线 EF 是矩形 ABCD 的对称轴， ∴PB＝PC， 又∵PB 是由 BC 折叠得到的， ∴BC＝PB，∴PB＝BC＝PC， ∴△PBC 是正三角形； （2） ① 如图 a 所示， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠H＝∠J＝90°， 又∵△IMN 是正三角形， ∴IM＝IN， 在 Rt△IHM 和 Rt△IJN 中， ∵ ， ∴Rt△IHM≌Rt△IJN（HL）， ∴IH＝IJ； ② 在 IJ 上取一点 Q，使 QI＝QN， ∵Rt△IHM≌Rt△IJN， ∴∠HIM＝∠JIN， ∵∠HIJ＝90°、∠MIN＝60°， ∴∠HIM＝∠JIN＝15°， 由 QI＝QN 知∠JIN＝∠QNI＝15°， ∴∠NQJ＝30°， 设 NJ＝x，则 IQ＝QN＝2x，QJ＝ ＝ x， ∵IJ＝6cm， ∴2x+ x＝6， ∴x＝12﹣6 ，即 NJ＝12﹣6 （cm）．（3）有 3 种情况，如图 b 所示： 【点评】本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性 质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与 性质等知识；本题综合性强，难度较大．