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遂宁市高中2017级第三学期教学水平监测
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．圆心在轴上，半径为1且过点的圆的方程为
A． B．
C． D．
3．根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是
A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年
B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）
C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年
D．2014年以来的销售额与年份正相关
4．直线和直线平行，则实
数的值为
A．3 B． C． D．或
5．已知是的重心，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是
A． B． C． D．
6．已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题
①若，则∥
②若∥∥，则∥
③若∥、∥，则∥
④若，则∥
⑤若，则∥
为假命题的是
A．①②③ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④
7．不等式组，目标函数的最大值为
A．0 B．2 C．5 D．6
8．曲线与曲线的交点个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知三棱柱的
各条棱长都相等，且底面
，是侧棱的中点，
则异面直线和所成的角为
A． B． C． D．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为
A．
B．
C．
D．
11．已知的外接圆经过点，且圆心在直线上.若的边长,则等于
A． B． C ． D．
12. 设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆
上至多有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为 ▲
14．连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为 ▲
15．棱长为1的正方体的顶点都在同一个球面上，
则该球面的表面积为 ▲
16．在平面直角坐标系中，点，
若在曲线
上存在点使得，则实数的取值范围为 ▲
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）
如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.已知，.
求证：（1）直线PA平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
▲
18．（本小题12分）
某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：
年份
0
1
2
3
4
人口总数
5
7
8
11
19
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程；
（2）据此估计2022年该城市人口总数.
附： ， .
参考数据： ，
.
▲
19．（本小题12分）
已知直线与直线交于点
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长
▲
20．（本小题12分）
2017年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如图的频率分布直方图．
（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；
（3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．
▲
21．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，
点是的中点，欲过点作一截
面与平面平行．
（1）问应当怎样画线，并说明理由；
（2）求所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．
▲
22．（本小题12分）
已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；
（1）求线段AB中点M的轨迹方程；
（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.
（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）
▲
遂宁市高中2017级第三学期教学水平监测
数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题(5×12=60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
B
D
C
B
A
B
A
C
二、填空题（每小题5分，共4个小题）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（共70分）
17．（本小题10分）
证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA ……………2分
又因为PA平面DEF，DE平面DEF， ……………4分
所以直线PA∥平面DEF ……………5分
（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，EF∥BC，且DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， ……………6分
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF ……………7分
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC ……………8分
因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，
所以DE⊥平面ABC ……………9分
又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC ……………10分
18．（本小题12分）
解：（1）由题中数表，知， ……………2分
……………4分
所以， ……………6分
……………7分
所以回归方程为 ……………8分
(2)当时， (十万) (万) ……………12分
19．（本小题12分）
解：（1）由， ……………2分
令， ……………4分
将代入得： (直线表示方式不唯一) ……………6分
（2）圆心到直线的距离， ………9分
所以 ……………12分
20．（本小题12分）
解析：（1）系统抽样． ……………1分
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即 ……………2分
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，
解得
即中位数的估计值为． ……………4分
平均数的估计值为：
……………6分
（3）车速在的车辆数为：2
车速在的车辆数为：4 ……………8分
设车速在的车辆为，车速在的车辆为，
则基本事件有：
共15种，其中，车速在的车辆至少有一辆的事件有：……………10分
共14种，
所以车速在的车辆至少有一辆的概率为 …………….12分
21．（本小题12分）
解:（1）在三棱柱中，点是的中点，取的中点，
连接,,,则平面∥平面，
即为应画的线．
理由如下：因为为的中点，为的中点，所以.
又因为∥，所以四边形为平行四边形，所以∥.
. .
.连接，则平行等于，
所以∥，
所以四边形是平行四边形，从而∥..
..又因为，
，,
所以平面.
（2）设棱柱的底面积为，高为.
则
所以三棱柱夹在平面与平面间
的体积为
∴所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比为
（比的顺序不同，结果就不同）
22．（本小题12分）
（1）解：设点
由中点坐标公式有 ……………2分
又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：
点的轨迹方程为： ……………4分
（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即
当时，弦长最短，
此时圆的面积最小，圆的半径，面积 ……………6分
又，所以直线斜率，又过点
故直线的方程为： ……………8分
（3）设点，由于点
法一：所以，令 ……………9分
有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.
当直线与圆相切时，取得最大或最小
故有
所以 ……………12分
法二： ……………10分
∴从而 ……………12分
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