新泰一中高二数学学科竞赛试题
2019.1
一选择题(每小题5分，共60分)
1．等比数列的前n项和为，若，则公比
A． B． 2 C． 3 D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．已知是等差数列，，则该数列的前14项的和（ ）
A． 52 B． 104 C． 56 D． 112
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． 1 C． D．
5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x的取值范围为
A． B． C． D．
6．已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线上的点到焦点的距离是,则抛物线的方程为( )
A． B．
C． D．
8．若曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝( )
A． B． 2
C． ln 2 D． ln
9．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（ ）
A． 平面平面 B． 四面体的体积是
C． 二面角的正切值是 D． 与平面所成角的正弦值是
11．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）
A． 直线 B． 圆 C． 双曲线 D． 抛物线
二填空题（每小题5分，共20分）
13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.
14．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_____________.
15．已知函数__________________.
16．已知实数且，则的最小值为__________．
三解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题步骤）
17．设复数.
(1)当为何值时,是实数;
(2)当为何值时, 是纯虚数.
18．(1)求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
19．已知全集U＝R，非空集合
（1）当a＝时，求
（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
20．在数列中，， 。
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
21．某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．
问第几年开始获利？
若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；
方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由．
22．如图所示,在四棱锥中, ,,，
,.
(Ⅰ) 证明:平面平面；
(Ⅱ) 若,求二面角的余弦值.
新泰一中高二数学学科竞赛参考答案
1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．C 11．C12．D
13． 14．8 15．1 16．
17.
（1)要使复数z为实数，需满足
.
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
.
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．
(1)由椭圆方程为，知长半轴长，短半轴长，
焦距的一半，
∴焦点是，，因此双曲线的焦点也是，，
设双曲线方程为，由题设条件及双曲线的性质，得，解得，故所求双曲线的方程为.
(2)设A、B的坐标分别为、．
由椭圆的方程知，，，∴．
直线l的方程为① 将①代入，化简整理得
，∴，，
∴.
19．
(1)当时,
所以
(2)
又因为q是p的必要不充分条件,所以且,所以,所以
20．
解：（1）因为
所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以。
所以数列的通项公式为
（2）令 ①
则 ②
②-①得
所以
所以
21．
设第n年开始获利，获利为y万元，
由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，
故n年的总费用为．
获利为
由即解得
，时，即第4年开始获利．
方案一：n年内年平均获利为．
由于，当且仅当时取“”号．
万元．
即前9年年平均收益最大，此时总收益为万元
方案二：总纯收入获利．
当时，取最大值144，此时总收益为
两种方案获利相等，但方案一中，所需的时间短，
方案一较合算．
22.(Ⅰ)证明：因为,，所以.
因为,所以,
所以,
因为,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
令, 解得,即,
显然平面的一个法向量为,
所以,所以二面角的余弦值为.
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