2018学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案及评分标准.pdf

2018 学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A D C D B B C D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．3；3 12．－ 1 2 ； 73 3 13．(0，1)；y＝± 2 x 14．288－24π，264＋12π 15．4 16．[2，4] 17．k＞ 1 2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分） 解 （Ⅰ）f ( 5 π 6 )＝sin 5 π 3 ＋ 3 cos ＝－ 3 2 ＋ ＝0． ……4 分 （Ⅱ）因为 f (x)＝2sin π2 3x ， 当 x∈[0， π 4 ]时， π π 5π2,336x  ， 所以 sin ∈ 1 ,12   ， 所以 f (x)的取值范围为[1，2]． ……10 分 19．（本小题满分 15 分） 解 （Ⅰ）当 k＝1 时， | 1| 2 x x - - －k(x－1)2＝0， 所以 | x－1 |∙ 11| (2) 2 xx x |--- - ＝0， 所以 | x－1 |＝0 或 1－| x－1 |(x－2)＝0， 所以解 x＝1，x＝ 35 2 + ． ……7 分 （Ⅱ）因为| x－1 |∙( 1 2x  －k | x－1 | )＝0， 即| x－1 |＝0 或 －k | x－1 |＝0， 当| x－1 |＝0 时，x＝1，此时 k∈R； 所以 1 2x  －k | x－1 |＝0 有三个不等于 1 的解， 即 1 k ＝| x－1 |∙(x－2)有三个不等于 1 的解， 根据函数 y＝| x－1 |∙(x－2)的图象， 所以－ 1 4 ＜ 1 k ＜0，即 k＜－4． ……8 分 20．（本题满分 15 分） 解（Ⅰ）由 AD⊥BC 可知，| DM |＝| AM |，| DN |＝| AN |， 所以∠MDN＝∠MAN， 因为 DM ∙ DN ＝12cos∠MAN＝－6， 所以 cos∠MAN＝－ 1 2 ， 所以 | BC |2＝| AB |2＋| AC |2－2| AB |∙| AC | cos∠MAN＝148， 所以 | BC |＝2 37 ． ……8 分 （Ⅱ）因为 |||| DMDBDNDC DBDC  ＝ 1 2 ( | DB |＋| DC | )＝5， 所以 | BC |＝10， 所以∠BAC=90°． ……7 分 21．（本题满分 15 分） 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， 则   6a1＋15d＝60， a1(a1＋20d)＝(a1＋5d)2， 解得 1 2 5 d a    ， ∴ an＝2n＋3． Sn＝ (8 2 ) 2 nn ＝n(n＋4)． ……7 分 （Ⅱ）由 bn＋1－bn＝an， ∴bn－bn－1＝an－1(n≥2，n∈N*)． 当 n≥2 时， bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 ＝an－1＋an－2＋…＋a1＋b1 ＝(n－1)(n－1＋4)＋3＝n(n＋2)． 对 b1＝3 也适合， ∴ bn＝n(n＋2)(n∈N*)． （第 19 题答图） 1 x y O ∴ 1 nb ＝ 1 ( 2 )nn ＝ 1 2 ∙( 1 n － 1 +2n )． Tn＝ ∙(1－ 1 3 ＋ 1 2 － 1 4 ＋…＋ － ) ＝1 2(3 2－ 1 n＋1－ 1 n＋2)＝ 3n2＋5n 4(n＋1)(n＋2)． ……8 分 22．（本题满分 15 分） 解：（ Ⅰ）（i）根据题意，f ′(x)＝ 221x a x x ， 所以方程 2x2＋ax＋1＝0 有两个正根 t1，t2（不妨设 t1＜t2）， 所以 0 04 a  ，解得 a＜－2 2 ． ……3 分 （ii）易知 f (x)在 x＝t1 时取到极大值，在 x＝t2 时取到极小值． 由（i）知 2t12＋at1＋1＝0， 所以 f (t1)＝－t12＋ln t1－1． 令 g(x)＝－x2＋lnx－1，所以 g′(x)＝ 1 x －2x， 由 －2x＝0，解得 x＝ 2 2 ． 所以 g(x)≤g( )＝ln － 3 2 ＜0， 所以 f (t1)＜0，故 f (x)至多只有一个零点． 又 f (－a)＝ln (－a)＞0，可知 f (x)存在唯一零点． ……5 分 （Ⅱ）由题意知：2x1＋a＋ 1 1 x ＋2x2＋a＋ 2 1 x ＝0， 即 a＝－(x1＋x2)－ 12 12 + 2 xx xx ， 所以 f (x1)－f (x2)＝x12－x22＋a(x1－x2)＋ln 1 2 x x ＝－ 1 2 ( － 2 1 x x )＋ln ， 设 t＝ ∈(1，2)，记 h(t)＝－ 2 t ＋ 1 2 t ＋lnt， 则 h′(t)＝－ － 2 1 2t ＋1 t ＝－ ( ＋1)2≤0， 故 h(t)单调递增，所以 h(t)∈(h(2)，h(1))， 即 h(t)∈(－ 3 4 ＋ln2，0)． ……7 分