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2018-2019 学年山东省临沂市临沭县九年级（上）期末数学模拟
试卷
一．选择题（共 14 小题，满分 42 分，每小题 3 分）
1. 一元二次方程 x2﹣2x＝0 的解是（ ）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0 或 x2＝2 D．无实数解
2. 若 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数 y＝图象上的两点，当 x1＞x2＞0 时，下列结论正确的是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则 sinA 的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，AB∥CD，OH 分别与 AB、CD 交于点 F、H，OG 分别与 AB、CD 交于点 E、G， 若 ，OF＝12，则 OH 的长为（ ）
A．39 B．27 C．12 D．26
5. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AD 延长线上一点，若∠CDE＝80°，则∠B 等于
（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
6. 如图，在 6×4 的正方形网格中，△ABC 的顶点均为格点，则 sin∠ACB＝（ ）
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A． B．2 C． D．
7．二次函数 y＝（x﹣4）2+3 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8. 一个两位数，它的十位数字是 3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字 1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是 3 的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
9. 关于反比例函数 y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点（﹣1，﹣4）
B. 当 x＜0 时，图象在第二象限
C. 无论 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大
D. 图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
10. 如图，将△ABC 沿角平分线 BD 所在直线翻折，顶点 A 恰好落在边 BC 的中点 E 处，
AE＝BD，那么 tan∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
11. 如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为（ ）
A．6cm B．3cm C．5 cm D．3 cm
12. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段 AB 的长为（ ）
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A． B．2 C．5 D．10
8. 如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE∥BC，与边 AC 交于点 E，连结 BE．记△ADE，
△BCE 的面积分别为 S1，S2，（ ）
A．若 2AD＞AB，则 3S1＞2S2 B．若 2AD＞AB，则 3S1＜2S2
C．若 2AD＜AB，则 3S1＞2S2 D．若 2AD＜AB，则 3S1＜2S2
9. 函数 y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或 x＞2 D．0＜x＜2
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
10. 若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，则相似比为 ．
11. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx﹣2019＝0 有一个根为 1，则 a+b＝ ．
12. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 （结果精确到 0.01）．
13. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，若 AB＝15，AF＝4，则 DE
＝ ．
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8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y＝（x＞0）的图象与正比例函数 y＝kx、y
＝ x（k＞1）的图象分别交于点 A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB 的面积是 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 63 分）
20．计算：sin30°•tan60°+ ．
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21. 解方程．
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x2﹣3x＝1；
（3）（x﹣3）（x+3）＝2x．
22. 如图，在一条河的北岸有两个目标 M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点 A、B．已知 AB∥MN，在 A 点测得∠MAB＝60°，在 B 点测得∠MBA＝45°，AB＝600 米．
（1） 求点 M 到 AB 的距离；（结果保留根号）
（2） 在 B 点又测得∠NBA＝53°，求 MN 的长．（结果精确到 1 米）
（参考数据： ≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）
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21. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点 B 作 BD⊥ AE 于 D．
（1） 求证：∠DBA＝∠ABC；
（2） 如果 BD＝1，tan∠BAD＝，求⊙O 的半径．
22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y＝ x 与反比例函数 y＝（k≠0）的图象交于点 A，且点 A 的横坐标为 1，点 B 是 x 轴正半轴上一点，且 AB⊥OA．
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 求点 B 的坐标；
（3） 先在∠AOB 的内部求作点 P，使点 P 到∠AOB 的两边 OA、OB 的距离相等，且 PA＝
PB；再写出点 P 的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点 P）
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21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x+3 与抛物线 y＝﹣x2+bx+c 交于 A、B 两点， 点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为﹣1．动点 P 在抛物线上运动（不与点 A、B 重合），过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AB 于点 Q，当 PQ 不与 y 轴重合时，以 PQ 为边作正方形PQMN，使 MN 与 y 轴在 PQ 的同侧，连结 PM．设点 P 的横坐标为 m．
（1） 求 b、c 的值．
（2） 当点 N 落在直线 AB 上时，直接写出 m 的取值范围．
（3） 当点 P 在 A、B 两点之间的抛物线上运动时，设正方形 PQMN 周长为 c，求 c 与 m 之间的函数关系式，并写出 c 随 m 增大而增大时 m 的取值范围．
（4） 当△PQM 与 y 轴只有 1 个公共点时，直接写出 m 的值．
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26．已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE＝CF 时（如图 1），易证 AE+CF＝EF；
当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
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参考答案 一．选择题（共 14 小题，满分 42 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
解得，x1＝0，x2＝2， 故选：C．
2. 【解答】解：把点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）代入 y＝得 y1＝，y2＝，
则 y1﹣y2＝﹣ ＝ ，
∵x1＞x2＞0，
∴x1x2＞0，x2﹣x1＜0，
∴y1﹣y2＝ ＜0， 即 y1＜y2．
故选：A．
3. 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴sinA＝ ＝ ． 故选：A．
4. 【解答】解：∵EF∥GH，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴FH＝27，
∴OH＝OF+FH＝12+27＝39，
故选：A．
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2. 【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠B＝∠CDE＝80°， 故选：C．
3. 【解答】解：如图所示，
∵BD＝2、CD＝1，
∴BC＝ ＝ ＝ ，
则 sin∠BCA＝＝ ＝ ， 故选：C．
4. 【解答】解：二次函数 y＝（x﹣4）2+3 的最小值是：3．故选：B．
5. 【解答】解：根据题意，得到的两位数有 31、32、33、34、35、36 这 6 种等可能结果，其中两位数是 3 的倍数的有 33、36 这 2 种结果，
∴得到的两位数是 3 的倍数的概率等于
故选：B．
6. 【解答】解：
当 x＝﹣1 时，y＝﹣＝4≠﹣4，故点（﹣1，﹣4）不在函数图象上，故 A 不正确； 在 y＝﹣中，k＝﹣4＜0，
∴当 x＜0 时，其图象在第二象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故 B 正确，C、D 不正确；
故选：B．
10【解答】解：如图，作 CM⊥AE 交 AE 的延长线于 M，作 DN⊥AB 于 N，DF⊥BC 于F， AE 与 BD 交于点 K，设 DK＝a．
∵AB＝BE＝EC，
∴BC＝2AB，
∵DB 平分∠ABC，
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∴DN＝DF，
∵ ，
∴ ， ，
∵DB⊥AM，CM⊥AM，
∴DK∥CM，
∴ ，∠KBE＝∠MCE，
∴CM＝3a，
在△BKE 和△CME 中，
，
∴△BKE≌△CME，
∴BK＝CM＝3a，
∴BD＝AE＝4a，
∴AK＝KE＝2a，
∴tan∠ABD＝ ． 故选：B．
11【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，
∵半径为 9cm 的圆形纸片剪去一个圆周的扇形，
∴剩下的扇形的弧长＝ •2π•9＝12π，
∴2π•r＝12π，
∴r＝6． 故选：A．
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12【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵BD＝8，
∴OB＝4，
∵tan∠ABD＝ ＝ ，
∴AO＝3，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB＝＝ ＝5， 故选：C．
13【解答】解：∵如图，在△ABC 中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2，
∴若 2AD＞AB，即＞ 时， ＞ ，
此时 3S1＞S2+S△BDE，而 S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定 3S1 与 2S2 的大小， 故选项 A 不符合题意，选项 B 不符合题意．
若 2AD＜AB，即＜ 时， ＜ ， 此时 3S1＜S2+S△BDE＜2S2，
故选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意． 故选：D．
14【解答】解：抛物线 y＝ax2+2ax+m 的对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1，而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
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∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当 x＜﹣4 或 x＞2 时，y＜0． 故选：A．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
15【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，
∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1：． 故答案为：1： ．
16【解答】解：根据题意，一元二次方程 ax2+bx﹣2019＝0 有一个根为1，即 x＝1 时，ax2+bx﹣2019＝0 成立，
即 a+b＝2019， 故答案为：2019．
17【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值， 即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为 0.88． 故答案为：0.88．
18【解答】解：∵AD 平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE∥AC，EF∥BC，
∴四边形 DEFC 为平行四边形，
∴DE＝CF，
设 DE＝x，则 AE＝CF＝x，
∵EF∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理得 x2+4x﹣60＝0，解得 x1＝6，x2＝﹣10（舍去），
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∴DE＝6． 故答案为 6．
19【解答】解：如图，过 B 作 BD⊥x 轴于点 D，过 A 作 AC⊥y 轴于点 C
设点 A 横坐标为 a，则 A（a，）
∵A 在正比例函数 y＝kx 图象上
∴ ＝ka
∴k＝
同理，设点 B 横坐标为 b，则 B（b，）
＝
∴
∴
∴
∴ab＝2
当点 A 坐标为（a，）时，点 B 坐标为（，a）
∴OC＝OD
将△AOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△ODA′
∵BD⊥x 轴
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∴B、D、A′共线
∵∠AOB＝45°，∠AOA′＝90°
∴∠BOA′＝45°
∵OA＝OA′，OB＝OB
∴△AOB≌△A′OB
∵S△BOD＝S△AOC＝2× ＝1
∴S△AOB＝2 故答案为：2
三．解答题（共 7 小题，满分 63 分）
20【解答】解：sin30°•tan60°+
＝ × +
+
＝ ﹣2
＝ ﹣2．
21．【解答】解：（1）∵x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0， 则 x＝0 或 x﹣5＝0，
∴x＝0 或 x＝5；
（2）∵x2﹣3x＝1，
∴x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1、b＝﹣3、c＝﹣1，
∴△＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， 则 x＝；
（3）方程整理可得 x2﹣2x﹣9＝0，
∵a＝1、b＝﹣2、c＝﹣9，
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∴△＝4﹣4×1×（﹣9）＝40＞0，
则 x＝＝1± ．
22【解答】解：（1）过点 M 作 MD⊥AB 于点 D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA＝∠MDB＝90°，
∵∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，
∴在 Rt△ADM 中，；
在 Rt△BDM 中，，
∴ ，
∵AB＝600m，
∴AD+BD＝600m，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 M 到 AB 的距离．
（2）过点 N 作 NE⊥AB 于点 E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD∥NE，
∵AB∥MN，
∴四边形 MDEN 为平行四边形，
∴ ，MN＝DE，
∵∠NBA＝53°，
∴在 Rt△NEB 中，，
∴ ，
∴ ．
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23【解答】（1）证明：如图，连接 OA，
∵AE 为⊙O 的切线，BD⊥AE，
∴∠DAO＝∠EDB＝90°，
∴DB∥AO，
∴∠DBA＝∠BAO， 又∵OA＝OB，
∴∠ABC＝∠BAO，
∴∠DBA＝∠ABC；
（2）解：∵BD＝1，tan∠BAD＝ ，
∴AD＝2，
∴AB＝ ＝ ，
∴cos∠DBA＝ ；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝ ＝ ＝5．
∴⊙O 的半径为 2.5．
24【解答】解：（1）由题意，设点 A 的坐标为（1，m），
∵点 A 在正比例函数 y＝x 的图象上，
∴m＝ ．∴点 A 的坐标（1， ），
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∵点 A 在反比例函数 y＝的图象上，
∴ ＝ ，解得 k＝ ，
∴反比例函数的解析式为 y＝．
（2） 过点 A 作 AC⊥OB⊥，垂足为点 C， 可得 OC＝1，AC＝．
∵AC⊥OB，
∴∠ACO＝90°．
由勾股定理，得 AO＝2，
∴OC＝ AO，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴点 B 的坐标是（4，0）．
（3） 如图作∠AOB 的平分线 OM，AB 的垂直平分线 EF，OM 与 EF 的交点就是所求的点 P，
∵∠POB＝30°，
∴可以设点 P 坐标（m，m），
∵PA2＝PB2，
∴（m﹣1）2+（ m﹣ ）2＝（m﹣4）2+（ m）2， 解得 m＝3，
∴点 P 的坐标是（3， ）．
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25．【解答】（1）把 y＝0 代入 y＝﹣x+3，得 x＝3．
∴点 A 的坐标为（0，3），
把 x＝﹣1 代入 y＝﹣x+3，得 y＝4．
∴点 B 的坐标为（﹣1，4），
把（0，3）、（﹣1，4）代入 y＝﹣x2+bx+c，解得：b＝1，c＝6；
（2）当 0＜m＜3 时，
以 PQ 为边作正方形 PQMN，使 MN 与 y 轴在 PQ 的同侧，此时，N 点在直线 AB 上， 同样，当 m＜﹣1，此时，N 点也在直线 AB 上，
故：m 的取值范围为：0＜m＜3 或 m＜﹣1；
（3）当﹣1＜m＜3 且 m≠0 时，
PQ＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+3）＝﹣m2+2m+3，
∴c＝4PQ＝﹣4m2+8m+12；
c 随 m 增大而增大时 m 的取值范围为﹣1＜m≤1 且 m≠0，
（4）点 P（m，﹣m2+m+6），则 Q（m，﹣m+3），
①当﹣1＜m≤3 时，
当△PQM 与 y 轴只有 1 个公共点时，PQ＝xP， 即：﹣m2+m+6+m﹣3＝m，
解得： （舍去负值）；
②当 m≤﹣1 时，
△PQM 与 y 轴只有 1 个公共点时，PQ＝xQ，
即﹣m+3+m2﹣m﹣6＝m，整理得：m2﹣3m﹣3＝0，
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解得：m＝ （不合题意，均舍去），故：m 的值为： ．
26 ． 【 解 答 】 解 ： ∵ AB ⊥ AD ， BC ⊥ CD ， AB ＝ BC ， AE ＝ CF ，
在△ABE 和△CBF 中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AE＝ BE，CF＝ BF；
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF 为等边三角形；
∴AE+CF＝ BE+ BF＝BE＝EF；
图 2 成立，图 3 不成立． 证明图 2．
延长 DC 至点 K，使 CK＝AE，连接 BK， 在△BAE 和△BCK 中，
则△BAE≌△BCK，
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
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∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF 和△EBF 中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF＝EF，
∴KC+CF＝EF， 即 AE+CF＝EF． 图 3 不成立，
AE、CF、EF 的关系是 AE﹣CF＝EF．
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