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秘密 ★ 启用前 试卷类型： A
2019届广州市高三期末调研测试
文科数学 2018．12
本试卷共5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数满足，则
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是
A． B． C． D．
4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期在8月
C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其
正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
A． B．
C． D．
6．已知的边上有一点满足，则可表示为
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为
A． B． C． D．
8．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
后， 所得图象对应的函数解析式为
A． B．
C． D．
9．是直线和平行的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
10. 若实数，满足不等式组 则的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知的内角, , 的对边分别是, , ，且，
若，则的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知椭圆Γ： 的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与
Γ相交于A，B两点．若，则
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则 ．
14．设为第二象限角，若，则 = ．
15．圆锥底面半径为，高为，点是底面圆周上一点，则一动点从点出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点，则绕行的最短距离是 ．
16．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
设为数列的前项和，已知，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
18．（本小题满分12分）
某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.
如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为公斤，利润为元.
求关于的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，四边形是平行四边形，平面 平面，，,
,,,，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知动圆过定点，且与定直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点
（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数e.
（1）若e，求的单调区间；
（2）当时，记的最小值为，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，直线，直线 ．
以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
2019届广州市高三年级调研测试
文科数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
C
A
D
B
A
C
A
B
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 解：（1）证明：∵，，∴, ……………………………………1分
∴， ……………………………………2分
∴， ……………………………………3分
， ……………………………………5分
∴是首项为，公比为的等比数列． …………………………………………
6分
（2）解：由（1）知，， ……………………………………7分
∴， ……………………………………8分
∴， ……………………………………9分
∴， ……………………10分
∴. ……………………11分
即，，成等差数列． ……………………12分
18．解：
（1）
……………………………2分
. ……………………………3分
故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分
（2）当日需求量不低于250公斤时，利润元, ………………5分
当日需求量低于250公斤时，利润元 , ………6分
所以 ……………………………8分
由得，, ……………………………9分
所以＝ ……………………………10分
. ……………………………11分
故估计利润不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分
19． 解：（1）证明：取的中点，连接，
在中，因为是的中点，
所以且，……………1分
因为，，，
所以且，……………………2分
所以四边形是平行四边形，所以， ………………………3分
又平面，平面，
所以平面． ……………………………4分
（2）证明：在中，，，，
由余弦定理得， …………………………5分
因为，
所以. …………………………
6分
因为平面平面，平面,平面平面，
所以平面. ……………………………7分
（3）解法1：由（1）平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离， ……………………8分
设点到平面的距离为，
过作，交的延长线于，
则平面，所以是三棱锥的高． ……………………9分
由余弦定理可得，
所以,. ………………………………10分
.
因为，………………………………11分
即，解得.
所以点到平面的距离为． ………………………………12分
解法2：因为，且,
所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， ……………8分
由（2）平面.
因为平面，所以平面平面．
过点作于点，又因为平面平面，故平面.
所以为点到平面的距离．…………………9分
在中，，
由余弦定理可得
所以， …………………10分
因此， ……………………………………………………11分
所以点到平面的距离为． …………………………………………………12分
20．（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离，与到定直线的距离相等，…1分
由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ……2分
其中．动圆圆心的轨迹的方程为． ……………………………3分
解法2：设动圆圆心，依题意：. ……………………………2分
化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程． ……………………………3分
（2）解：假设存在点满足题设条件．
由可知，直线与的斜率互为相反数，即 ① ……4分
直线的斜率必存在且不为，设, ………………………………5分
由得． ………………………………………6分
由,得或． ……………………………………7分
设，则． ………………………………………………8分
由①式得,
,即．
消去，得, …………………………………………………9分
, ……………………………………………………………10分
, ……………………………………………………………11分
存在点使得． ……………………………………………………12分
21．（1）解：当时， ，的定义域是
……1分
， …………………………………2分
当时，；当时，． …………………………………3分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． …………………………4分
（2）证明：由（1）得的定义域是，，
令，则，在上单调递增，………………………5分
因为,
所以，，
故存在，使得． …………………………………………6分
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故时，取得最小值，即, …………………………8分
由得， ………………………………9分
令，，则，
当时，，单调递增， ………………………………10分
当时，，
单调递减，………………………………11分
故，即时，取最大值1，故． ……………………12分
22．解：（1） 依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为．
……………………………………………………………2分
由得，
因为， …………………………………………………3分
所以， …………………………………………………………………4分
所以曲线的参数方程为（为参数）．………………………………5分
（2）联立得， ……………………………………6分
同理，． ……………………………………………………………………7分
又， ………………………………………………………………………………8分
所以， …………………………9分
即的面积为． ……………………………………………………………10分
23．解：（1）当时，原不等式可化为， …………………………1分
①当时，，解得，所以； ……………………………2分
②当时，，解得，所以； ……………………3分
③当时，，解得，所以． ……………………………4分
综上所述，当时，不等式的解集为． ………………………………5分
（2）不等式可化为，
依题意不等式在上恒成立，……………………………………6分
所以，即，即， ……………………………8分
所以，解得，
故所求实数的取值范围是． ………………………………………………………10分
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