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九年级数学期末试卷2019.1
注意事项： 1．本卷满分130分．考试时间为120分钟．
2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）
1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （ ）
A．（1,2） B．（1.-2） C．（-1.2） D．（-1.-2）
2．一元二次方程x2＝2x的根是 （ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x 1=0，x2＝2 D．x1=0，x2=－2
3．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）
A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为 （ ）
A．7sin35° B． C．7cos35° D．7tan35°
5．在比例尺是1∶8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为( )
A．3200 m B．3000 m C．2 400 m D．2 000 m
6．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的大小是（ ）
A．90° B．80° C．70° D．50°
7．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是 （ ）
A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为 （ ）
A． B． C． D．
(第8题)
(第7题)
(第6题)
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9．若点，，都在抛物线 上，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2022个正方形（正方形ABCD看作第1个）的面积为 （ ）
(第10题)
A．5（）2020 B．5（）2022
C．5（）2021 D．5（）2022
二、填空题（每题2分，共16分）
11． 若=，则的值为 ．
12．若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为 ．
13. 将函数y=﹣2x2的图象沿着x轴向右平移3个单位后所得到的图象的函数表达式为 ．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ．
15．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为 ．
16．小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为 ．
(第15题)
(第16题)
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17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝18，cosB＝，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E处，则线段AE的长为 ．
18．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
第17题 第18题
三、解答题(本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ．
19．解方程：（每题4分，共8分）(1) x2－8x＋6＝0 (2) 2(x－1)2＝3x－3
20．计算（每小题4分，共8分）
(1)﹣+|1﹣4sin60°|； (2) ．
21．（本题满分8分）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点△ABC，已知A、B、C三点的坐标分别是A（1，0）、B（2，－1）、C（3，1）．
(1) 请在网格图形中画出平面直角坐标系；
(2) 以原点O为位似中心，将△ABC放大2倍，画出放大后的△A′B′C′；
(3) 写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′_______，B′________，
C′________；
(4) 写出△A′B′C′的重心坐标：___________；
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22．（本题满分8分）抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？
（4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
23．（本题满分6分）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
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24.（本题满分8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝60°，DE＝3，求AC的长．
25.（本题满分8分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
26. （本题满分10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA 向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点．点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm ．当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动．设P， Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC ？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数解析式;
（3）四边形PQCB的面积与△APQ面积比能为3：2吗？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？
(直接写出答案)
(备用图)
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27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
28.（本题满分10分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
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如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．
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九年级数学期末试卷评分标准
一、 选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
C
B
C
D
B
D
D
B
C
二、填空题：（每空2分，共16分）
11． ；12． 1.5 ；13． ；14． m≤3且m≠2 ；
15． π ； 16． 216° ； 17． 8 ； 18．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．解方程：（每题4分，共8分）(1) x2－8x＋6＝0 (2) 2(x－1)2＝3x－3
x1＝4+，x2＝4﹣ x1＝1，x2＝2.5
20．计算（每小题4分，共8分）
(1)﹣+|1﹣4sin60°|； (2) ．
=-2
=-1
21．（1） 1分（2）2分
（3）从图可知：A（﹣2，0），B（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）；3分
（4）从图上可知重心坐标（﹣4，0）；2分
22．（1）15÷30%=50（人），
答：本次调查了50名学生． 1分
（2）50﹣10﹣15﹣5=10（人），
条形图如图所示：
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1分
（3）500×=100（人），
答：该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有100名． 1分
（4）树状图如下：
3分
共有12种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种．1分
所以，所选两位参赛选手恰好是一男一女的概率P==．1分
23．解：在Rt△CED中，∠CED=58°，
∵tan58°=，∴DE=，
在Rt△CFD中，∠CFD=22°，
∵tan22°=，
∴DF=，[中*@国&教%育出版~网]
∴EF=DF﹣DE=，
同理：EF=BE﹣BF=，
∴，[来源:zz%ste*p&.co#m~]
解得：AB≈5.9（米）
24. （1）（1）连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
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∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线； 4分
（2）连接BD，则∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵DE＝3，
∴AD＝6，
∴AB＝12，
连接OC，则OC＝OA＝6，
∵∠CAB＝60°，
∴AC＝OA＝OC＝6． 4分
25. （1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700， 2分
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000 2分
=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；2分
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
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﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 2分
26. （1）Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝10cm．
∵BP＝t，AQ＝2t，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t．
∵PQ∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝； 2分
（2）∵S四边形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝AC•BC﹣AP•AQ•sinA
∴y＝×6×8﹣×（10﹣t）•2t•
＝24﹣t（10﹣t）
＝t2﹣8t+24，
即y关于t的函数关系式为y＝t2﹣8t+24； 3分
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（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：
由题意，得t2﹣8t+24＝×24，
整理，得t2﹣10t+12＝0，
解得t1＝5﹣，t2＝5+（不合题意舍去）．
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣； 2分
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE＝AQ，那么10﹣2t＝2t，解得t＝；
②如果EA＝EQ，那么（10﹣2t）×＝t，解得t＝；
③如果QA＝QE，那么2t×＝5﹣t，解得t＝．
故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形． 3分
27. （1）∵B（1，0），
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴，
∴，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4； 3分
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
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易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），
x=1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）； 3分
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，
BM2=（1+1）2+y2=4+y2，
AB2=（1+2）2+62=45，
当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，
解得：y=3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣） 4分
28.（1）如图①中，结论：OC＝AE，
理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
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∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE． 2分
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
故答案为3． 1分
（3）如图1，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+3； 2分
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
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∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）． 1分
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2 ，
∴AC的最大值为2+2． 2分
当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2﹣2． 2分
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