2019届一模数学答案-文科5稿.pdf

高三数学试题（文科）答案  第 1  页（共 4 页）  合肥市 2019 年高三第一次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.[－1，6] 14. 9 16 15. 41 n n  16. 3 4 三、解答题： 17.(本小题满分 12 分) (I)由已知可得  sin 2 3gx x  ，则  sin 2 sin 2 sin 233hx x x x   . 令 22 2232kx kkZ   ， ，解得 5 12 12kx kkZ  ， . ∴函数 hx的单调递增区间为 5 12 12kkkZ   ， . …………………………5 分 (II)由 1 63g  得 21sin 2 sin 263 3 3            ， ∴ 1sin 2 33  ，即  1 3h   . …………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (I)取 CD 的中点为 M，连结 EM，BM. ∵ BCD 为等边三角形，∴ BM CD . ∵∠BAD=120°, AD = AB , ∴∠ADB=30° ∴ ADCD ，∴ //BM AD . 又∵ BM  平面 PAD ， AD  平面 PAD ， ∴BM ∥平面 PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴ EM ∥PD . 又∵ EM  平面 PAD ，PD  平面 PAD ， ∴EM ∥平面 PAD . ∵EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD . 又∵ BE  平面 BEM ， ∴BE ∥平面 PAD . …………………………5 分 (II)连结 AC 交BD 于O，连结 PO. ∵CB CD AB AD， ，∴ ACBD 且 O 为BD 的中点. 又∵∠BAD=120°， 23BD  ， PBD ≌ ABD . ∴ 1AO PO  . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D D D C B C A A 高三数学试题（文科）答案  第 2  页（共 4 页）  又∵ 2PA  ，∴ 222PA PO OA，∴ PO OA . 又∵ PO BD ，∴ PO ⊥平面 ABD ，即四棱锥 PABCD 的高为 =1PO ， ∴四棱锥 PABCD 的体积 213 1 4323 231 134 2 3V     . ……………………12 分 19.(本小题满分 12 分) (I)甲班： 7140 4920(人)，乙班 7140 4920(人)，丙班 6140 4220(人). …………5 分 (II) 34x  . 设事件 A  “3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的学生”.丙班睡眠时间少于 x 的有 4 人， 设为 1234A AAA，，， ，多于 x 的有 2 人，设为 12BB， .从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有 20 种，而不满足条件的基本事件(3 人睡眠时间都低于 x )有 432431421321 ,,, AAAAAAAAAAAA 共 4 种情况，所以满足条件的基本事件数为 16 种， 5 4 20 16)( AP ，即在丙班被抽取的 6 名学生中， 再随机地选取 3 人作进一步地调查，选取的 3 人睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 学生的概率为 5 4 . ……………………12 分 20.(本小题满分 12 分) (I)由题意知，446 6aa， . 又∵ 2 2e  ，∴ 3c  ， 3b  ， ∴椭圆 E 的方程为 22 163 xy. …………………………5 分 (II)易知，当直线 ABCD、 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点 M N， 在 x 轴上， OM N，，三点共线； 当直线 ABCD， 的斜率存在时，设其斜率为 k ，且设     11 2 2 0 0A xy Bxy Mxy，， ，， ， . 联立方程得 22 11 22 22 163 163 xy xy       相减得 22 2 2 11 2 2 063 63 xy xy    ， ∴     22 22 1212 121 212 12 63 6 3 x xxx yyyyxx yy   ， ， ∴ 1212 1212 3 6 yyyy xxxx  ， 012 120 3 6 yyy xxx    ，即 1 2OMkk  ， ∴ 1 2OMk k . 同理可得 1 2ONk k ，∴ OM ONkk ，∴ OM N，，三点共线. ………………………12 分 高三数学试题（文科）答案  第 3  页（共 4 页）  max 23S 23 12   21.(本小题满分 12 分) (I)   1 1 0xgx f x e axx ，  1 2 1xgx e x  . 令   11 23 1200xxxgxe x xexx ， ， ∴ g x 在0 ， 上为增函数，  10g  . ∵当 0 1x  ， 时，  0gx  ；当  1x  ， 时，   0gx  ， ∴ g x 的单调递增区间为 1 ， ，单调递减区间为(0，1) , ∴ () =(1)2g xg a 极小 . …… ……………5 分 (II)由(I)知，  f x 在1 ， 上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴  12f xf a. 当 2a  时，   0fx  ， f x 在 1  ， 上单调递增，    11fx f，满足条件； 当 2a  时，  12 0fa . 又∵ ln 11ln 1 0ln 1 ln 1 afa eaaa      ，∴  0 1 ln 1xa ， ，使得 0 0fx  ， 此时， 01x x ， ，  0fx  ；  0 ln 1xx a ， ，   0fx  ∴ f x 在01 x， 上单调递减，  01x x ， ，都有    11fx f  ，不符合题意. 综上所述，实数 a 的取值范围为  2， . ………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (I) 22 1 :1Cx y， 2 :=2cosC   ，则 2 =2 cos ，∴ 222x yx  . 联立方程组得 22 22 1 2 xy x yx    ，解得 1 1 1 2 3 2 x y     ， 2 2 1 2 3 2 x y     ， ∴ 所求交点的坐标为 13 22   ， ， 13 22  ， . ………………………5 分 (II)设 B  ， ，则 =2cos  , ∴ AOB 的面积 11sin 4 sin 4cos sin2233SOAOBAOB             2cos 2 36  ， ∴ 当 时， ………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) (I)   22fx x，即 1>2 2x x 10 10 1>2 2 1>2 2 xx x xx x     或 1 3x  ∴ 实数 x 的取值范围是 1 3  ， . ………………………5 分 高三数学试题（文科）答案  第 4  页（共 4 页）  (II) ∵ 1a  ，∴ 11 a ，    (1)2 1 1(1 ) 1 112 ax x gx ax x a ax x a                 ， ，- ， ， ， ， ， 易知函数 g x 在 1x a  ， 时单调递减，在 1x a   ， 时单调递增，则 min 111gx g aa  . ∴ 111 2a，解得 2a  . …………………………10 分