www.ks5u.com
南昌二中2019届高三第六次考试
数学（理）试卷
一． 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2. 已知复数满足，则=（ ）
A．1 B． C． D．
3．设,则的大小顺序为( )
A． B． C． D．
4．在某个微信群的一次抢红包活动中，若所发红包的总金额10元，被随机分配为1.34元、2.17元、3.28元、1.73元和1.48元共5个供甲和乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲和乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的前项和为，，则使取得最大值时的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体
外接球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．给出下列五个命题：
①若为真命题，则为真命题；
②命题“，有”的否定为“，有”；
③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；
④在锐角△ABC中，必有；
⑤为等差数列，若，则
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知数列的前n项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的实轴端点分别为，记双曲线的其中一个焦点为F，一个虚轴端点为B，若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点，使得，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若曲线上始终存在两点A、B，使
得OA⊥OB，且AB的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中含项的系数是 .
14. 已知实数x、y满足约束条件，则的取值范围是 .
15. 已知向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，且
，则= .
16. 在直三棱柱中，，P是
上一点，则的最小值为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18．（本题12分）如图，在凸四边形中，，，设．
（1）若，求AD的长；
（2）当变化时，求BD的最大值．
19．（本题12分）
2019年元旦班级联欢晚会上，某班在联欢会上设计了一个摸球表演节目的游戏，在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
（1）求A同学摸球三次后停止摸球的概率；
（2）记X为A同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和期望．
20．（本题12分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为边长为的等边三角形，．
(1) 证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的大小．
21．（本题12分）
已知椭圆C中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，椭圆C另一个焦点是，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点的直线l与C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点P，与y轴交于点Q．若，且，求直线l的方程．
22.（本题12分）已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若对于任意的，恒有，求实数a的取值范围．
南昌二中2019届高三第六次考试
数学（理）试卷参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
D
D
D
B
A
B
A
C
13.5 14. 15. 16.
17.【解析】（1）可化为，
即或或
解得或或；不等式的解集为． （5分）
（2） 在恒成立
由题意得，，所以．（10分）
18.【解析】（1）在中，
，
∴，∴．
在中，，∴． （5分）
（2）设，，
在中，，
．
∵，
∴．
在中，
．
∵，∴，
当，时取到最大值． （12分）
19.【解析】（1）设“1名同学摸球3次后停止摸球”为事件A，
则，故1名同学摸球3次停止摸球的概率为． （４分）
（2） 随机变量X的可能取值为0,1,2，3,4
；；；
；
所以随机变量X的分布列：
X
0
1
2
3
4
P
． （12分）
20.【解析】（1）△ACD中，，
由余弦定理可得，，故，
所以，且△ACD为等腰直角三角形．
取CD中点O，由AC=AD得，AO⊥CD
连PO，PA⊥CD，
所以CD⊥平面POA
所以CD⊥PO
又AO=1，PO=1，
所以，，
又AO平面PCD
所以PO⊥平面ABCD
又PO平面PCD
所以平面PCD⊥平面ABCD． （6分）
（1） 以O为原点，OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面PAB的法向量，，
令，则，所以
同理，平面PBC的法向量
故，．
所以，二面角A-PB-C的平面角为90°． （12分）
21.【解析】(1)设椭圆方程为，点M在直线上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，则点．
，
，解得．
∴椭圆方程为 （5分）
（2）设直线l的方程为，，
由，可得
解得或， （7分）
所以，
设，有
由，得 ，
所以，解得 （9分）
由，得P为OA的垂直平分线与l的交点，所以
由，得，得，解得
所以，直线l的方程为 （12分）
22.【解析】（1）当时，，，
，
故在点处的切线方程为，
即．
（2） 定义域为，
则在上为增函数，
令，则
所以，存在唯一的，使得
即
当时，，在上递减；
当时，，在上递增．
所以
又，且，故
因为在上为增函数，且，
所以，即，解得，
综上所述，a的取值范围是．
[选择填空题详细答案]
1. A
【解析】由题得，，所以．
由题得，所以．
2. C
【解析】由题得，所以．
3. D
【解析】，，
因为，所以．
4. C
【解析】甲和乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率由如下几种情况：
1.34+3.28=4.62>4；
2.17+3.28=5.45>4；
1.73+3.28=5.01>4；
1.48+3.28=4.76>4．
则不低于4元的概率．
5. D
【解析】由题意，，
，
则，可得，
令，即，解得，又由，
当时，，当时，，
所以使取得最大值时n的值为8．
6. D
【解析】对于选项A， ，故函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意，故A不正确．
对于选项B，当时， ，故函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意，故B不正确．
对于选项C，当时， ，所以，当时， ，函数单调递减，不合题意，故C不正确．
对于选项D，可得，故导函数在上单调递增，所以当时， ，故在上单调递增，符合题意．
7. D
【解析】该四棱锥可补形为棱长为2的正方体，如图所示：
该四棱锥与正方体有同一个外接球，
∴外接球半径为
∴外接球的体积为．
8. B
【解析】由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是 ，故，
故，再根据三角函数的对称中心得到 ，
故如果 ，根据，得到．
9. A
【解析】因为若为真命题的条件是p、q至少有一个是真命题，而为真命题的条件为p、q两个都是真命题，所以当p、q一个真一个假时，为假命题，所以①不正确；
命题“，有”的否定为“，有”，所以②不正确；
“”是“平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件，所以③不正确；
因为在直角三角形中，，有，所以有，即，同理，故，所以④正确；
若数列为常数列，则，所以⑤不正确．
10. B
【解析】,
令，则，解得．
是首项为2，公比为2的等比数列．
所以．
，解得m+n=6，
所以，
当且仅当时取等号，此时，解得，
因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当m=2，n=4时，最小值为．
11. A
【解析】由于在线段BF上(不含端点)有且仅有两个不同的点,使得,说明以为直径的圆与BF有两个交点．首先要满足,即,另外还要满足原点到直线BF: (不妨取F为双曲线的右焦点,B为右端点)的距离小于半径a,因为原点到直线BF的距离为,则,整理得,即,解得
．
综上可知．
12. C
【解析】曲线上存在两点A、B满足题意，则A、B两点只能在轴两侧，且，
不妨设，则由AB中点在轴上知，且，由，所以 （*）
存在两点A、B满足题意等价于方程（*）有解问题，
（1）当时，即A、B都在上，则，
代入方程（*），得，即，而此方程无实数解；
（2）当时，即A在上，B在上，
则，代入方程（*）得，，
即，设，
则，当时，递减，且
所以，递增；递减
所以，．由题意有，，解得．
13. 5
【解析】，
令，，所以展开式中含项的系数为5．
14.
【解析】画出可行域，可得．
15.
【解析】由题意可得，，向量与的夹角为120°，所以．
16.
【解析】将△绕直线顺时针旋转到与△共面，
此时的长度就是的最小值，其中
，
所以，
所以，所以，
在△中，
所以的最小值为．
微信/支付宝扫码支付