2018-2019学年度第一学期高三数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数为纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．或
3．把函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f（x）=
A． B． C． D．
4．“”是“ 函数在区间上单调递减”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（注：“”，即为“”或为“”．）
A． B． C． D．
6．的展开式中常数项为
A． B． C． D．
7．如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：
（1）若，，则的最大值为；
（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；
（3）若，点为直线上的动点，则的最小值为．
其中为真命题的是
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．函数的定义域为 ．
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．
11．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为 ．
12．设实数满足 向量，．若，则实数的最大值为 ．
13．在数列中，已知， ，且数列是等比数列，则 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．则曲线与曲线的交点个数为________个．
15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知是⊙的直径，是⊙的切线，过作弦，若，，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数的图像经过点．
（1）求的值；
（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．
17．（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：
网购金额
（单位:千元）
频数
频率
合计
若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．
（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图（2））．
（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且满足．
（1）求，的值；
（2）求；
（3）设，数列的前项和为，求证：．
20．（本小题满分14分）
如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．
（1）求直线及抛物线的方程；
（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，， ．问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；
（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．
理科数学答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
D
A
D
C
B
A
二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得，即． ……………………………2分
，， ，
． ……………………………………………………………5分
（2），
， ……………………………………………………7分
． …………………………………………8分
由（1）知，
．
， ， ……………………………10分
又，
．……………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力．
17．解：（1）根据题意，有
解得 …………………2分
，．
补全频率分布直方图如图所示．………4分
（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则
其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．…………………6分
故的可能取值为0，1，2，3；
， ，
，．…………………………10分
所以的分布列为：
． ……………………12分
【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
18．（本小题满分14分）
解：（法一）（1）取中点为，连接、，
且，
，则 且．…………2分
四边形为矩形， 且，
且，
，则．
平面，平面，
平面． ……………………………………………………4分
（2）过点作的平行线交的延长线于，连接，，，
，
，，，四点共面．
四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，又，
平面，，
又平面平面，
为平面与平面所成锐二面角的平面角．……………………7分
，．
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………9分
（3）过点作于，连接，
根据（2）知，，，四点共面，，
，，
又， 平面，
，则．
又， 平面．
直线与平面所成角为． ……………………………11分
，，
，，，
．
即直线与平面所成角的余弦值为． ……………………………14分
（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且
平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，， 则，． ………………2分
，， 为平面的一个法向量．
又，
平面． …………………………………………………………4分
（2）设平面的一个法向量为，则
，，
， 取，得． ……………………………6分
平面，
平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则．
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………………9分
（3）根据（2）知平面一个法向量为，
， ，………12分
设直线与平面所成角为，则．
因此，直线与平面所成角的余弦值为．………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
19．解：（1）当时，有，解得．
当时，有，解得．……………2分
（2）（法一）当时，有, ……………①
．…………………②
①—②得：，即：．…………5分
．
． ………………………………………8分
另解：．
又当时，有， ．…………………………8分
（法二）根据，，猜想：．………………………………3分
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当时，有，猜想成立．
（Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．
那么当时，有，
即：，………………………①
又 ， …………………………②
①-②得：，
解，得 ．
当时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得成立．………………………………………8分
（3）， ……………………………10分
． ………………………………………14分
【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．
20．（本小题满分14分）
解：（1）（法一）点在抛物线上， ． ……………………2分
设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，
由 得，
，
由，得，则直线方程为．
两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，
有，解得或（舍去）．
直线的方程为，抛物线的方程为．…………………………6分
（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为．……2分
设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，
，的最小值为，由，解得．
因此，直线的方程为，抛物线的方程为．…………………6分
（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由 得，
设点、的坐标分别为、，则，，
，， …………………………9分
．…10分由 得，，
， ……………………………………………13分
．
因此，存在实数，使得成立，且．…………………………14分
【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切
线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21．（本小题满分14分）
解：（1），…………………………2分
令，解得（负值舍去），
由，解得．
（ⅰ）当时，由，得，
在上的最大值为．…………………………………3分
（ⅱ）当时，由，得，
在上的最大值为．……………………………………4分
（ⅲ）当时，在时，，在时，，
在上的最大值为．…………………………………5分
（2）设切点为，则 ……………………………6分
由，有，化简得，
即或， ……………………………①
由，有，……………②
由①、②解得或． ……………………………………………9分
（3）当时，，
由（2）的结论直线为曲线的切线，
，点在直线上，
根据图像分析，曲线在直线下方． …………………………10分
下面给出证明：当时，．
，
当时，，即．………………………12分
，
， ．
要使不等式恒成立，必须．……………13分
又当时，满足条件，
且，
因此，的最小值为． …………………………………………………14分
【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识
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