专题四 计算与推导题
1．(2018·阜阳太和三模)液化石油气的热值高达4.6×107 J/kg，一些不法商贩为谋取暴利，常将液化石油气与价格低廉、热值仅为2.9×107 J/kg的二甲醚混合装入钢瓶内销售给客户，常州市质监局对某液化石油气站销售的瓶装燃气进行检测：将质量为100 kg、初始温度为31 ℃的水装入容器内，用高效炉灶燃烧瓶内燃气加热容器中的水直至100 ℃恰好沸腾，瓶内燃气消耗了0.84 kg。通过高效炉灶，水能吸收燃气完全燃烧释放热量的75%。已知水的比热容为c水＝4.2×103 J/(kg·℃)，问：
(1)瓶内燃气的热值是多少？
(2)该液化石油气站销售的瓶装液化石油气有无掺混二甲醚？
解：(1)水吸收的热量为Q吸＝cm(t－t0)＝4.2×103 J/(kg·℃)×100 kg×(100 ℃－31 ℃)＝2.898×107 J；燃气燃烧放出的热量为Q放＝＝＝3.864×107 J；瓶内燃气的热值为q＝＝＝4.6×107 J/kg；
(2)通过计算得出的瓶内燃气的热值正好等于液化石油气的热值，即q＝q石油气＝4.6×107 J/kg，故该液化石油气站销售的瓶装液化石油气没有掺混二甲醚。
2．(2018·蚌埠淮上一模)如图所示，烧瓶中装有0.3 kg煤油，电阻丝的阻值为10 Ω，闭合开关。调节滑动变阻器滑片，当电流表的示数为2 A时通电5 min，煤油的温度由20 ℃升高到30 ℃。[c煤油＝2.1×103 J/(kg·℃)]
求：(1)煤油吸收的热量。
(2)电阻丝加热煤油的效率。
解：(1)∵c煤油＝2.1×103 J/(kg·℃)，m＝0.3 kg，t0＝20 ℃，t＝30 ℃，∴煤油吸收的热量为Q吸＝c煤油m(t－t0)＝2.1×103 J/(kg·℃)×0.3 kg×(30 ℃－20 ℃)＝6 300 J＝6.3×103 J；
(2)∵电阻丝与滑动变阻器串联，电流表测量的是整个电路中的电流，∴通过电阻丝的电流为I＝2A，而R＝10 Ω，t＝5 min＝300 s，∴电流通过电阻丝放出的热量为Q＝I2Rt＝(2 A)2×10 Ω×300 s＝1.2×104 J，则电阻丝加热煤油的效率为η＝×100%＝×100%＝52.5%。
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3．如图所示是电热水壶铭牌。为了测量它烧水时的实际功率，石磊和哥哥合作进行了如下实验：关掉家里所有用电器，将该电水壶装了0.6 L(600 cm3)、20 ℃的水，接入家庭电路中，闭合壶的开关，测得壶中的水从20 ℃上升到100 ℃所用的时间是3.5 min。同时观察到家中电能表(见图)转过的转数正好为90转(r)。已知水的比热容【c＝4.2×103 J/(kg·℃)】，请根据相关信息，求：
(1)电水壶中水吸收的热量。
(2)电水壶烧水的实际功率。
解：(1)水的质量m＝ρV＝1 g/cm3×600 cm3＝600 g＝0.6 kg，水吸收的热量Q＝cmΔt＝4.2×103 J/(kg·℃)×0.6 kg×(100 ℃－20 ℃)＝201600 J＝2.016×105 J；
(2)消耗的电能W＝＝0.06 kW·h，电水壶烧水的实际功率P＝＝≈1.028 kW。
4．(2018·深圳)在物理实验操作考核中，水平桌面上放置底面积为100 cm2的圆柱形容器(不计容器壁厚度)，内有12 cm的水(如图甲)，某考生用弹簧测力计悬挂一金属圆柱体，从液面开始缓慢浸入水中，拉力F与圆柱体下表面到水面距离h的变化关系如图乙所示，当圆柱体下表面距液面为10 cm时，系圆柱体的细线恰好松开，圆柱体沉入容器底部(水未溢出)。如图丙所示(g取10 N/kg)。
求：
(1)圆柱体浸没在水中时所受到的浮力。
(2)圆柱体的体积。
(3)圆柱体沉入底部时，水对容器底部的压强。
解：(1)由图乙得，圆柱体未进入水面时弹簧测力计读数F1＝3
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N，圆柱体浸没在水中后弹簧测力计读数F2＝2 N，故F浮＝F1－F2＝3 N－2 N＝1 N；
(2)当圆柱体浸没在水中后，圆柱体体积V＝V排，由F浮＝G排＝ρ水gV排得
V排＝＝＝10－4 m3＝100 cm3，所以圆柱体体积V＝V排＝100 cm3；
(3)圆柱体未进入水面以下时水的体积V水＝S圆·h＝100 cm2×12 cm＝1 200 cm3，圆柱体沉入在水底后，圆柱体与水的总体积V总＝V水＋V柱＝1 200 cm3＋100 cm3＝1 300 cm3，则圆柱体沉浸后水面到水底的深度为h′＝＝＝13 cm＝0.13 m，则圆柱体沉底时，水对容器底部的压强p＝ρ水gh′＝1×103 kg/m3×10 N/kg×0.13 m＝1.3×103 Pa。
5．某型号挖掘机的质量3 000 kg，两履带与地面接触的总面积1.5 m2。挖掘机在6 s内将装满铲斗质量为0.75 t的泥石送到岸边，挖掘深度H＝2 m。(如图乙所示)(取g＝10 N/kg)求：
(1)挖掘机静止在水平地面上不工作时对地面的压强多大？
(2)挖掘机每挖一次泥土并水平移送到岸边，对泥土做功多少？
(3)若发动机的总功率是20 kW，挖泥过程中挖掘机的机械效率多大？
解：(1)F＝G＝mg＝3 000 kg×10 N/kg＝3×104 N，
p＝＝＝2×104 Pa；
(2)W有用＝Gh＝0.75×103 kg×10 N/kg×2 m＝1.5×104 J；
(3)W总＝Pt＝2×104 W×6 s＝1.2×105 J，
η＝×100%＝×100%＝12.5%。
6．如图所示，放在水平桌面上的塑料杯子的质量不计，向杯中倒入200 g的水，水深20 cm；再轻轻放入质量为40 g的木块，木块静止后漂浮，水面升高了4 cm(水未溢出，g＝10 N/kg)。求此时：
(1)水对杯子底部的压强为多少？
(2)木块受到的浮力是多少？
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(3)杯子底部对水平桌面的压力是多少？
解：(1)水对杯子底部的压强为p＝ρgh＝1.0×103 kg/m3×10 N/kg×(0.2 m＋0.04 m)＝2.4×103 Pa；
(2)木块受到的浮力F浮＝G木＝mg＝0.04 kg×10 N/kg＝0.4 N；
(3)杯子底部对水平桌面的压力F＝G木＋m水g＝0.4 N＋0.2 kg×10 N/kg＝2.4 N。
7．如图所示是某同学做俯卧撑时的示意图，他的质量为56 kg，身体可视为杠杆，O点为支点。A点为重心。(g＝10 N/kg)问：
(1)该同学所受重力是多少？
(2)在图中画出该同学所受重力的示意图，并画出重力的力臂L1。
(3)若OB＝1.0 m，BC＝0.4 m，求地面对双手支持力的大小。
解：(1)G＝mg＝56 kg×10 N/kg＝560 N；(3)OC＝OB＋BC＝1.0 m＋0.4 m＝1.4 m，
根据杠杆的平衡条件G·OB＝F·OC，F＝G·OB/OC＝560 N×1.0 m/(1.4 m)＝400 N。
(2)过A点沿竖直向下的方向画一条带箭头的线段，并用符号G表示；再过支点作重力作用线的垂线段，如图所示：
8．如图所示，已知斜面长5 m，高3 m，绳端拉力为50 N。利用这个滑轮装置将重为100 N的物体在5 s内从斜面的底端匀速拉到顶端，在此过程中：
(1)物体沿斜面向上运动的速度为多少？
(2)绳端移动的距离是多少？
(3)拉力的功和功率各是多少？
(4)拉力的机械效率是多少？
解：(1)物体沿斜面移动的速度v＝s/t＝5 m/(5 s)＝10 m/s；
(2)绳端移动的距离s＝2L＝2×5 m＝10 m；
(3)拉力做功为W＝Fs＝50 N×10 m＝500 J，功率为P＝W/t＝500 J/(5 s)＝100 W；
(4)对物体做的有用功为W有＝Gh＝100 N×3 m＝300 J，机械效率η＝×100%＝
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eq \f(300 J,500 J)×100%＝60%。
9．(2018·合肥蜀山一模)节约用电，人人有责，为此，政府提倡市民在夏季高温期间将空调温度设定在舒适温度即可，不必贪凉求低。为响应倡导，某同学家中的一台额定电压220 V，额定功率为1 100W的变频空调，将原来设定的温度22 ℃改成26 ℃，此时制冷实际功率为850 W，若变频空调平均每天连续工作10 h，求：
(1)此空调正常工作时的电流？
(2)每天节约用电多少度？这些电能通过标有“1200 r/kW·h”的电能表可让其转盘转多少转？
解：(1)由P＝UI可得，此空调正常工作时的电流I＝＝＝5 A；
(2)若设定的温度由原来的22 ℃改设为26 ℃，减小的功率ΔP＝P额－P实＝1 100 W－850 W＝250 W＝0.25 kW，每天节约的电能W＝ΔP·t＝0.25 kW×10 h＝2.5 kW·h＝2.5度；1 200 r/kW·h表示电路每消耗1 kW·h的电能，电能表的转盘转过1 200 r，则这些电能可让电能表转盘转动的转数n＝W×1 200 r/kW·h＝2.5 kW·h×1 200 r/kW·h＝3 000 r。
10．等效替代法是科学研究中常用的方法之一，是在保证某种效果(特性和关系)相同的前提下，将实际的、复杂的物理问题和物理过程转化为等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程来研究和处理的方法。例如图(1)，我们可以把R代替两个并联着的电阻R1和R2接入AB之间，电路的状态不变，即AB两端的电压和通过A、B点的电流不变。如图(2)，若R1＝10 Ω，R2＝15 Ω，电流表的示数为0.5 A。
(1)请你利用并联电路电压、电流的规律及欧姆定律推导出R与R1、R2的关系式。
(2)电压表的示数为多少？
(3)R1由于接触不良而发生断路，此时电压表的示数变为6 V，则R3此时消耗的电功率是多少？
解：(1)根据欧姆定律可得并联电路中通过两个电阻的电流分别为I1＝，I2＝，一个电阻R上的电流为I＝，由并联电路的电流关系I＝I1＋I2得＝＋，又因为并联电路电压的特点是U＝U1＝U2，所以＝＋，R＝；
(2)由＝＋得＝＋，解得R＝6 Ω，电压表示数U＝IR＝0.5 A×6 Ω＝3 V；
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(3)R1断路后，R2、R3串联，电路电流I′＝＝＝0.4 A，此时总电压不变，所以有3 V＋IR3＝6 V＋I′R3，代入数据可得3 V＋0.5R3＝6 V＋0.4R3，解得R3＝30 Ω，R3此时消耗的电功率为P＝I′2R3＝(0.4 A)2×30 Ω＝4.8 W。
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